一類典型磁力擺的全局動(dòng)力學(xué)行為分析*

秦波 尚慧琳 蔣慧敏

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海 201418)

考慮一類等邊三角形排布的典型磁力擺,基于對(duì)其全局動(dòng)力學(xué)行為的分析,研究初值敏感性現(xiàn)象及其機(jī)制.首先,考慮磁鐵位置可以移動(dòng),利用牛頓第二定律建立該磁力擺動(dòng)力學(xué)模型.進(jìn)而,分析不同的磁鐵位置所對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性.在此基礎(chǔ)上,數(shù)值模擬初值敏感性現(xiàn)象和不動(dòng)點(diǎn)吸引域隨磁鐵位置移動(dòng)的演變規(guī)律.最后,通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn),該類磁力擺普遍存在著多吸引子共存現(xiàn)象,其初值敏感性可歸因于其不動(dòng)點(diǎn)吸引域的分形,其中各不動(dòng)點(diǎn)位置與磁鐵中心投影到磁鐵所在平面上的位置并不重合,而是存在微小的偏差;當(dāng)擺球位置可投影到3 個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心時(shí),3 個(gè)吸引子的吸引域尺寸相當(dāng),呈中心對(duì)稱狀且分形,因此初值敏感性現(xiàn)象很明顯;移動(dòng)磁鐵位置會(huì)直接影響到各吸引域的形態(tài),即離擺球平衡位置投影點(diǎn)近的磁鐵對(duì)擺球影響最大,離該位置最近的吸引子吸引域會(huì)明顯變大,而其他吸引子的吸引域則會(huì)被侵蝕消減.本文的研究在磁力擺裝置設(shè)計(jì)方面具有一定的應(yīng)用價(jià)值.

1 引 言

單擺是最簡(jiǎn)單的和最豐富的物理系統(tǒng)之一[1].其中典型磁力擺作為常見(jiàn)的物理實(shí)驗(yàn)裝置[2,3],通常由一個(gè)擺球和若干個(gè)永磁鐵組成,擺球通過(guò)吊線固定,永磁鐵則放置在底座上,以磁力作用在擺球上[4,5].同時(shí),磁力擺系統(tǒng)也代表了一類含多共存吸引子現(xiàn)象的系統(tǒng),對(duì)含多共存吸引子現(xiàn)象的系統(tǒng)研究也是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.Marino 和Marin[6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究高精度光力學(xué)諧振器中由輻射壓力和光熱效應(yīng)引起的多時(shí)間尺度動(dòng)力學(xué),闡明該系統(tǒng)存在多共存吸引子現(xiàn)象.楊科利[7]研究了耦合不連續(xù)系統(tǒng)的同步轉(zhuǎn)換過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)行為,通過(guò)計(jì)算耦合不連續(xù)系統(tǒng)的同步序參量和最大李雅普諾夫指數(shù)隨耦合強(qiáng)度的變化,發(fā)現(xiàn)兩類周期吸引子和同步吸引子同時(shí)存在,系統(tǒng)表現(xiàn)出對(duì)初值敏感的多共存吸引子現(xiàn)象.Zhang 等[8]在Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入非理想磁通控制的憶阻器模型,構(gòu)造了一種具有多個(gè)雙渦卷吸引子的新型憶阻模型,利用理論分析和數(shù)值模擬觀察到該系統(tǒng)多共存吸引子現(xiàn)象.Lai 等[9,10]提出一類新的混沌系統(tǒng),利用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)闡明該類系統(tǒng)具有無(wú)窮多的平衡點(diǎn)和多共存吸引子現(xiàn)象.

同時(shí),磁力擺代表了一類具有非線性特性和不可預(yù)測(cè)性的有趣物理系統(tǒng),其表現(xiàn)出的物理現(xiàn)象和背后的動(dòng)力學(xué)行為研究一直是學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn).Sanz[11]通過(guò)將磁力擺系統(tǒng)的3 個(gè)永磁鐵設(shè)計(jì)為電磁,并在電磁鐵放置基面上設(shè)置超聲波傳感器來(lái)測(cè)量擺球運(yùn)動(dòng)的位置,設(shè)計(jì)了一種具有多變量、非線性和混沌過(guò)程控制的實(shí)驗(yàn)裝置,可用于非線性系統(tǒng)的相關(guān)控制研究.Kraftmakher[12]設(shè)計(jì)了一種將兩塊永磁鐵放置在一根薄的鋁棒上,并設(shè)置旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳感器組裝的磁控?cái)[實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),得出該系統(tǒng)可用于研究非線性振蕩和混沌運(yùn)動(dòng),改變擺球的設(shè)計(jì)參數(shù)可使實(shí)驗(yàn)適用范圍更廣.Wijata 等[13]設(shè)計(jì)了一種單擺在一定角度范圍內(nèi)擺動(dòng),下方放置一塊永磁鐵的磁力擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn),該單磁擺單側(cè)振蕩具有不同的周期.Motter 等[14]對(duì)3 個(gè)永磁鐵呈等邊三角形排布的磁力擺裝置進(jìn)行了數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究,提出該磁力擺系統(tǒng)擺球不規(guī)則運(yùn)動(dòng)受瞬態(tài)混沌鞍[15]的瞬態(tài)相互作用的控制,認(rèn)為是瞬態(tài)混沌現(xiàn)象[16?18].Khomeriki[19]設(shè)計(jì)了一種具有磁力驅(qū)動(dòng)的阻尼驅(qū)動(dòng)擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),通過(guò)數(shù)值模擬研究該系統(tǒng)參數(shù)共振和混沌的存在性及其相互關(guān)系.同時(shí),對(duì)于磁力擺系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的有趣物理現(xiàn)象背后的動(dòng)力學(xué)行為,學(xué)者們同樣開(kāi)展了一些研究.D’Alessio[20]通過(guò)數(shù)值模擬研究3 個(gè)永磁鐵呈等邊三角形排布的磁力擺裝置的擺球運(yùn)動(dòng)軌跡路線,提出該系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感依賴性,是演示與“蝴蝶效應(yīng)”[21]相關(guān)聯(lián)和類比天氣預(yù)測(cè)的一種簡(jiǎn)化系統(tǒng).Mann[22]研究了由1 個(gè)橫向放置的單擺和2 個(gè)磁鐵組成的磁力擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,對(duì)準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)逃逸準(zhǔn)則進(jìn)行了拓展,得出1 個(gè)平衡點(diǎn)的振蕩能克服相鄰的勢(shì)壘并逃逸到相鄰的吸引子的閾值準(zhǔn)則.James 等[23]通過(guò)數(shù)值模擬研究了4 個(gè)永磁鐵呈正方形排布的磁力擺裝置系統(tǒng),得出該系統(tǒng)擺球復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡與分形有關(guān),并通過(guò)估計(jì)分形維數(shù)來(lái)研究擺球?qū)Τ跏紬l件的敏感性現(xiàn)象.從目前的研究進(jìn)展來(lái)看,典型磁力擺系統(tǒng)存在初值敏感性行為是公認(rèn)的事實(shí),但是引起該現(xiàn)象機(jī)制的理解尚存在分歧:有些學(xué)者認(rèn)為該現(xiàn)象應(yīng)歸因于混沌或瞬態(tài)混沌,另外一些學(xué)者認(rèn)為該現(xiàn)象源于吸引域分形.

為此,本文考慮一類磁鐵位置可調(diào)節(jié)的典型磁力擺系統(tǒng),分析其全局動(dòng)力學(xué)行為,特別是初值敏感性現(xiàn)象的機(jī)制.首先,對(duì)該類磁力擺系統(tǒng)建模;然后,變換磁鐵位置,分析不同磁鐵分布情況下磁力擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性;最后,數(shù)值模擬磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象,并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該現(xiàn)象.

2 磁力擺動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型

本文以一類等邊三角形排布的磁力擺為研究對(duì)象,磁力擺實(shí)物圖如圖1(a)所示,磁力擺改進(jìn)模型示意圖見(jiàn)圖1(b),其中橫豎支桿作為吊接擺球裝置,小圓盤(pán)作為放置3 個(gè)永磁鐵裝置,大圓盤(pán)設(shè)置有滑槽,配合小圓盤(pán)移動(dòng)永磁鐵位置,U 形支座用于校驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置是否水平,磁力擺簡(jiǎn)化計(jì)算模型如圖1(c)所示.在建立磁力擺運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型方程之前,作出以下三點(diǎn)理想化假設(shè)[24]:

圖1 磁力擺 (a) 實(shí)物;(b) 改進(jìn)模型;(c) 簡(jiǎn)化計(jì)算模型Fig.1.Magnetic pendulum:(a) Real object;(b) improved model;(c) simplified calculation model.

1)磁力擺吊線的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比磁鐵間的距離長(zhǎng),因此,可以假定擺球是在平面上而不是在較大半徑的球面上運(yùn)動(dòng),即保持D不變.

2)磁鐵是1 個(gè)吸引點(diǎn),位于磁鐵放置基底平面上,3 個(gè)磁鐵在平面上呈等邊三角形放置,即AB=AC=BC,且每個(gè)磁鐵中心位于等邊三角形頂點(diǎn)上.

3)某個(gè)磁鐵作用在擺球上的力與兩者的距離的平方成反比.

現(xiàn)在考慮單個(gè)磁鐵與擺球受力情況.在擺球位于平衡位置時(shí),單個(gè)磁鐵投影到擺球平面位置如圖2 所示,擺球質(zhì)心在xy平面運(yùn)動(dòng),磁鐵位于xy平面下面,與平面距離為D.因而,假定擺球質(zhì)心位于(x,y,0) ,某個(gè)磁鐵位于(xj,yj,?D),由圖2可得距離m和n,于是角度α的余弦為

圖2 擺球與單個(gè)磁鐵位置示意圖Fig.2.Position diagram of pendulum ball and single magnet.

根據(jù)庫(kù)侖第二定律,磁鐵施加在擺球上的力與這兩點(diǎn)間的距離平方(xj ?x)2+(yj ?y)2+D2成反比[24].然而,根據(jù)理想化假設(shè)1),擺球質(zhì)心運(yùn)動(dòng)可看作位于xy平面,因此,利用余弦的基本表達(dá)并經(jīng)過(guò)某些變換后,投影得到x方向上的力正比于同理,可得到y(tǒng)方向上的力.同時(shí),考慮將擺球拉回到xy平面中心的重力和線性黏性阻尼力,其中,無(wú)量綱化線性黏性阻尼系數(shù)為0.2[24].利用牛頓第二定律,對(duì)位于初始位置的3 個(gè)磁鐵構(gòu)成的磁力擺裝置,來(lái)自磁鐵的力是3 項(xiàng)矢量和,同時(shí)考慮3 個(gè)磁鐵位置可移動(dòng),以移動(dòng)3 個(gè)磁鐵中心位置的xj值為例,保持每組磁鐵位置yj不變,坐標(biāo)系原點(diǎn)在3 個(gè)磁鐵組成的等邊三角形形心位置,將各力投影到x,y方向,將所有項(xiàng)移到等式左邊后,得到該磁力擺無(wú)量綱化運(yùn)動(dòng)微分方程為[20]

3 平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)與穩(wěn)定性分析

為了研究不同磁鐵分布情況下該磁力擺平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性,首先利用(3)式得到7 組移動(dòng)距離和移動(dòng)的磁鐵位置,每組磁鐵的中心投影到xy平面上的位置如表1 所列.

表1 磁鐵移動(dòng)位置Table 1. Magnet moving position.

為了得到每組每個(gè)磁鐵在不同位置時(shí)的平衡點(diǎn),對(duì)(2)式進(jìn)行變換得

對(duì)比表1 和表2 可以得出,每組的前3 個(gè)平衡點(diǎn)位置與每組磁鐵中心投影到xy平面上的位置非常接近,但并不重合,剩余的平衡點(diǎn)位置離磁鐵中心投影到xy平面上位置較遠(yuǎn).

為了研究每組平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性問(wèn)題,首先對(duì)(2)式進(jìn)行狀態(tài)方程變換得

從而將7 組不同磁鐵位置的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化成為討論(0,0) 點(diǎn)穩(wěn)定性;進(jìn)而,作位置平移變換:

為此,將(5)—(8)式在零平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開(kāi),得到該磁力擺系統(tǒng)的雅可比矩陣,代入3 個(gè)磁鐵7 組不同的位置值、平衡點(diǎn)值和Ψ=0.2 ,K=0.5 ,D=0.25 參數(shù)值,分別計(jì)算得到每組平衡點(diǎn)處的特征值,因?yàn)槊拷M均有平衡點(diǎn)位置關(guān)于y軸對(duì)稱,故對(duì)稱的平衡點(diǎn)處的特征值相同.

根據(jù)計(jì)算,表2 中每組除前3 個(gè)平衡點(diǎn)位置,其他平衡點(diǎn)處的特征值實(shí)部均存在大于零的情況,故均不穩(wěn)定.而表2 中各組前3 個(gè)平衡點(diǎn)均具有零實(shí)部特征值,具體對(duì)應(yīng)的特征值情況如表3 所列,因此,適用李雅普諾夫第一法[25]穩(wěn)定性判定定理來(lái)判斷這些平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,具體穩(wěn)定性判定如下.

表2 7 組不同磁鐵位置的平衡點(diǎn)Table 2. Seven groups of equilibrium points with different magnet positions.

根據(jù)(5)—(8)式可以得到系統(tǒng)雅可比矩陣,忽略關(guān)于x和y的二階及以上項(xiàng)次,進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到原系統(tǒng)近似雅可比矩陣為(10)式,其中yj,D)為(11)式,對(duì)應(yīng)各組平衡點(diǎn)雅可比矩陣為

根據(jù)李雅普諾夫第一法[25]判斷每組平衡點(diǎn)處穩(wěn)定性,如果平衡點(diǎn)處特征值的實(shí)部等于零重?cái)?shù),且與其特征子空間維數(shù)相等時(shí),該平衡點(diǎn)穩(wěn)定,否則不穩(wěn)定.以表3 中序號(hào)組別第0 組為例,計(jì)算求解平衡點(diǎn)特征值所對(duì)應(yīng)特征子空間維數(shù),其他組求解同理可得.代入第1 個(gè)平衡點(diǎn)位置和參數(shù)D值可得其特征值為.根據(jù)特征子空間的定義,即特征值的特征向量再添上零向量的集合為屬于特征值的特征子空間[26].此時(shí),計(jì)算得到其所對(duì)應(yīng)的特征子空間為

表3 磁力擺系統(tǒng)移動(dòng)磁鐵位置時(shí)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)判定結(jié)果Table 3. Results of judging the stable equilibrium point when the magnetic pendulum moves the position of the magnet.

因此,特征子空間N1維數(shù)為4.類似地,第2 個(gè)平衡點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的特征值是兩對(duì)純虛根,進(jìn)而,計(jì)算得到其所對(duì)應(yīng)的特征子空間為

特征子空間N2維數(shù)同樣為4.由于表3 中每組第3 個(gè)平衡點(diǎn)位置與第2 個(gè)平衡點(diǎn)位置關(guān)于y軸對(duì)稱,故特征值相同,所對(duì)應(yīng)的特征子空間維數(shù)也相同,即也為4.同理可推導(dǎo)表3 中其他序號(hào)組別中平衡點(diǎn)特征值和所對(duì)應(yīng)的特征子空間維數(shù),具體結(jié)果見(jiàn)表3,所有平衡點(diǎn)特征值的實(shí)部等于零重?cái)?shù),為4,等于所對(duì)應(yīng)的特征子空間維數(shù).因此,滿足李雅普諾夫第一法[25]判斷平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性定理,故為穩(wěn)定的平衡點(diǎn),即不動(dòng)點(diǎn)吸引子.

根據(jù)表3 中平衡點(diǎn)穩(wěn)定性判定結(jié)果可得,不論是磁鐵位置未移動(dòng)時(shí)還是磁鐵位置移動(dòng)后均存在3 個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn),即該系統(tǒng)存在3 個(gè)共存點(diǎn)吸引子現(xiàn)象,且投影到xy平面上位置接近磁鐵中心.為探究磁鐵位置移動(dòng)時(shí)吸引域的分形演變規(guī)律,下節(jié)將利用數(shù)值模擬來(lái)研究7 組不同磁鐵位置時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)處吸引域.

4 數(shù)值算例

本節(jié)在研究該磁力擺系統(tǒng)吸引域的分形問(wèn)題時(shí),(2)式是由二階常微分方程構(gòu)成的系統(tǒng),需要指定擺球位置(x,y) 和速度(),擺球位置是在磁鐵位置周圍的正方形內(nèi)變化的,因此,本文將初始速度設(shè)為(0)=(0)=0,且(2)式中參數(shù)設(shè)定為Ψ=0.2,K=0.5,D=0.25 不變.

當(dāng)磁鐵位置未移動(dòng)(即當(dāng)擺球可投影到3 個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心位置)以及改變磁鐵位置時(shí),擺球從不同的位置釋放,可以通過(guò)擺球運(yùn)動(dòng)軌跡路線不可預(yù)測(cè)性來(lái)闡明初值敏感性現(xiàn)象.當(dāng)磁鐵位置未移動(dòng)時(shí),設(shè)定3 組不同的擺球出發(fā)位置依次為(?0.5,?0.03),(?0.5,0.02) ,(?0.5,0.03),擺球運(yùn)動(dòng)軌跡及各初始條件對(duì)應(yīng)的x和y時(shí)間歷程數(shù)值模擬結(jié)果如圖3(a)所示,其中,綠色軌跡線和對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖為擺球從(?0.5,?0.03) 出發(fā)運(yùn)動(dòng),可以看出擺球在絕大多數(shù)時(shí)間內(nèi)在磁鐵C吸引子中心投影到xy平面上的位置附近雜亂運(yùn)動(dòng),最終靜止在磁鐵C中心投影到xy平面上的位置;藍(lán)色軌跡線和對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖為擺球從(?0.5,0.02)出發(fā)運(yùn)動(dòng),可以看出擺球最終靜止在磁鐵A中心投影到xy平面上的位置;紅色軌跡線和對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖為擺球從(?0.5,0.03) 出發(fā)運(yùn)動(dòng),可以看出擺球最終停止在磁鐵B中心投影到xy平面上的位置.當(dāng)磁鐵位置改變,即對(duì)應(yīng)表2中序號(hào)組別為4,移動(dòng)距離時(shí),設(shè)定3組不同的擺球出發(fā)位置,依次為(?0.6,?0.09) ,(?0.6,0.03),(?0.6,0.09),擺球運(yùn)動(dòng)軌跡及各初始條件對(duì)應(yīng)的x和y時(shí)間歷程數(shù)值模擬結(jié)果如圖3(b)所示.同樣,可觀察到類似現(xiàn)象:綠色軌跡線和對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖為擺球從(?0.6,?0.09) 出發(fā)運(yùn)動(dòng),可以看出擺球在絕大多數(shù)時(shí)間內(nèi)在磁鐵C吸引子中心投影到xy平面上的位置附近雜亂運(yùn)動(dòng),最終靜止在磁鐵C中心投影到xy平面上的位置;藍(lán)色軌跡線和對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖為擺球從(?0.6,0.03) 出發(fā)運(yùn)動(dòng),可以看出擺球最終靜止在磁鐵A中心投影到xy平面上的位置;紅色軌跡線和對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖為擺球從(?0.6,0.09) 出發(fā)運(yùn)動(dòng),可以看出擺球最終停止在磁鐵B中心投影到xy平面上的位置.圖3(a)和圖3(b)中白色“+”號(hào)表示3 個(gè)磁鐵中心投影到xy平面上的位置,對(duì)比圖3(a)和圖3(b)可以得出,其中綠色軌跡線都表示第1 組擺球出發(fā)位置的運(yùn)動(dòng)路徑,藍(lán)色軌跡線都表示第2 組擺球出發(fā)位置的運(yùn)動(dòng)路徑,紅色軌跡線都表示第3 組擺球出發(fā)位置的運(yùn)動(dòng)路徑,3 組擺球起始出發(fā)位置的變化非常微小,每一組擺球運(yùn)動(dòng)軌跡都無(wú)法預(yù)測(cè),反映了擺球動(dòng)力學(xué)行為對(duì)初始條件的敏感依賴性.

圖3 擺球不同出發(fā)位置時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡和時(shí)間歷程 (a) 磁鐵位置未移動(dòng)時(shí);(b) 磁鐵位置移動(dòng)時(shí)Fig.3.Movement trajectory and time history diagram of the swing ball at different starting positions:(a) When the magnet position is not moved;(b) when the magnet position moves.

現(xiàn)研究7 組磁鐵在不同位置時(shí)不動(dòng)點(diǎn)吸引域分形演變規(guī)律,因?yàn)樵摯帕[吊線的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比磁鐵間的距離長(zhǎng),所以可以假定擺球是在xy平面上運(yùn)動(dòng)劃分不動(dòng)點(diǎn)吸引域.由表1 可得,設(shè)定磁鐵未移動(dòng)位置,此時(shí)擺球投影到3 個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心位置,磁鐵位置作為參照,數(shù)值模擬分形吸引域如圖4 所示.在往x軸負(fù)方向移動(dòng)的第1 組中3 個(gè)磁鐵位置依次為其中j=1,2,3,數(shù)值模擬分形吸引域分別如圖5(a)—(c)所示.從磁鐵未移動(dòng)的位置處開(kāi)始往x軸正方向移動(dòng)的第1 組中3 個(gè)磁鐵位置依次為其中j=1,2,3,數(shù)值模擬分形吸引域分別如圖6(a)—(c)所示.

圖4 磁鐵位置未移動(dòng)時(shí)分形吸引域Fig.4.Diagram of fractal domain of attraction when magnet position is not moved.

圖5 向左方向平移時(shí)分形吸引域隨磁鐵位置演變Fig.5.Evolution of fractal basin of attraction of the attractors under different translation distances of magnet position to the left:

在圖4—6 中,白色“+”號(hào)表示每組3 個(gè)磁鐵的中心投影到xy平面上的位置,白色“?”號(hào)表示穩(wěn)定的平衡點(diǎn)即不動(dòng)點(diǎn)位置,白色“?”號(hào)表示3 個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心投影到xy平面上的位置,紅色“×”號(hào)表示擺球平衡位置投影(0,0) 處.其中,黑色區(qū)域?yàn)樽羁拷盆FA的吸引子的吸引域,深灰色和淺灰色區(qū)域分別對(duì)應(yīng)靠近磁鐵B和C的吸引子的吸引域.由圖4 可見(jiàn),當(dāng)擺球可投影到3 個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心位置時(shí),3 個(gè)磁鐵吸引子A,B,C的吸引域尺寸面積相當(dāng),呈中心對(duì)稱狀,邊界分形明顯,因此體現(xiàn)初值敏感性現(xiàn)象.對(duì)比圖4 和圖5 可得出:各不動(dòng)點(diǎn)位置與磁鐵中心投影到xy平面上的位置并不重合,而存在微小的偏差;從擺球可投影到3 個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心位置出發(fā),隨著3 個(gè)磁鐵位置往x軸負(fù)方向移動(dòng),離擺球平衡位置投影點(diǎn)(0,0) 處最近的1 個(gè)磁鐵A吸引子的吸引域明顯變大,成為強(qiáng)勢(shì)吸引域,而另外吸引子的吸引域則被迅速侵蝕;類似地,不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)3 個(gè)磁鐵從擺球可投影到對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心位置往x軸正方向移動(dòng)時(shí),對(duì)比圖4和圖6 可以得出,離擺球平衡位置投影點(diǎn)(0,0) 處最近的2 個(gè)磁鐵B,C吸引子的吸引域同樣變得越來(lái)越大,而離擺球平衡位置投影點(diǎn)(0,0) 處最遠(yuǎn)的1 個(gè)吸引子吸引域盡管迅速消減,卻始終存在.由此可見(jiàn),移動(dòng)磁鐵位置會(huì)引起各吸引子吸引域的變化,卻不會(huì)對(duì)其吸引域分形形態(tài)產(chǎn)生本質(zhì)影響.

圖6 向右方向平移時(shí)分形吸引域隨磁鐵位置演變Fig.6.Evolution of fractal basin of attraction of the attractors under different translation distances of magnet position to the right:

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)將通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證該磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象.傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法[24]是在磁鐵固定板上涂滿熒光劑,然后在擺球上安裝感光燈,使用熒光劑發(fā)光來(lái)跟蹤擺球運(yùn)動(dòng)軌跡,但熒光劑發(fā)光亮度會(huì)受到限制,發(fā)光時(shí)間也有限,得到的實(shí)驗(yàn)軌跡圖效果并不理想.為此,本實(shí)驗(yàn)采用可調(diào)節(jié)亮度的LED 微型信號(hào)燈(位置粘貼在擺球與吊線連接處,尺寸2 mm × 1 mm,質(zhì)量2 mg),用攝像機(jī)延時(shí)拍攝功能直接跟蹤擺球上的燈光軌跡,從而來(lái)直觀記錄下擺球運(yùn)動(dòng)的軌跡驗(yàn)證初值敏感性現(xiàn)象.由于LED 微型信號(hào)燈質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于擺球(僅相當(dāng)于擺球質(zhì)量的0.04 %),因此忽略其質(zhì)量,并不定性影響該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo),準(zhǔn)備如下實(shí)驗(yàn)裝置器材:橫向支桿、豎向支桿、緊固支桿螺栓、豎向支桿底座、圓形透明有機(jī)玻璃座、3 個(gè)扁平圓柱體釹鐵硼永磁鐵、帶孔擺球、吊線、2 根直徑為0.1 mm 細(xì)導(dǎo)線、1 個(gè) 2 20 Ω 色環(huán)電阻、1 個(gè)調(diào)節(jié)范圍為0— 5 50 Ω的電位器、1 個(gè)LED 微型信號(hào)燈、5 V 電壓接線、5 V 電源、攝像機(jī)、三腳支架等.具體整體實(shí)驗(yàn)裝置如圖7(a)所示,電路連接部分如圖7(b)所示.在實(shí)驗(yàn)時(shí),為了讓攝像機(jī)能夠更好地進(jìn)行捕光工作,將整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置放置在較暗環(huán)境下.同時(shí),為減小實(shí)驗(yàn)效果誤差,將擺球吊線涂成黑色,從而避免反光影響攝像機(jī)捕捉擺球上光軌.

實(shí)驗(yàn)多次記錄擺球上LED 微型信號(hào)燈的運(yùn)動(dòng)軌跡,來(lái)對(duì)比驗(yàn)證擺球運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)初值的敏感依賴性.本實(shí)驗(yàn)選擇了保留3 次可以代表驗(yàn)證初值敏感性現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)圖像,如圖8 所示.具體實(shí)驗(yàn)步驟如下:

圖8 擺球不同出發(fā)位置時(shí)光軌運(yùn)動(dòng)軌跡 (a) 第1 次釋放擺球光軌運(yùn)動(dòng)軌跡;(b) 第2 次釋放擺球光軌運(yùn)動(dòng)軌跡;(c) 第3 次釋放擺球光軌運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.8.Trajectory photo of light track in different starting positions of pendulum ball:(a) The trajectory photo of the first release pendulum;(b) the trajectory photo of the second release pendulum;(c) the trajectory photo of the third release pendulum.

1)如圖7 搭建好實(shí)驗(yàn)平臺(tái),用記號(hào)筆記下擺球自然垂下時(shí)質(zhì)心投影到水平工作臺(tái)的位置,用黑色實(shí)心圓圈表示.然后將3 個(gè)永磁鐵固定在圓形透明有機(jī)玻璃座上,3 個(gè)永磁鐵等邊三角形排布方向如圖1(c)所示,磁鐵B,C與y軸平行擺放,磁鐵A處在x軸上.調(diào)整3 個(gè)永磁鐵所組成的等邊三角形,使形心投影到記號(hào)筆記下的黑色實(shí)心圓圈位置,并且調(diào)整擺球質(zhì)心投影到3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心位置,保證擺球投影位置、3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心投影位置與記號(hào)筆記下的黑色實(shí)心圓圈位置重合.

圖7 磁力擺實(shí)驗(yàn)裝置 (a) 實(shí)驗(yàn)整體裝置;(b) 電路連接Fig.7.An experimental apparatus for a magnetic pendulum:(a) Overall experimental device;(b) circuit connection.

2)接通5 V 電源,此時(shí)粘貼在擺球上的LED微型信號(hào)燈亮起,同時(shí),將攝像機(jī)固定好位置,對(duì)準(zhǔn)3 個(gè)永磁鐵所處平面.

3)移動(dòng)擺球偏離3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心距離為2 mm,并在起點(diǎn)位置標(biāo)記紅色“+”記號(hào),開(kāi)始第一次釋放擺球,設(shè)置攝像機(jī)延時(shí)1 s 后開(kāi)始記錄光軌,給撥動(dòng)擺球預(yù)留時(shí)間,按下攝像機(jī)開(kāi)關(guān),記錄擺球上LED 微型信號(hào)燈的運(yùn)動(dòng)軌跡,直至擺球最終靜止在某個(gè)永磁鐵上方,此時(shí),關(guān)閉攝像機(jī)開(kāi)關(guān),保存記錄的圖像如圖8(a)所示.

4)保持?jǐn)[球距3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心位置高度不變,移動(dòng)擺球偏離3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心距離為3 mm,不同于第1 次釋放擺球位置,并記錄下此時(shí)起點(diǎn)位置,用紅色“+”記號(hào),然后,按下攝像機(jī)開(kāi)關(guān),記錄擺球上LED 微型信號(hào)燈的運(yùn)動(dòng)軌跡,直至擺球最終靜止在另一個(gè)永磁鐵上方,此時(shí),關(guān)閉攝像機(jī)開(kāi)關(guān),保存記錄的圖像如圖8(b)所示.

5)重復(fù)步驟4)操作,需要注意的是釋放的起點(diǎn)位置不同于第1 次、第2 次釋放位置,移動(dòng)擺球偏離3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心距離為4 mm,用紅色“+”記號(hào),最終保存記錄的圖像如圖8(c)所示.

6)整理實(shí)驗(yàn)器材,清理實(shí)驗(yàn)平臺(tái).

在圖8 中,擺球上的光軌會(huì)遍歷3 個(gè)平衡點(diǎn)吸引子,軌線最密的地方代表其長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)行為.其中,紅色“+”號(hào)表示擺球光軌起點(diǎn)位置,綠色“?”號(hào)表示擺球光軌最終停止位置.根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖8(a)可以看出,第1 次實(shí)驗(yàn)時(shí)移動(dòng)擺球偏離3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心距離為2 mm,擺球光軌由起點(diǎn)開(kāi)始繞3 個(gè)磁鐵中心運(yùn)動(dòng),最終停止在磁鐵A吸引子中心投影到xy平面上的位置;從圖8(b)的光軌可以看出,第2 次實(shí)驗(yàn)時(shí)移動(dòng)擺球偏離3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心距離為3 mm,擺球光軌最終停止于磁鐵B吸引子中心投影到xy平面上的位置;類似地,根據(jù)圖8(c)的光軌可以看出,第3 次實(shí)驗(yàn)時(shí)移動(dòng)擺球偏離3 個(gè)永磁鐵等邊三角形形心距離為4 mm,擺球光軌最終停止在磁鐵C吸引子中心投影到xy平面上的位置.對(duì)比圖8(a)—(c)可知,擺球出發(fā)的起始位置僅存在微小的不同,光軌運(yùn)動(dòng)軌跡卻截然不同,并最終停止在不同的磁鐵中心投影到xy平面上的位置,說(shuō)明擺球的動(dòng)力學(xué)行為具有明顯的初值敏感性.這也驗(yàn)證了第3 節(jié)的理論預(yù)測(cè)和第4 節(jié)的數(shù)值仿真結(jié)論.

6 結(jié) 論

本文以對(duì)磁鐵位置可調(diào)節(jié)的典型磁力擺為研究對(duì)象,建立了無(wú)量綱化動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程.改變磁鐵位置,分析了7 組不同磁鐵位置下磁力擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù),并判斷了每組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.通過(guò)數(shù)值模擬研究磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象及其機(jī)制和不同磁鐵位置對(duì)應(yīng)的吸引域演變規(guī)律.最后,通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象.主要得到以下結(jié)論:

1)該磁力擺系統(tǒng)存在3 個(gè)共存吸引子,初值敏感性現(xiàn)象歸因于不動(dòng)點(diǎn)吸引子的吸引域分形,而非混沌.

2)每組穩(wěn)定的平衡點(diǎn)即不動(dòng)點(diǎn)位置與磁鐵中心投影到xy平面上的位置并不重合,而存在微小的偏差,偏差與重力恢復(fù)力相關(guān)的彈性系數(shù)和擺球距磁鐵所在平面之間的最小距離這兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān).

3)當(dāng)擺球可投影到3 個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心位置時(shí),3 個(gè)磁鐵吸引子的吸引域區(qū)域面積相當(dāng),呈中心對(duì)稱狀且分形,初值敏感性現(xiàn)象很明顯.

4)移動(dòng)磁鐵位置會(huì)直接影響到3 個(gè)磁鐵吸引子的吸引域形態(tài),即離擺球平衡位置投影點(diǎn)近的磁鐵對(duì)擺球影響最大,也就是離其最近的吸引子的吸引域會(huì)明顯變得越來(lái)越大,其他吸引子的吸引域則會(huì)被侵蝕消減.