反璞歸“根”再出發(fā)

茅莉萍

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題遇到困難時(shí)，同學(xué)們可以嘗試回想基本概念與基本方法，往往能有意想不到的收獲。一元二次方程是我們初中階段學(xué)習(xí)的重要知識(shí)，關(guān)于一元二次方程的根，同學(xué)們就可以到概念中去尋找解題的突破口。蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)第99頁(yè)提出“能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作方程的解”，對(duì)于只含一個(gè)未知數(shù)的方程的解，也叫作方程的根。

一、回歸根的概念，構(gòu)造適當(dāng)方程

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第35頁(yè)“探索研究”第17題：

例1 寫出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是3、-2。

【分析】根據(jù)方程根的概念，可以逆向運(yùn)用因式分解法解一元二次方程的過(guò)程，將所求的一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)根分別是3、-2的一元一次方程的乘積，故所求的方程可寫成a（x-3）（x+2）=0。不同的a的取值可以對(duì)應(yīng)不同的一元二次方程，同學(xué)們選擇一個(gè)即可。一般地，取a=1，對(duì)應(yīng)的方程最簡(jiǎn)單。

一般地，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1、x2，可把方程寫成a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0。

解：以3、-2為根的一元二次方程可寫成a（x-3）（x+2）=0，令a=1，得x2-x-6=0。

變式1 已知方程x2+x-2=0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的兩倍。

【分析】本題可設(shè)新方程的根是y，再將已知方程的根用y表示。根據(jù)方程根的概念，將用y表示的根代入原方程，就能得到所要求的新方程。

解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x，即x=[y2]。把x=[y2]代入已知方程，得（[y2]）2+[y2]-2=0。

化簡(jiǎn)，得y2+2y-8=0，

故所求方程為y2+2y-8=0。

變式2 已知a、b滿足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，求[ab+ba]。

【分析】根據(jù)方程根的概念，當(dāng)已知的兩個(gè)等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可以把這兩個(gè)元看成是關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程的兩個(gè)根。

解：∵a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，

∴a、b為方程x2-15x-5=0的兩個(gè)根，

∴a+b=15，ab=-5，

∴原式=[a2+b2ab]=[（a+b）2-2abab]=-47。

二、回歸根的概念，尋找等量關(guān)系

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第33頁(yè)“復(fù)習(xí)鞏固”第5題：

例2 已知關(guān)于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一個(gè)根是-1，求m的值。

【分析】根據(jù)方程根的概念，將x=-1代入原方程，可得含有m的等式，即關(guān)于m的方程，通過(guò)解關(guān)于m的方程，就能求出m的值。

解：∵x=-1是x2-6x+m2-3m-5=0的一個(gè)根，∴（-1）2-6×（-1）+m2-3m-5=0。

解這個(gè)方程，得m1=1，m2=2，

故m的值是1或2。

變式1 已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為3和-2，求代數(shù)式[ab-3bc-aca2+b2+2c2]的值。

【分析】根據(jù)方程根的概念，將3和-2代入原方程，可得到兩個(gè)關(guān)于a、b、c的等式，顯然不能求出a、b、c的具體值，但是兩個(gè)方程卻為三個(gè)未知數(shù)的“消元”提供了可能。根據(jù)要求的代數(shù)式分子分母“齊次”的特征，找到用同一個(gè)字母表示其他兩個(gè)字母來(lái)解決問(wèn)題的策略。

解：∵3和-2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，

∴[9a+3b+c=0，4a-2b+c=0，]解得[b=-a，c=-6a。]

∵a≠0，

∴[ab-3bc-aca2+b2+2c2]=[-a2-18a2+6a2a2+a2+72a2]

=[-1374]。

變式2 已知a是方程x2-2020x+1=0的一個(gè)根，求代數(shù)式a2-2021a+[a2+12020]的值。

【分析】本題若嘗試求出a的值再代入計(jì)算，顯然比較煩瑣，故應(yīng)根據(jù)方程根的概念，將x=a代入原方程，就能得到含有a的等式。對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行移項(xiàng)變形，能得到一個(gè)關(guān)于a的“降次”公式，即a2=2020a-1，可達(dá)到對(duì)所求代數(shù)式化簡(jiǎn)的目的。

解：∵x=a是方程x2-2020x+1=0的根，

∴a2-2020a+1=0，

∴a2=2020a-1，

∴原式=2020a-1-2021a+[2020a-1+12020]

=-a-1+a

=-1。

三、回歸根的概念，巧記韋達(dá)定理

蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第21頁(yè)至23頁(yè)，將“根與系數(shù)的關(guān)系”即韋達(dá)定理作為選學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)，它為后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)乃至高中的數(shù)學(xué)知識(shí)都奠定了基礎(chǔ)。

在前文中提到，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1、x2，可把方程寫成為a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0的形式，在此基礎(chǔ)上我們可以得到-a（x1+x2）=b，ax1x2=c，即x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。

像這樣回歸根的概念巧記韋達(dá)定理，比起死記硬背，或者用求根公式來(lái)推導(dǎo)，便捷且準(zhǔn)確率高。同學(xué)們不妨嘗試在理解方程根的概念的基礎(chǔ)上記憶，并靈活應(yīng)用韋達(dá)定理，可以使原本的復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例3 已知關(guān)于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一個(gè)根是-1，求m的值并求出該方程的另一個(gè)根。

【分析】這是例2的改編題。由例2可知，m的值是1或2，在這個(gè)基礎(chǔ)上，同學(xué)們可以通過(guò)將m的值分別代入原方程，確定方程后再求解。雖然能解決問(wèn)題，但這種做法不如靈活運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)得簡(jiǎn)便。

解：設(shè)原方程的另一個(gè)根為x2。

由韋達(dá)定理可知-1+x2=6，故x2=7。

所以該方程的另一個(gè)根為7。

變式1 已知關(guān)于x的一元二次方程（x-b）2=a的兩根為1和3，求a、b的值。

【分析】根據(jù)例2的變式1的分析，將1和3代入原方程，可得到兩個(gè)關(guān)于a、b的二元二次方程，雖能求出a、b的值，但稍顯煩瑣。如能靈活應(yīng)用韋達(dá)定理，此題的計(jì)算量就能大大降低。

解：整理（x-b）2=a，得x2-2bx+b2-a=0。

∵方程（x-b）2=a的兩根為1和3，

∴x1+x2=2b=1+3=4，x1x2=b2-a=1×3=3，

∴b=2，a=1。

變式2 已知a、b是方程x2+2017x+1=0的兩個(gè)根，求（1+2020a+a2）（1+2020b+b2）的值。

【分析】根據(jù)例2的變式2的分析，將a、b代入原方程，變形能得到關(guān)于a、b的“降次”公式，但僅有此并不能得到答案，還需靈活運(yùn)用兩根之積與系數(shù)的關(guān)系方能解決該問(wèn)題。

解：∵a、b是方程x2+2017x+1=0的兩個(gè)根，

∴a2+2017a2+1=0，b2+2017b+1=0，ab=1，

∴a2=-2017a-1，b2=-2017b-1，

∴原式=（1+2020a-2017a-1）（1+2020b-2017b-1）=9ab=9。

回歸方程根的概念去思考，不僅能幫助我們尋找等量關(guān)系，繼而得到新的方程、消元公式、降次公式等，還能幫助我們妙用韋達(dá)定理，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)）