聲子晶體板中的第二類狄拉克點(diǎn)和邊緣傳輸*

駱全斌 黃學(xué)勤 鄧偉胤 吳迎? 陸久陽? 劉正猷

1)(華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院,廣州 510640)

2)(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,人工微納結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430072)

在彈性板波體系中設(shè)計(jì)了一種具有第二類狄拉克點(diǎn)的聲子晶體板.不同于第一類狄拉克點(diǎn),第二類狄拉克點(diǎn)附近的色散具有大的傾斜,以致于等頻面的幾何形狀由點(diǎn)狀變成交叉的線狀.微調(diào)結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)破缺該鏡面對(duì)稱性,可打開第二類狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并,實(shí)現(xiàn)體系的能帶反轉(zhuǎn).能帶反轉(zhuǎn)前后的二維聲子晶體板屬于不同的能谷拓?fù)湎?不同拓?fù)湎嘀g存在無帶隙的拓?fù)浔Ｗo(hù)界面態(tài).不僅如此,由于彈性板波界面態(tài)的特殊應(yīng)力分布,單一能谷相聲子晶體板的邊界上同樣支持無帶隙的彈性波傳輸.本文拓展類石墨烯體系中的二維狄拉克點(diǎn)和能谷態(tài)到第二類情形中,在同一結(jié)構(gòu)中獲得了界面和邊界上的彈性波無帶隙邊緣傳輸.由于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,可在微小尺寸下加工獲得,為高頻彈性波器件的設(shè)計(jì)和構(gòu)造提供了可行的途徑.

1 引 言

聲子晶體由聲介質(zhì)材料在空間中周期性排列構(gòu)成,可以調(diào)控在其中傳播的聲波和彈性波,形成類似電子在天然晶體中的能帶結(jié)構(gòu)[1].聲子晶體的宏觀特性使其幾何結(jié)構(gòu)和單元間的耦合強(qiáng)度均可精確調(diào)控,從而可以人工設(shè)計(jì)豐富多樣的聲子晶體能帶[2?8].聲子晶體借助這一優(yōu)勢(shì),結(jié)合凝聚態(tài)物理中的拓?fù)淠軒Ю碚?產(chǎn)生了一系列重要的發(fā)現(xiàn),實(shí)現(xiàn)了多種聲學(xué)拓?fù)鋺B(tài).

拓?fù)渎曌泳w根據(jù)其體能帶帶隙的存在與否可以分為聲學(xué)拓?fù)浣^緣體和聲學(xué)拓?fù)浒虢饘賉7,8];而根據(jù)其邊緣態(tài)的維度和自身維度的比較又可分為一階拓?fù)鋺B(tài)和高階拓?fù)鋺B(tài)[9?11].經(jīng)典的聲學(xué)(一階)拓?fù)浣^緣體有多種實(shí)現(xiàn)機(jī)制,包括:利用聲學(xué)環(huán)流打破時(shí)間反演對(duì)稱性的聲學(xué)陳數(shù)拓?fù)浣^緣體[12?16],利用能帶反轉(zhuǎn)機(jī)制實(shí)現(xiàn)的聲學(xué)量子自旋拓?fù)浣^緣體[17?19],利用空間鏡面或反演對(duì)稱性破缺實(shí)現(xiàn)的聲學(xué)能谷拓?fù)浣^緣體[20,21],以及通過引入贗自旋-軌道耦合的聲學(xué)自旋陳數(shù)拓?fù)浣^緣體[5,22]等.不同于高階聲學(xué)拓?fù)鋺B(tài)中的角態(tài)和棱態(tài)[23?25],上述的聲學(xué)絕緣體的顯著特征是,體能帶具有非平庸的拓?fù)涮匦?從而可以誘導(dǎo)出沿著邊緣傳播的手征性或螺旋性邊緣態(tài)[21,26,27],具有良好的聲學(xué)傳輸特性.聲學(xué)拓?fù)鋺B(tài)的實(shí)現(xiàn),不僅證明聲子晶體作為理想平臺(tái)可以用來展示并研究新奇的拓?fù)湮锢憩F(xiàn)象,同時(shí)拓展了傳統(tǒng)的聲學(xué)理論,為設(shè)計(jì)基于拓?fù)渎曃锢淼穆晫W(xué)器件奠定了基礎(chǔ).

狄拉克點(diǎn)最早在二維石墨烯中受到關(guān)注[28?30]:石墨烯中的電子輸運(yùn)在其費(fèi)米面附近呈現(xiàn)錐狀的線性色散關(guān)系,其低能方程符合洛倫茲不變性下的無質(zhì)量狄拉克方程,因此得名.當(dāng)?shù)依隋F的傾斜程度足夠大時(shí),費(fèi)米面的幾何形狀將會(huì)由點(diǎn)狀變成交叉的線狀,被稱為(二維)第二類狄拉克錐.而此前的狄拉克錐則被稱為第一類狄拉克錐.具有第二類狄拉克錐的半金屬具有高導(dǎo)電率[31,32]、各向異性的磁導(dǎo)率[33,34]等特點(diǎn).在聲學(xué)體系中,能帶具有第一類狄拉克錐的聲子晶體已得到廣泛研究,最近第二類狄拉克錐也在空氣介質(zhì)的聲子晶體中實(shí)現(xiàn)[35].相較于空氣聲子晶體,彈性波聲子晶體具有較強(qiáng)的抗干擾能力和較低的傳播損耗等優(yōu)勢(shì),但彈性波聲子晶體的設(shè)計(jì)卻因?yàn)殡y以類比到緊束縛模型而更加困難.

基于上述背景,本文將研究彈性聲子晶體中的第二類狄拉克錐及相關(guān)的彈性波傳輸現(xiàn)象.采用一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的二維聲子晶體板,板上傳播的彈性波受正方晶格排布的矩形凸臺(tái)陣列調(diào)制,可以實(shí)現(xiàn)存在于第一布里淵區(qū)邊界上的第二類狄拉克錐色散.受鏡面對(duì)稱保護(hù),在微調(diào)矩形凸臺(tái)高度時(shí),第二類狄拉克點(diǎn)不會(huì)被破壞打開帶隙,而是沿布里淵區(qū)邊界微小移動(dòng)[35,36].調(diào)節(jié)引入的結(jié)構(gòu)參數(shù) Δh,聲子晶體板會(huì)因?yàn)殓R面對(duì)稱破缺而在第二類狄拉克點(diǎn)能帶簡(jiǎn)并處打開帶隙;進(jìn)一步利用符號(hào)相反的 Δh,可以實(shí)現(xiàn)聲子晶體的能帶反轉(zhuǎn),構(gòu)建不同的谷相.將兩個(gè)不同谷相的聲子晶體拼接,可以在其界面上實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣缑鎽B(tài).更進(jìn)一步,基于鏡面對(duì)稱性構(gòu)建了彈性波在單一絕緣相聲子晶體自由邊界上的拓?fù)鋫鬏?

2 聲子晶體板中的第二類狄拉克錐

如圖1(a)所示,本文在一個(gè)金屬薄板上構(gòu)建矩形凸臺(tái)陣列,薄板厚度t=1 mm .矩形凸臺(tái)以正方晶格分布,晶格常數(shù)a=10.0 mm,凸臺(tái)的高度、長(zhǎng)度和寬度分別為h0=4.0 mm ,b=8.0 mm 及c=6.0 mm.薄板和凸臺(tái)均為具有以下參數(shù)的鋼材料:密度ρ=8.0×103kg/m3,楊氏模量E=193.0 GPa,泊松比ν=0.26 .本文的模擬計(jì)算由數(shù)值仿真軟件COMSOL 完成.在計(jì)算聲子晶體板的單體色散時(shí),使用固體結(jié)構(gòu)模塊,在原胞邊界上設(shè)置Floquet-Bloch 周期性邊界條件,得到沿著布里淵區(qū)高對(duì)稱線Γ-Y-M-X-Γ的能帶結(jié)構(gòu)(見圖1(b)),可以看到,在第一布里淵區(qū)邊界上(YM之間,ky=π/a)存在第一和第二條能帶的簡(jiǎn)并點(diǎn)(點(diǎn)D),頻率f=25.0 kHz .D點(diǎn)附近的兩條能帶線性交叉,且沿kx方向上兩條能帶斜率符號(hào)一致(都大于零),該簡(jiǎn)并點(diǎn)因此為第二類狄拉克點(diǎn).為進(jìn)一步展示第二類狄拉克點(diǎn)的能帶結(jié)構(gòu),在圖1(c)中展示了D點(diǎn)附近能帶結(jié)構(gòu)隨kx-ky的變化,其中藍(lán)色和紅色曲面分別是第一和第二條能帶,它們形成兩個(gè)嚴(yán)重傾斜的圓錐.綠色平面標(biāo)志簡(jiǎn)并點(diǎn)所在的頻率,該等頻面恰好截取第一和第二條能帶,截線在D點(diǎn)附近呈線性交叉(kx-ky面上的藍(lán)色和紅色曲線).簡(jiǎn)并點(diǎn)所在的等頻面為線性交叉而非一個(gè)孤立的點(diǎn),正是第二類狄拉克點(diǎn)相對(duì)于第一類狄拉克點(diǎn)的不同之處.由于時(shí)間反演對(duì)稱性的存在,第一布里淵區(qū)中和D點(diǎn)相對(duì)的時(shí)間反演對(duì)稱位置D′點(diǎn)上還存在另外一個(gè)第二類狄拉克點(diǎn).破壞空間對(duì)稱性,將同時(shí)打開D和D′點(diǎn)處的第二類狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并,得到不同的彈性波能谷拓?fù)湎?

圖1 具有第二類狄拉克點(diǎn)的聲子晶體板 (a)正方晶格聲子晶體板和單胞結(jié)構(gòu)示意圖;(b)聲子晶體沿布里淵區(qū)高對(duì)稱線的能帶結(jié)構(gòu),插圖為第一布里淵區(qū);(c)第二類狄拉克點(diǎn)附近的能帶結(jié)構(gòu),綠色平面為簡(jiǎn)并點(diǎn)所在的等頻面Fig.1.Phononic crystal plates with type-II Dirac point.(a) Schematics of the phononic crystal plates and the unit cell.(b) Dispersions of the phononic crystal plates along the high-symmetry lines.Inset:the first Brillouin zone.(c) Dispersions around the type-II Dirac point.Green plane shows the isofrequency plane at the frequency of the type-II Dirac point.

3 鏡面對(duì)稱破缺導(dǎo)致的能帶反轉(zhuǎn)

第一布里淵區(qū)邊界上的第二類狄拉克點(diǎn)由于受y方向上的鏡面對(duì)稱性保護(hù),在僅改變矩形凸臺(tái)的高度h0時(shí),其只會(huì)沿邊界微小移動(dòng).為了打開第二類狄拉克點(diǎn)處的能帶簡(jiǎn)并,需要破缺體系在y方向上的鏡面對(duì)稱性.這里選擇一種簡(jiǎn)單的方案,把矩形凸臺(tái)沿y方向分為寬度相等的兩部分,對(duì)這兩部分的凸臺(tái)分別增加和減去高度 Δh.于是,Δh0對(duì)應(yīng)于鏡面對(duì)稱性破缺的情形,第二類狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并被打開.圖2(a)展示了Δh=2.5mm時(shí)聲子晶體板的能帶結(jié)構(gòu),其在YM上存在從21.5kHz到22.2kHz的頻率帶隙.對(duì)參數(shù)Δh進(jìn)行掃描,可以觀察D點(diǎn)的本征頻率和本征模態(tài)隨Δh的變化,從而分析系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧冞^程.結(jié)果如圖2(b)所示,在Δh<0至Δh=0再到Δh>0的過程中,D點(diǎn)經(jīng)歷了從帶隙打開到閉合到再打開的變化;從Δh=0前后能帶本征場(chǎng)圖的變化可以看到,上下能帶的振動(dòng)模態(tài)帶隙閉合前后發(fā)生了反轉(zhuǎn).

為了進(jìn)一步表征彈性聲子晶體能帶的拓?fù)涮匦?分別計(jì)算了 Δh=±2.5 mm 兩種情況下第一條能帶的貝里曲率在布里淵區(qū)中的分布,如圖2(c)和圖2(d)所示.貝里曲率定義為Ω(k)=?×〈uk|i?k|uk〉,其中〈uk|i?k|uk〉被稱為貝里聯(lián)絡(luò),表示為動(dòng)量空間中的梯度算符在布洛赫態(tài)下的期望.計(jì)算時(shí)將布里淵區(qū)離散化為許多單元,從而把貝里曲率表示為貝里聯(lián)絡(luò)沿單元邊界的求和再除以單元面積[37].貝里曲率在D點(diǎn)和D′點(diǎn)分別出現(xiàn)大小相等符號(hào)相反的峰值,把這兩個(gè)點(diǎn)及其附近的區(qū)域稱為D和D′能谷.在低能近似下,對(duì)貝里曲率在D能谷所在半個(gè)布里淵區(qū)內(nèi)積分(除以2π ),得到對(duì)應(yīng)于兩種情形下D能谷的谷陳數(shù).時(shí)間反演對(duì)稱性的存在使第一條能帶D和D′能谷的總谷陳數(shù)為零.

圖2 鏡面對(duì)稱破缺以及拓?fù)湎嘧?(a)鏡面對(duì)稱破缺聲子晶體板(Δ h=2.5 mm )的能帶結(jié)構(gòu),插圖為原胞示意圖;(b) D 點(diǎn)本征頻率隨 Δ h的變化關(guān)系,插圖給出了 Δ h=0 前后上下能帶對(duì)應(yīng)的本征模態(tài);(c),(d)分別為 Δ h=±2.5 mm 時(shí)第一條能帶的貝里曲率分布Fig.2.Breaking of mirror symmetry and topological phase transition:(a) Dispersions of the phononic crystal plate with Δh=2.5 mm ,where the inset is the diagram of unit cell;(b) eigenfrequencies at D point versus Δ h,where the insets show eigenmodes before and after the band inversion;(c),(d) Berry curvature distributions of the first bands for phononic crystal plates with Δh=2.5 mm and Δ h=-2.5 mm,respectively.

4 聲子晶體板的彈性波傳輸

4.1 界面態(tài)傳輸

具有相反符號(hào) Δh的彈性聲子晶體屬于不同的能谷相.將 Δh=?2.5 mm的聲子晶體(記為A)和Δh=2.5 mm的聲子晶體(記為B)沿y方向以ABA的方式拼接,排布示意圖如圖3(a)所示,實(shí)際計(jì)算時(shí)y方向共有46 個(gè)周期單元,兩端設(shè)為連續(xù)邊界條件.如此組成的ABA 結(jié)構(gòu)存在AB 和BA 兩種不同界面,計(jì)算得到的投影能帶如圖3(b)所示,其中灰色部分為體能帶在界面方向上的投影,藍(lán)線和紅線分別對(duì)應(yīng)AB 界面和BA 界面上的界面態(tài)色散.兩條界面態(tài)均具有無帶隙的特征,即色散貫穿整個(gè)體能帶的帶隙頻率范圍.圖3(c)分別給出了投影能帶中藍(lán)、紅五角星標(biāo)記的界面態(tài)位移本征場(chǎng)及其在界面上的局部放大圖.AB 和BA 界面上的界面態(tài)具有明顯不同的場(chǎng)分布特征,AB 界面態(tài)在界面處z方向上的位移為零,而BA 界面態(tài)在界面處z方向上的位移極大,這樣的場(chǎng)分布是由于兩個(gè)界面都具有鏡面對(duì)稱性,且AB 和BA 界面態(tài)分別具有奇宇稱和偶宇稱的鏡面對(duì)稱性.

圖3 聲子晶體板的界面態(tài)傳輸 (a)在y 方向上依次由ABA 拼成的聲子晶體板;(b) ABA 結(jié)構(gòu)的投影能帶;(c)分別表示(b)中藍(lán)色和紅色五角星標(biāo)記的位移本征場(chǎng)分布,其中形變表示總位移,彩色條表示z 方向上的位移,綠色虛線為邊界所在位置;(d)含缺陷的BA 界面態(tài)傳輸,綠線為邊界位置,綠色五角星為位移沿z 方向的偏振點(diǎn)源,激發(fā)頻率 2 2.3 kHz ;(e)藍(lán)色點(diǎn)線和紅色點(diǎn)線分別是無缺陷和存在缺陷時(shí)的兩種邊界態(tài)傳輸率;(f) AB 和BA 界面態(tài)的剪切應(yīng)力分布Fig.3.Interface state transports of phononic crystal plates.(a) Schematic of sandwich structure ABA successively consisting phononic crystal plates of phases A and B along the y direction.(b) Projected dispersions of the sandwich structure ABA.(c) Displacement field eigenmodes marked by the blue and red star in panel(b),where the deformation is the total displacement.The color bar is the displacement in z direction,and the green dotted line is the boundary position.(d) Interface state transports along the BA interface with defect(denoted by green line).Green star denotes the point source polarized along the z direction and operating at f =22.3 kHz .(e) Transmissions for perfect and defective interfaces.(f) Shear stress distributions corresponding to AB and BA interface states.

無帶隙界面態(tài)的存在源自能谷態(tài)的體-邊對(duì)應(yīng)關(guān)系[38,39],色散位于kx=π/a左側(cè)和右側(cè)的界面態(tài)分別由D能谷和D′能谷誘導(dǎo).對(duì)于D能谷,AB 界面左側(cè)(沿x正方向看)的聲子晶體A的谷陳數(shù)=?1/2 ,右側(cè)B的谷陳數(shù)=+1/2,于是=?1 ,即在AB 界面上存在D能谷投影點(diǎn)附近群速度為負(fù)的界面態(tài);同理,對(duì)于BA 界面,=1,該界面上可以存在由D能谷誘導(dǎo)的群速度為正的界面態(tài).D′能谷的情形可由D能谷時(shí)間反演直接得到.受能谷拓?fù)浔Ｗo(hù),界面態(tài)對(duì)于界面上的彎折和缺陷具有一定的抗反射特性.我們?cè)贐A 界面上引入了一個(gè)小的彎折,破壞了x方向上的晶格平移對(duì)稱性.圖3(d)展示了在外界激勵(lì)下的彈性波傳輸情況,其中的計(jì)算區(qū)域由 3 0×30 個(gè)周期單元拼接而成,四周均設(shè)置為低反射邊界條件,綠線表示BA 界面所在位置.在BA 界面左端(五角星處)放置z方向偏振的彈性波源,可以激發(fā)群速度向右的由D能谷誘導(dǎo)的彈性波界面態(tài)(D′能谷誘導(dǎo)的界面態(tài)群速度向左,無法與左端的激勵(lì)源耦合),該界面態(tài)很好地跨過缺陷區(qū)域在界面上向右傳播.同時(shí)由于體帶隙的存在,z向偏振點(diǎn)源激發(fā)出界面態(tài)被很好地局域在邊界處.圖3(e)給出了不同頻率激發(fā)下無缺陷和存在缺陷的兩種不同界面的透射率,可以看到,在體帶隙頻率范圍內(nèi)兩種邊界具有很高的透射率,兩條曲線幾乎重合表明了該界面態(tài)具有一定的抗缺陷反射能力.

4.2 邊界態(tài)傳輸

和界面態(tài)的位移場(chǎng)分布類似,界面上的鏡面對(duì)稱性對(duì)彈性應(yīng)力分布同樣有約束.對(duì)于薄板中的彈性波,BA 界面態(tài)在界面處底板上沿z方向的剪切應(yīng)力分布為零,即σyz=0(圖3(f)左下),而AB 界面態(tài)在界面處底板上的剪切應(yīng)力則具有非零分布(圖3(f)右上).BA 界面態(tài)在界面處獨(dú)特的應(yīng)力分布啟發(fā)我們是否可以只利用聲子晶體B 構(gòu)建沿自由邊界傳播的表面態(tài).因此考察了具有自由邊界的單一能谷相聲子晶體.聲子晶體B 組成的超胞(y方向上15 個(gè)周期單元,兩端為自由邊界)的投影能帶圖如圖4(a)所示,其中插圖為五角星標(biāo)記點(diǎn)的本征場(chǎng).可以看到,邊界態(tài)僅局域在下邊界傳播,并且單一能谷相聲子晶體的邊界態(tài)能帶和圖3(b)中的BA 界面態(tài)能帶十分相似,也具有無帶隙的特征.這表明聲子晶體B的下邊界,由于提供了BA界面態(tài)所需的零剪切應(yīng)力條件,從而可以很好地支持邊界態(tài)的傳輸;另一方面,由于AB 界面態(tài)的剪切應(yīng)力分布與自由邊界完全不同,聲子晶體B的上邊界在不施加外應(yīng)力的自由邊界下無法支持邊界態(tài)的存在.

圖4 聲子晶體板的邊界態(tài)傳輸 (a)聲子晶體B 在自由邊界下的投影能帶,插圖為邊界態(tài)位移本征場(chǎng)分布(僅存在于下邊界);(b),(c)分別是無缺陷和存在缺陷時(shí)兩種沿自由邊界傳播的邊界態(tài)傳輸;(d)藍(lán)色點(diǎn)線和紅色點(diǎn)線分別是對(duì)應(yīng)(b)和(c)情形的透射率Fig.4.Boundary state transports of phononic crystal plates.(a) Projected dispersions of phononic crystal plates of phase B.Inset:the displacement field eigenmodes of the boundary state,locating at the bottom free boundary.(b),(c) Boundary state transports along the free boundaries without and with defect.(d) Transmissions for two distinct boundaries corresponding to(b) and(c).

這里的邊界態(tài)可以在外界激勵(lì)下沿著聲子晶體的自由邊界傳播,并且同樣具有一定的抗反射能力.構(gòu)建的聲子晶體B 是由20 × 15 個(gè)單胞組成,如圖4(b)所示,左右邊界為低反射邊界,其余均為自由邊界,在左下角z向偏振的聲源激發(fā)下,彈性波局域在下底邊,沿自由邊界向右傳輸.為表征邊界態(tài)傳輸?shù)姆€(wěn)定性,在自由邊界上去除兩個(gè)單胞用以構(gòu)建缺陷,如圖4(c)所示.可以發(fā)現(xiàn),同一頻率下的彈性波沿自由邊界繞過該缺陷近乎無反射的向前傳播.在圖4(d)中進(jìn)一步給出了不同頻率下,兩種不同邊界的彈性波透射.可以看到,彈性波的透射率均接近于1 且兩條曲線高度重合,這表明邊界態(tài)也具有較好的抗缺陷散射能力.利用邊界態(tài)傳輸,使得我們可以脫離界面的限制,只用單一聲子晶體相實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的傳輸效果,為聲子晶體彈性波傳輸邁向?qū)嶋H應(yīng)用提供了新的方案.

5 結(jié) 論

本文在正方晶格聲子晶體板中實(shí)現(xiàn)了彈性波的第二類狄拉克錐色散,通過調(diào)節(jié)幾何參數(shù)破壞體系的狄拉克點(diǎn)簡(jiǎn)并,實(shí)現(xiàn)了由第二類狄拉克點(diǎn)誘導(dǎo)的聲學(xué)能谷態(tài),并構(gòu)建了不同能谷態(tài)之間的受拓?fù)浔Ｗo(hù)的無帶隙界面態(tài).不僅如此,利用彈性界面態(tài)的特殊應(yīng)力分布,在單一能谷相聲子晶體板的自由邊界上同樣構(gòu)建了無帶隙邊界態(tài).通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了這兩種不同機(jī)制產(chǎn)生的邊緣傳輸都具有穩(wěn)定的抗反射傳輸特性.我們的研究豐富了彈性波的調(diào)控方式,為新型聲學(xué)拓?fù)淦骷脑O(shè)計(jì)提供了參考.