剛性對稱陀螺分子Stark 效應的精確解*

陳昌遠 孫國華 王曉華 孫東升 尤源 陸法林 董世海

1)(鹽城師范學院物理與電子工程學院,鹽城 224007)

2)(Catedrática CONACYT,CIC,Instituto Politécnico Nacional,CDMX 07700,Mexico)

3)(湖州師范學院量子物理研究中心,湖州 313000)

4)(Laboratorio de Información Cuántica,CIDETEC,Instituto Politécnico Nacional,UPALM,CDMX 07700,Mexico)

提出了一種精確求解位于外電場中剛性對稱陀螺分子轉動能級和相應解析波函數(shù)的新方法.首先利用不同形式的函數(shù)變換和變量代換將位于外電場中對稱陀螺分子的極角θ 方向的方程轉化為合流Heun 微分方程,然后根據(jù)合流Heun 微分方程和合流Heun 函數(shù)具有的特點,找到描述同一本征態(tài)的線性相關的兩個解,構造Wronskian(朗斯基)行列式,得到精確的能譜方程.最后利用Maple 軟件計算出不同量子態(tài)的本征值,再將得到的本征值代入本征函數(shù)進行歸一化運算最終得到用合流Heun 函數(shù)表示的解析的歸一化本征函數(shù).這些結果可為深入研究對稱陀螺分子的Stark 效應提供有益的幫助.

1 引 言

對稱陀螺分子可分為兩大類:一類為長對稱陀螺分子,其3 個慣量主軸的轉動慣量為IA 1 ,扁對稱陀螺分子a<1 .按慣例采用歐拉角(θ,?,χ),則位于外電場中對稱陀螺分子的哈密頓量為[1?3]

式中D是對稱陀螺分子的電偶極矩,其方向在運動坐標系的z′軸方向;電場ε的方向在空間固定坐標系的z軸方向.由于附加項的出現(xiàn),該方程至今都沒有完整的精確解.當附加項系數(shù)Dε很小時,人們常用微擾理論來研究對稱陀螺分子的Stark 能級.文獻[1,2]給出能級準確到2級近似的結果,文獻[3?10]給出能級更高級修正的結果,其中文獻[3,6,7]還列出了用100 × 100 以及200 ×200 矩陣對角化方法得到的計算精度很高的精確值.以前的工作人們只專注于如何得到較為準確的能量本征值,而忽略了對本征函數(shù)的研究,這無疑影響了人們對剛性對稱陀螺分子的Stark 效應的全面了解.

那么有什么方法既可獲得準確的本征能量,又能得到解析的歸一化波函數(shù)呢？根據(jù)我們最近對一維Mathieu 勢的Schr?dinger 方程[11]和剛性轉子Stark 效應精確解的研究[12],以及對s=0 時角向Teukolsky 方程[13,14]精確解的研究,本文提出一種能精確求解對稱陀螺分子Stark 效應的新方法.首先進行分離變量和變量代換x=cosθ(0 ≤θ≤π,1 ≥x≥?1),再利用不同形式的函數(shù)變換和變量代換方法把關于x的微分方程轉化為合流Heun 微分方程,然后根據(jù)該方程及其解析解,即合流Heun 函數(shù)的特性,給出對應于同一本征態(tài)線性相關的兩個解,并以此構造朗斯基行列式,給出精確的能量值必須滿足的方程.借助于Maple軟件中的合流Heun 函數(shù)及其一階導數(shù)進行編程運算就能計算出精確的能量本征值,然后進行歸一化運算給出的就是用合流Heun 函數(shù)表示的歸一化的解析的本征函數(shù).由于本文提出的方案不僅能得到精確的本征值,而且還給出用合流Heun 函數(shù)表示的解析的歸一化本征函數(shù).所以其結果將對研究對稱陀螺分子的Stark 效應的能級分裂和振子強度等一系列實際問題帶來極大的方便.

2 朗斯基行列式

令ψ(θ,?,χ)=eiMφeiKχΘ(θ),并作變量代換x=cosθ,則定態(tài)Schr?dinger 方程Hψ=Eψ可以分離變量,得到關于x的微分方程為

式中λ′=2IBE/?2;b=2IBεD/?2;M=0,±1,···,±J,K=0,±1,···,±J,其中J=0,1,2,···為對稱陀螺分子的角動量量子數(shù),M是角動量在空間固定坐標系z方向的投影量子數(shù),K是角動量在空間運動坐標系z′方向的投影量子數(shù).(2)式是典型的施圖姆-劉維爾邊值問題,當x→±1 時,本征函數(shù)Θ(x) 必須滿足有限值這一自然邊界條件.當沒有外電場,即(2)式中b=0 時,微分方程(2)是可以精確求解的,其結果為[1,2]

式中2F1是n階的超幾何多項式.從(3)—(6)式可以看到,對于同樣的狀態(tài)(JKM),長對稱陀螺分子和扁陀螺分子的能級是不一樣的,但波函數(shù)的表達式相同.下面的研究表明,該特點在討論對稱陀螺分子的Stark 效應時保持不變.

為了統(tǒng)一研究長對稱陀螺分子和扁對稱陀螺分子,引入?yún)?shù)

當計算出精確的λ值后,不同類型的對稱陀螺分子的能級為

考慮到本征函數(shù)Θ(x) 在x→±1 時應滿足有界的自然邊界條件,首先對(2)式作如下形式的函數(shù)變換:

把(9)式代入(2)式得到F(x) 所滿足的微分方程:

當合流Heun 函數(shù) H eunC(α,β,γ,δ,η,z) 滿足如下兩個限制條件[15,16]:

時中斷為一個N次多項式,從而滿足在z=1 處的自然邊界條件.然而由(14)式可知,當b0 時,(20)式中的第2 個條件是不滿足的.

正如上面分析的,由于限制條件(20)式中的第2 個是不成立的,所以只能保持(18)式為無窮級數(shù)的形式.當參數(shù)(K,M,b) 取確定值時,正確的λ值應該使得這個無窮級數(shù)解在(θ=π,x=?1,z=1)時也是有界的.因此找到正確的本征值λ是解決這一問題的關鍵.根據(jù)合流Heun 微分方程及其解析解合流Heun 函數(shù)的特性,如果對(10)式作變量代換,z′=1?z=(1+x)/2(?1 ≤x≤1,0 ≤z′≤1),那么(10)式將被修改為如下的合流Heun微分方程:

式中參數(shù)

由于β′=|K+M|≥0,所以(21)式的解也是合流Heun 函數(shù)

(23)式同樣也不滿足(20)式中的第2 個條件.這樣由(9)式就得到在南極(θ=π,x=?1,z′=0)收斂的解為

注意到(18)式和(24)式都是微分方程(2)的解,因此對于同一本征態(tài),它們只是數(shù)學表達形式不同而已.如果本征值λ是正確的值,那么這兩個函數(shù)在南北極就應該都收斂,在開區(qū)間(?1,+1) 必須是線性相關的[17?19].這樣對于兩個不為0的任意常數(shù)C1和C2應該有C1Θ1(x)+C2Θ2(x)=0,將(18)式和(24)式代入約去共同因子就得到C1H(1)+C2H(2)=0 ,對其求一階導數(shù)得C1H′(1)+C2H′(2)=0,由此就能得到如下的朗斯基行列式

注意到復合函數(shù)的求導規(guī)則并采用Maple 軟件中的有關定義展開(26)式得

當參數(shù)(K,M,b) 取確定值時,由方程(27)可以求得精確的λ值.由于兩個本征函數(shù)在整個開區(qū)間(?1,+1)都是線性相關的,所以為了方便起見取x=0.

3 本征值和歸一化的本征函數(shù)

根據(jù)無量綱參數(shù)a=IB/IC,b=2IBεD/?2的定義可知,它們的取值均為正實數(shù).因此對應于(2)式的施圖姆-劉維爾邊值問題的算符

是一個厄米算符[17?19],所以本征值λ只能取實數(shù)值.由于不同本征值的本征函數(shù)必須是相互正交的,所以它們組成了函數(shù)空間的一個正交歸一完備系.

首先討論下列函數(shù):

顯然,它表示的是f(λ) 隨本征值λ的變化情況,其與橫軸交點的函數(shù)值是0,而對應的λ值就是相應的本征值.作為示例,圖1 分別給出了幾種情況下f(λ) 隨λ的變化曲線.其中圖1(a)是b=1,K=0,M=0,1,2,3,4的情況;圖1(b)是b=5 ,K=1,M=0,1,2,3,4的情況;圖1(c)是b=10 ,K=2,M=0,?1,?2,?3的結果;圖1(d)是b=20,K=3 ,M=0,?1,?2,?3的結果.按慣例,約定J=n+|K+M|/2+|K ?M|/2,則圖中每一條曲線和橫軸的第1 個交點對應于n=0,J=|K+M|/2+|K ?M|/2,就是相應λ的最小值,下一個交 點n=1,J=1+|K+M|/2+|K ?M|/2,就是相應的高1 個本征態(tài)的λ值,依次類推,這樣從圖形上就能知道每一個λ值的大小范圍,而n正是對應本征函數(shù)的節(jié)點數(shù).

圖1 對稱陀螺分子的 f(λ) 隨λ的變化曲線 (a) b =1,K=0,M=0, 1, 2, 3, 4 ;(b) b =5,K=1,M=0, 1, 2, 3, 4 ;(c)b=10,K=2,M=0,-1,-2,-3 ;(d)b=20,K=3,M=0,-1,-2,-3Fig.1.Plot of f(λ) as the function of λ for the symmetric-top molecules:(a) b =1,K=0,M=0, 1, 2, 3, 4 ;(b)b=5,K=1,M=0, 1, 2, 3, 4 ;(c) b =10,K=2,M=0,-1,-2,-3 ;(d) b =20,K=3,M=0,-1,-2,-3 .

利用Maple 軟件(版本號:ID1455132)編寫程序計算(27)式,就能在給定精度下算出b取確定值對應不同的量子數(shù)(JKM)時λ的精確值,結果如表1 所列.把表1的λ值代入(8)式就可以給出精確的長對稱陀螺分子a>1 或扁對稱陀螺分子a<1的Stark 能級.根據(jù)量子數(shù)的取值范圍以及(8)式、(27)式和表1 可知,剛性對稱陀螺分子的Stark 能級具有如下特點:1)當|K|≥1 時,無外場時原來簡并度為 2(2J+1)的能級分裂為簡并度均為2的(2J+1) 條子能級,(K,M)和(–K,–M)能量相同;2)當K=0 時,無外場時原來簡并度為(2J+1)的能級分裂為(J+1) 條子能級,±M的能級是簡并的;3)由于外電場的影響,同一J值的各能級除了K=M=0 為單一能級外,其他的都是2 度簡并的,簡并能級的θ方向波函數(shù)是相同的,差別在于φ和χ方向的波函數(shù)是不一樣的;4)當K=0時,長對稱陀螺分子和扁對稱陀螺分子不僅零級近似能量是相同的,而且Stark 能級分裂也是相同的,它們均退化為剛性轉子的Stark 能級[12].需要指出的是,如果將本文得到的λ值的小數(shù)點后面的位數(shù)保留到與文獻[3]相同的話,結果與用100 × 100 矩陣對角化方法得到的結果是一致的.為了比較本文的計算結果與微擾理論以及200 ×200 矩陣對角化方法的差別,以態(tài)(J,K,M)=(4,0,0)為例在表2 列出相應的結果.根據(jù)文獻[1,2],準確到2 級近似,(4,0,0)態(tài)的近似結果為λ ≈(20+b2/154).由表2 可以看出,當表示外場強度參數(shù)b較小時(例如小于20),三者的計算結果基本上是相同的,但是隨著參數(shù)b的增大,微擾理論顯然就不適用了.不過本文的計算結果仍然與200 ×200 矩陣方法得到的精確結果相同(保留相同的有效位數(shù)),這解釋了在文獻中人們把用矩陣對角化方法得到的結果稱之為精確值的原因.但本文提出的方法還能同時給出解析的歸一化本征函數(shù),所以本文的結果是令人滿意的.不過需要說明的是,Maple 中有關函數(shù)的計算對某些特殊值特別是大參數(shù)時可能存在不足.期望隨著Maple 版本的提高,這一現(xiàn)象會有所改善.

表1 對稱陀螺分子λ的精確值Table 1. Precise values of λ for the symmetric-top molecules.

表1 （續(xù)） 對稱陀螺分子λ的精確值Table 1 (continued). Precise values of λ for the symmetric-top molecules.

表2 對稱陀螺分子(4,0,0)態(tài)的λ 值Table 2. Values of λ of the state(4,0,0) for the symmetric-top molecules.

下面討論如何得到解析的歸一化本征函數(shù).為此將計算出的本征值代入(18)式和(24)式,得到的是未歸一化的解析本征函數(shù),經(jīng)歸一化運算后發(fā)現(xiàn),這兩個本征函數(shù)滿足如下等式:

顯然它們是線性相關的,如果用圖形表示它們是完全重合的,(30)式中n=J ?|K+M|/2?|K ?M|/2=0,1,2,···是本征函數(shù)的節(jié)點數(shù)目.作為示例,圖2分別給出了當b=1,J=1,K=1,M=1,n=0;b=1,J=1,K=1,M=– 1,n=0;b=10,J=3,K=1,M=1,n=2 和b=10,J=3,K=1,M=2,n=1 時N1Θ1(x) 和(?1)nN2Θ2(x)的函數(shù)圖形.由圖2 可見(30)式是正確的.

圖2 N1Θ1(x) 和(-1)nN2Θ2(x) 是線性相關的 (a) b =1,J=1,K=1,M=1,n=0 ;(b)b=1,J=1,K=1,M=-1,n=0 ;(c) b =10,J=3,K=1,M=1,n=2 ;(d)b=1 0,J=3,K=1,M=2,n=1Fig.2.Linear dependence relation between N1Θ1(x) and(-1)nN2Θ2(x) :(a) b =1,J=1,K=1,M=1,n=0 ;(b)b=1,J=1,K=1,M=-1,n=0 ;(c) b =10,J=3,K=1,M=1,n=2 ;(d) b =1 0,J=3,K=1,M=2,n=1 .

最后根據(jù)(9)式和(30)式以及文獻[1,2],給出位于外電場中的剛性對稱陀螺分子完整的用合流Heun 函數(shù)表示的歸一化的解析本征函數(shù)為

或者表示為

式 中x=cosθ,J=n+|K+M|/2+|K ?M|/2是角量子數(shù),M是角動量在空間固定坐標系z方向的投影量子數(shù),K是角動量在空間運動坐標系z′方向的投影量子數(shù),n是極角θ方向波函數(shù)的節(jié)點數(shù),N1和N2是極角θ方向波函數(shù)的歸一化常數(shù),精確的λ值由數(shù)值計算(27)式給出.

4 結 論

綜上所述,本文提出了一種能精確求解位于外電場中剛性對稱陀螺分子定態(tài)Schr?dinger 方程的新方案.首先利用不同形式的函數(shù)變換和變量代換方法把變量分離后得到的極角θ方向的微分方程轉化為合流Heun 微分方程,然后根據(jù)該方程及其解析解合流Heun 函數(shù)的特性,給出對應于同一本征態(tài)線性相關的兩個解析解,構造朗斯基行列式而得到能級所滿足的方程.再利用Maple 軟件編程計算就可以得到精確的能量本征值,結果與其他文獻用100 × 100 或200 × 200 矩陣對角化方法得到的精確值在保留到小數(shù)后面相同位數(shù)情況下是完全相同的.最后進行歸一化運算就給出了用合流Heun 函數(shù)表示的歸一化本征函數(shù).由此可見,本文提出的研究方法不僅能得到精確的本征值,而且還能獲得歸一化的解析波函數(shù).顯然,這一方法具有很強的實用性,其結果將對研究剛性對稱陀螺分子Stark 效應的能級分裂和振子強度等一系列實際問題帶來很大的方便.