玻色-愛因斯坦凝聚體中的淬火孤子與沖擊波*

賈瑞煜 方乒乒 高超 林機(jī)

(浙江師范大學(xué)物理系,金華 321004)

系統(tǒng)性地探討了通過淬火相互作用在初態(tài)包含暗孤子的玻色-愛因斯坦凝聚體中產(chǎn)生量子沖擊波的可能性及其內(nèi)稟機(jī)制.在淬火至無相互作用極限下,解析得到了初始靜止孤子的后續(xù)動(dòng)力學(xué),發(fā)現(xiàn)了沖擊波的存在,并通過量子相干效應(yīng)加以解釋.在淬火至有限相互作用下,通過數(shù)值求解Gross-Piatevskii方程也發(fā)現(xiàn)了沖擊波現(xiàn)象,并且分析了不同情形:往弱相互作用側(cè)淬火時(shí)得到的沖擊波與無相互作用情形類似;往強(qiáng)相互作用側(cè)淬火時(shí)得到的沖擊波伴隨著孤子的劈裂,且兩者存在同步變化關(guān)系.進(jìn)一步探究了沖擊波的特性,包括其振幅、速度,并得到了其隨淬火相互作用強(qiáng)度變化的全景圖譜.這一工作為實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)和觀測(cè)沖擊波提供了理論指導(dǎo).

1 引 言

自1995 年玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensate,BEC)在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)以來,BEC為研究各種量子物理現(xiàn)象提供了理想平臺(tái)[1?3].在此平臺(tái)上,人們已深入探究了諸如超流、渦旋[4]、孤子[5?13]等重要的平衡態(tài)和穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,近年來又開始探索非平衡態(tài)問題.在經(jīng)典系統(tǒng)中,非平衡問題例如爆炸常伴有沖擊波.沖擊波又被稱為激波,它是一種特殊的非線性現(xiàn)象[14].沖擊波是屬于紊流的一種傳播形式,其可觀測(cè)的主要物理特征包括:介質(zhì)特性(如壓力、溫度或速度)在沖擊波前后發(fā)生了一個(gè)像正的階梯函數(shù)般的突然變化[15];其前后沿傳播速度都大于局域聲速;在傳播過程中沖擊波的前沿速度大于后沿速度,所以沖擊波會(huì)呈現(xiàn)出伸展的趨勢(shì),與孤子等非線性波不同的是,沖擊波會(huì)隨距離的增加而快速耗散;當(dāng)沖擊波穿過物質(zhì),能量會(huì)守恒但熵會(huì)增加.沖擊波在耗散流體中被稱為耗散沖擊波,而在色散流體中稱為色散沖擊波.沖擊波在許多領(lǐng)域被廣泛地研究,比如黑洞宇宙學(xué)的演化[16]、熱波現(xiàn)象[17,18]、切倫科夫輻射[19]等.不僅如此,沖擊波最近在光學(xué)介質(zhì)[20?30]和超低溫原子氣體[31?41]研究中取得突破性實(shí)驗(yàn)進(jìn)展而引起了人們的關(guān)注.在足夠短的時(shí)間尺度下,甚至在強(qiáng)電子束下[42]和稀薄的等離子體[43]中也能觀察到?jīng)_擊波.在平均場(chǎng)近似下,可以用Gross-Piatevskii(GP)方程[44?46]去描述BEC 量子流體動(dòng)力學(xué).該方程所描述的系統(tǒng)包含色散效應(yīng),因此其中的沖擊波也被稱為色散沖擊波[47].

對(duì)于各種沖擊波現(xiàn)象,不同情形存在的解釋機(jī)制尚有討論空間.目前在BEC 中對(duì)沖擊波的產(chǎn)生機(jī)制有兩種解釋:一是密度堆積,含背景的高斯波包在GP 方程所描述的玻色系統(tǒng)中演化時(shí),高斯波包會(huì)分裂成兩個(gè)波包,且密度高處的粒子運(yùn)動(dòng)得快,所以在一段時(shí)間后密度就堆積在高處直至臨界點(diǎn),隨后產(chǎn)生沖擊波[37,48];二是量子相干,在無相互作用強(qiáng)度的稀薄氣體BEC 里,含背景的高斯波包演化過程中并沒有觀察到密度堆積的情況,但通過解析的演化過程發(fā)現(xiàn)沖擊波的形成來自于背景與波包的量子相干效應(yīng)[49].

2 含背景高斯波包產(chǎn)生沖擊波

含背景的高斯波包在一維無相互作用的BEC中演化產(chǎn)生沖擊波的過程,如圖1 所示.在本文的數(shù)值計(jì)算中取m=?=g1=1 ,其中m為原子質(zhì)量,?為普朗克常數(shù),g1為淬火前的相互作用強(qiáng)度(詳見(1)式后的說明),并使用無量綱化后的參數(shù).其中沖擊波的產(chǎn)生原理是量子相干效應(yīng)[49],即局部的波包與背景的相互干涉產(chǎn)生沖擊波.以隆起的波包為例,波包頂部先下降,波包的寬度逐漸變寬,接著頂部趨于平穩(wěn)并從正中間開始向下凹陷,呈現(xiàn)出由1 個(gè)波包變成兩個(gè)波包的趨勢(shì).同時(shí)在與背景交界處先產(chǎn)生下凹,在波包分裂過程中與背景的相干效應(yīng)愈加強(qiáng)烈,出現(xiàn)不穩(wěn)定,沖擊波隨之產(chǎn)生.不僅對(duì)于隆起的波包,1 個(gè)向下凹陷的波包同樣也能與背景相干產(chǎn)生沖擊波,其產(chǎn)生過程大致相似.根據(jù)下凹的高斯波包與暗孤子在初態(tài)時(shí)有一定的相似程度,可以預(yù)測(cè)原本穩(wěn)定于系統(tǒng)中的暗孤子在淬火后也可與背景相干產(chǎn)生沖擊波.

圖1 一維BEC 中初始高斯波包的演化過程,縱軸是密度 ρ(x,t)=|Ψ(x,t)|2 (a) Ψ(x,0)=Ψ0+2 exp(-x2/α2) ;(b) Ψ(x,0)=Ψ0-2 exp(-x2/α2) ,其 中 Ψ0=3,高斯波包的寬度α=2Fig.1.Evolution of an initial Gaussian packet in a one-dimensional BEC. The vertical axis is density ρ(x,t)=|Ψ(x,t)|2 :(a) Ψ(x,0)=Ψ0+2 exp(-x2/α2) ;(b)Ψ(x,0)=Ψ0-2 exp(-x2/α2) . Ψ0=3 and the width of Gaussian wave packet α =2 .

3 暗孤子淬火產(chǎn)生沖擊波機(jī)制

根據(jù)含背景波包產(chǎn)生沖擊波的圖像猜測(cè)對(duì)暗孤子淬火后也會(huì)有沖擊波形成,并對(duì)此猜想進(jìn)行了數(shù)值模擬驗(yàn)證.對(duì)淬火暗孤子產(chǎn)生沖擊波的機(jī)制進(jìn)行深入探究發(fā)現(xiàn),其也為背景與波包的相干效應(yīng).為確保結(jié)果的真實(shí)性與有效性,分別用數(shù)值與解析演化兩種方法進(jìn)行互相驗(yàn)證,并且給出了在暗孤子淬火下相干產(chǎn)生沖擊波的解析表達(dá)式.

在平均場(chǎng)近似的情況下,可以用一維GP 方程[44?46,50]來描述一維BEC的動(dòng)力學(xué):

其中m是原子的質(zhì)量,g是一維體系中有效的相互作用強(qiáng)度.在實(shí)驗(yàn)上可以通過施加很強(qiáng)的橫向諧振子勢(shì)阱使得三維系統(tǒng)變?yōu)橛行У囊痪S系統(tǒng).當(dāng)橫向諧振子勢(shì)阱的特征長(zhǎng)度a⊥與三維的 s 波原子散射長(zhǎng)度as不可比時(shí),,其中U0為三維相互作用強(qiáng)度,U0=4π?2as/m.當(dāng)a⊥足夠小乃至與as可比時(shí),系統(tǒng)會(huì)發(fā)生束縛誘導(dǎo)共振,g不再簡(jiǎn)單依賴于as(詳見文獻(xiàn)[51]).由于可以通過Feshbach共振技術(shù)用外加磁場(chǎng)來調(diào)節(jié)[52],g可相應(yīng)得到有效調(diào)控.本文研究淬火相互作用強(qiáng)度帶來的效應(yīng),即將g的值從g1突然改變?yōu)間2.

當(dāng)凝聚體囚阱在無限深勢(shì)阱,若粒子相互作用呈現(xiàn)排斥性狀(即g>0) 時(shí),存在GP 方程的灰孤子解[50]:

其中n是背景密度;聲速s=,與相互作用強(qiáng)度以及背景密度相關(guān)聯(lián);孤子寬度ξ=所描述的是灰孤子的尺度;u是孤子速度;μ為化學(xué)勢(shì).當(dāng)孤子速度u取為0 時(shí),灰孤子變成黑孤子.本文所淬火的孤子都是靜止的暗孤子.

將暗孤子所在的一維BEC 系統(tǒng)中的相互作用強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行淬火.淬火至無相互作用極限時(shí),可以得到?jīng)_擊波,如圖2 所示.通過觀察數(shù)值模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),其產(chǎn)生沖擊波過程與含背景下凹的高斯波包類似,因此我們猜測(cè)其產(chǎn)生機(jī)制也是背景與暗孤子的相干作用.與高斯波包不同之處在于,暗孤子在產(chǎn)生沖擊波后還可以穩(wěn)定傳輸.在產(chǎn)生沖擊波過程中其寬度會(huì)發(fā)生變化,但是在產(chǎn)生沖擊波后,暗孤子會(huì)依舊保持穩(wěn)定.

圖2 從t=-10至t=0,暗孤子在凝聚體中穩(wěn)定演化,其中背景密度n=10,相互作用強(qiáng)度 g1=1 .而在t=0時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了淬火,將相互作用強(qiáng)度突變至 g2=0,此后在暗孤子兩側(cè)出現(xiàn)對(duì)稱的激發(fā),這些激發(fā)以恒定速度向兩側(cè)運(yùn)動(dòng),中間孤子寬度變大Fig.2.From t =-10 to t =0,the dark soliton evolves stably in the condensate,in which the background density is n =10 and the interaction intensity g1=1 .At t =0,the system is quenched,and the interaction intensity suddenly changes to g2=0 .After that,symmetric excitations appear on both sides of the dark soliton,which move to both sides at a constant speed,and the width of the intermediate soliton increases.

可以看到暗孤子的演化結(jié)果:

其中沖擊波的振蕩是由后三項(xiàng)疊加造成的.同樣,從圖3(b)可以觀察到,通過解析演化,消除背景后沖擊波不再產(chǎn)生.進(jìn)一步證明暗孤子淬火中沖擊波的產(chǎn)生機(jī)制是背景與暗孤子的相干效應(yīng).

圖3 (a)淬火后暗孤子演化至 t =π/20 時(shí)刻數(shù)值與解析對(duì)照?qǐng)D,可以發(fā)現(xiàn)兩 者完全 符合;(b) t =π/20 時(shí)刻,除去背景暗孤子淬火后的演化與不除去背景的比較,在除去背景后沖擊波消失Fig.3.(a) When the dark soliton evolves to t =π/20 after quenching,it can be found that they are completely consistent with the analytical comparison chart;(b) at t =π/20,the evolution of dark soliton after quenching with background removed is compared with that without background removed,and the shock wave disappears after background removed.

4 不同強(qiáng)度淬火

4.1 弱相互作用側(cè)淬火

上文探究了在無相互作用情況(g2/g1= 0)下生成沖擊波的機(jī)制.在淬火比值 0

選取g2/g1=0,g2/g1=0.1,g2/g1=0.9 三個(gè)不同的淬火值進(jìn)行對(duì)比.數(shù)值演化結(jié)果如圖4 所示,可以看出,三者形成沖擊波的過程類似,并沒有出現(xiàn)密度堆積情況.在產(chǎn)生沖擊波的過程中都先在背景平面上隆起一個(gè)波包,波包不斷升高,與此同時(shí)高起的波包與背景相互干涉,隨之產(chǎn)生沖擊波.比較這三者可以發(fā)現(xiàn),淬火前后比值越大其沖擊波振幅越小.特別關(guān)注g2/g1=0 與g2/g1=0.1的情況,從數(shù)值模擬上看,兩者形成過程幾乎沒有差異,只是在沖擊波的振幅上有所差異.由此可以推斷出它們形成沖擊波的機(jī)制是相同的,即均為背景與波包的相干.

圖4 淬火強(qiáng)度在 0 ≤g2/g1 <1 范圍時(shí) 沖擊 波的形成對(duì)比 (a)淬火至無相互作用強(qiáng)度下,即 g2/g1=0,可以觀察到在背景之上有波包的隆起,并且伴隨著與背景的振蕩;(b)相互作用強(qiáng)度淬火前后比值 g2/g1=0.1,除了淬火比值不同外其他都與圖(a)相同(n =10,g1=1);(c)相互作用強(qiáng)度淬火前后比值 g2/g1=0.9,其他參數(shù)與(a),(b)兩圖相同F(xiàn)ig.4.Comparison of shock wave formation when quenching strength is 0 ≤g2/g1 <1 :(a) For quenching to the strength without interaction,that is g2/g1=0,it can be observed that there is a bump above the background,accompanied by oscillation with the background;(b) ratio of interaction strength before and after quenching is g2/g1=0.1,values of other parameters are the same as those in panel(a)(n =10,g1=1,m=1,? =1);(c) ratio of interaction strength before and after quenching is g2/g1=0.9,and values of other parameters are the same as those in panels(a) and(b).

淬火參數(shù)在 0 ≤g2/g1<1 范圍內(nèi),沖擊波的產(chǎn)生機(jī)制相同,但是在沖擊波的振幅與速度方面存在差異,在后面的討論中會(huì)再次進(jìn)行分析.當(dāng)淬火比值從g2/g1=0 變到g2/g1=0.1,描述系統(tǒng)所用的薛定諤方程增加了非線性項(xiàng).而在考慮非線性項(xiàng)的情況下,淬火暗孤子產(chǎn)生沖擊波的機(jī)制還是背景與波包的相干,這證明了沖擊波的生成與非線性項(xiàng)并沒有決定性的關(guān)系.

4.2 強(qiáng)相互作用側(cè)淬火

在前面的討論中已經(jīng)知道,在暗孤子淬火比值在 0 ≤g2/g1<1 范圍內(nèi)會(huì)有沖擊波生成,這些都是將相互作用強(qiáng)度向小淬火的結(jié)果.同樣地,作為非平衡態(tài)演化,可以將相互作用強(qiáng)度向大淬火.可以對(duì)比g2/g1>1 與 0 ≤g2/g1<1 時(shí)的現(xiàn)象,在此范圍內(nèi)所產(chǎn)生的激發(fā)為沖擊波,并且產(chǎn)生的沖擊波在左右兩側(cè)是對(duì)稱的.

暗孤子在此范圍內(nèi)淬火時(shí)會(huì)劈裂出孤子,并在孤子與背景的交接處產(chǎn)生一個(gè)隆起的波包,隨后產(chǎn)生沖擊波,如圖5 所示.與之前情形(0 ≤g2/g1<1)比較可以發(fā)現(xiàn),沖擊波產(chǎn)生過程類似,這兩種淬火情形下產(chǎn)生的沖擊波應(yīng)屬于同一類型.在區(qū)間1

圖5 淬火強(qiáng)度 g2/g1 >1 時(shí) 沖擊波的形成對(duì)比 (a)淬火相互作用強(qiáng)度為 g2/g1=2 ;(b)淬火相互作用強(qiáng)度為g2/g1=8,其他參數(shù)與4.1 節(jié)相同F(xiàn)ig.5.Comparison of shock wave formation when quenching strength is g2/g1 >1 :(a) Quenching interaction strength is g2/g1=2 ;(b) quenching interaction strength is g2/g1=8,and other parameters are the same as those in the section 4.1.

在淬火比值在 1 ≤g2/g1<4 范圍內(nèi),分別在原孤子左右兩邊劈裂出1 個(gè)孤子,并伴隨著沖擊波,而在 4 ≤g2/g1<9 范圍內(nèi),除了沖擊波產(chǎn)生,左右兩側(cè)劈裂出孤子變?yōu)? 個(gè).沖擊波產(chǎn)生處都在最外側(cè)孤子與背景相交處.

可以發(fā)現(xiàn),在整個(gè)范圍內(nèi)存在著兩個(gè)特殊值:g2/g1=4和g2/g1=9,見圖6.當(dāng)淬火至此二值時(shí),沖擊波消失只存在孤子的劈裂,并且淬火比值越接近這兩個(gè)值時(shí),所產(chǎn)生的沖擊波振幅越小.此結(jié)果與Gamayun 等[53]對(duì)BEC 中的灰孤子進(jìn)行淬火的探究不謀而合,他們提出了在相互作用強(qiáng)度為整數(shù)的平方倍g2/g1=n2,n=2,3,4···時(shí)可以完美地劈裂出孤子.所謂完美劈裂是指一個(gè)暗孤子在淬火后在原暗孤子兩側(cè)各產(chǎn)生一個(gè)帶速度的灰孤子,而沒有伴隨著其他的激發(fā).孤子的劈裂并非只在這些特殊的值上,在非整數(shù)的平方倍時(shí)也可以劈裂出孤子但是會(huì)伴隨著其他激發(fā),稱為不完美劈裂.

圖6 淬火強(qiáng)度g2/g1=4與g2/g1=9時(shí)孤子完美劈裂 (a)淬火相互作用強(qiáng)度為 g2/g1=4 時(shí)在原孤子兩側(cè)各完美劈裂出1 個(gè)灰孤子;(b)淬火相互作用強(qiáng)度為g2/g1=9時(shí)在原孤子兩側(cè)各完美劈裂出兩個(gè)灰孤子.可以觀察到完美劈裂情況下除了孤子并沒有其他激發(fā)Fig.6.When the quenching strength is g2/g1=4 and g2/g1=9,the soliton splits perfectly:(a) When the quenching interaction intensity is g2/g1=4,a gray soliton is perfectly split on both sides of the original soliton;(b) when the quenching interaction intensity is g2/g1=9,two gray solitons are split perfectly on both sides of the original soliton.It can be seen that in the case of perfect splitting,there is no excitation except soliton.

4.3 淬火暗孤子全景圖

我們發(fā)現(xiàn)在不同的淬火參數(shù)下沖擊波的速度與振幅是不同的,為此進(jìn)行了探究.如圖7 所示,在 0 ≤g2/g1<1 范圍內(nèi)沖擊波振幅有劇烈的變化,g2/g1的比值越接近0,沖擊波的振幅越大,比值越大振幅越小,在g2/g1=1 時(shí)不會(huì)有沖擊波產(chǎn)生;而在此范圍內(nèi)所產(chǎn)生的沖擊波速度變化情況與振幅相反.在g2/g1=0 時(shí)速度最小,比值越接近1,速度越大,當(dāng)比值到達(dá)1 時(shí)刻突變?yōu)?.

淬火參數(shù)在 1 ≤g2/g1≤4 范圍內(nèi),沖擊波的振幅從0 開始有小幅增大然后減小直至變?yōu)?,其中有特殊比值g2/g1=4,由于沖擊波的消失振幅會(huì)變?yōu)?;沖擊波的速度在整個(gè)區(qū)間內(nèi)都不斷增大,且與前一區(qū)間(0 ≤g2/g1<1) 是連續(xù)變化的.通過速度變化的連續(xù)性亦可證明在不完美劈裂時(shí)所存在的激發(fā)是沖擊波.而在區(qū)間 4 ≤g2/g1<9 內(nèi),沖擊波的振幅與前兩個(gè)區(qū)間內(nèi)相比更小,變化過程與 1 ≤g2/g1<4 相似,先增大后減小;沖擊波速度在此范圍依舊不斷增大.圖7(b)中,在忽略g2/g1=1,4,9特殊值不存在沖擊波情況下(在圖中已用灰色虛線抹去),紅線所描述的沖擊波速度變化在所有區(qū)間內(nèi)有統(tǒng)一的連續(xù)性.

在之前的淬火圖像中發(fā)現(xiàn),在淬火孤子兩側(cè)都有沖擊波生成,兩者處于對(duì)稱關(guān)系.為驗(yàn)證此現(xiàn)象,進(jìn)行了具體的數(shù)據(jù)對(duì)比:在圖7(a)中分別用粉紅色、藍(lán)色、綠色的虛線與實(shí)線代表在孤子兩側(cè)產(chǎn)生的沖擊波、第1 次劈裂出的孤子、第2 次劈裂出的孤子.整個(gè)區(qū)間內(nèi)因?yàn)榇慊鸲a(chǎn)生的沖擊波和孤子都是關(guān)于原孤子左右對(duì)稱的.圖7(b)中實(shí)線與虛線對(duì)應(yīng)的是原孤子左右兩側(cè)沖擊波的速度,其中左側(cè)為負(fù),右側(cè)為正.在同一淬火參數(shù)下在兩側(cè)所產(chǎn)生的沖擊波與劈裂出的孤子速度大小都相等.

圖7 淬火后孤子與沖擊波的振幅、速度隨淬火強(qiáng)度的變化 (a)沖擊波最高點(diǎn)振幅以及劈裂出的孤子深度與相互作用強(qiáng)度淬火比值關(guān)系,虛線為左側(cè),實(shí)線為右側(cè),兩者完全重合;(b) 速度與相互作用強(qiáng)度淬火比值關(guān)系,紅色線所描述的是沖擊波,綠色和粉絲的線是劈裂出的孤子.在原孤子的左側(cè)為負(fù),右側(cè)為正Fig.7.Changes of amplitude and velocity of soliton and shock wave after quenching:(a) Quenching ratio relationship between the peak amplitude of shock wave,the depth of split soliton and the interaction strength.The dashed line is on the left side and the solid line is on the right side,which are completely coincident;(b) quenching ratio relationship between velocity and interaction strength.The red line describes shock wave,and the green and vermicelli lines are split solitons.It is negative on the left side and positive on the right side of the original soliton.

從圖7 還可得到一些其他的信息:沖擊波的速度在任意時(shí)刻都大于局域聲速,且隨著淬火參數(shù)的增加,速度愈發(fā)接近于線性.對(duì)于在1

5 總 結(jié)

本文主要探究了在玻色-愛因斯坦凝聚體中原本穩(wěn)定的暗孤子在淬火后會(huì)有沖擊波產(chǎn)生這類有趣的物理現(xiàn)象,并分析了產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因,以及對(duì)不同情形下的淬火暗孤子進(jìn)行了分析.

首先介紹了玻色-愛因斯坦凝聚體系統(tǒng)中存在著孤子與沖擊波,并闡明了沖擊波的一些形成機(jī)制,發(fā)現(xiàn)將暗孤子進(jìn)行粒子間相互作用強(qiáng)度淬火后可以得到?jīng)_擊波,因此對(duì)該情況下沖擊波的產(chǎn)生機(jī)制進(jìn)行了探究.接著研究了將含有靜態(tài)暗孤子的系統(tǒng)淬火至無相互作用的情形,利用數(shù)值與解析兩種方法說明了沖擊波的形成機(jī)制為背景與波包的量子相干效應(yīng),并且給出了兩者相干的解析表達(dá)式.

在此基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)在其他淬火參數(shù)下同樣有沖擊波的產(chǎn)生.對(duì)此現(xiàn)象進(jìn)行了深入的探究,發(fā)現(xiàn)它們的產(chǎn)生機(jī)制同樣來自于背景與波包的量子相干效應(yīng),且不同的參數(shù)下沖擊波的振幅、速度都有所差異.因此做了1 個(gè)關(guān)于不同淬火比值產(chǎn)生沖擊波的全景圖,可以較為系統(tǒng)和完整地了解該種淬火下沖擊波的變化情況.在玻色-愛因斯坦凝聚體中還存在著許多其他非線性波,如lump 波、怪波等,它們都是自帶背景的,因此同樣可以探究在淬火后是否有沖擊波產(chǎn)生.