從抽象思維的形成談學(xué)生深度學(xué)習(xí)觀的培養(yǎng)

摘 要：中學(xué)是學(xué)生抽象思維形成的重要階段，也是培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)行為的關(guān)鍵時期。文章從中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的角度闡述了抽象思維的形成與深度學(xué)習(xí)行為之間的內(nèi)在聯(lián)系，并結(jié)合具體的教學(xué)案例進行深度剖析，旨在闡明深度學(xué)習(xí)行為對提升思維品質(zhì)的重要性以及培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)觀思維層面的具體策略。

關(guān)鍵詞：抽象思維;深度學(xué)習(xí);培養(yǎng)策略

新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，提出數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)，包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個方面。數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的地位舉足輕重，而學(xué)生抽象思維能力的提升，可在教師引領(lǐng)下，通過深度學(xué)習(xí)來實現(xiàn)。在深度學(xué)習(xí)中，學(xué)生體驗學(xué)習(xí)過程，掌握核心知識，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，從而形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

一、抽象思維與深度學(xué)習(xí)關(guān)系綜述

因?qū)W生抽象思維發(fā)展的年齡特點，小學(xué)階段很多的數(shù)學(xué)概念原理亦未鋪開陳述，教學(xué)往往只能在淺層次開展，學(xué)生無法進一步觸及知識的內(nèi)核，深度學(xué)習(xí)行為無法得到進一步的延展。

從小學(xué)躍升中學(xué)后，其中最重要的思維過渡莫過于“從‘具體的數(shù)字運算’抽象出‘用字母代替數(shù)’”。毫不夸張地說，“用字母表示數(shù)”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的“引擎”，它開啟了神奇的中學(xué)數(shù)學(xué)之旅。

例如：相反數(shù)概念，小學(xué)時只要求會求一個具體數(shù)字的相反數(shù)，但到了中學(xué)，則上升為“a的相反數(shù)是-a”，“若a+b=0，則a、b互為相反數(shù)，反之亦然”。這里數(shù)字被抽象后，通過學(xué)生的體驗、學(xué)習(xí)，為后面絕對值和二次根式的學(xué)習(xí)打開了廣闊的思維空間;又如：小學(xué)學(xué)過的“速算口訣”：對于“23×27，34×36，42×48…”這樣的一類算式，根據(jù)算式的特點，只要符合“兩位數(shù)乘法，若十位相同（頭相同），個位相加得10（尾互補）”，那么速算的口訣就是：得數(shù)后兩位數(shù)字是“尾×尾”，得數(shù)前兩位數(shù)字是“頭×（頭+1）”。如：23×27=421，71×79=5609等，學(xué)生覺得很神奇！但未能領(lǐng)會當(dāng)中所蘊含的運算機制和涉及的運算原理。到了中學(xué)，教師就可以抓住這個關(guān)鍵點教學(xué)，利用代數(shù)式的運算變形來清晰地揭示這個速算口訣背后的原理：

，學(xué)生通過把這一類算式抽象化成代數(shù)式，再從一般化的推導(dǎo)過程感受運算背后涉及的原理，接著嘗試把它推廣到其他運算情形，在過程中學(xué)生的抽象思維推動了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)行為，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有連貫性和延續(xù)性。

對于概念“工作總量為單位1”。我們知道大部分時候工作總量不會影響工作問題的求解，但是學(xué)生總有疑惑，這個“單位1”從何而來。到了中學(xué)我們知道這個“單位1”是一個無關(guān)參數(shù)，是題目中的無關(guān)條件，但并不是工作問題中的無關(guān)量。小學(xué)階段學(xué)生還未形成“含參”的抽象思維，所以關(guān)于這樣一個量的討論僅存在于應(yīng)用環(huán)節(jié)。在中學(xué)，學(xué)生的代數(shù)思維已經(jīng)初見雛形，那么對這樣“參數(shù)”的探討就不容輕視，解決抽象的“含參問題”，可以深化學(xué)生的模型思想。以后遇到這樣例題時，學(xué)生就能從容應(yīng)對：“某商店進口一批蘋果，進價為5元/千克，銷售中估計有8%的蘋果正常損耗。問：老板把蘋果賣到每千克多少元，才能避免虧本？”很顯然，模型思想就是屬于抽象思維的層面，遇到實際生活情境時，學(xué)生能建立合適的數(shù)學(xué)模型來解決問題，無疑對提高學(xué)生的應(yīng)用能力有很大的幫助，學(xué)生在應(yīng)用知識的過程中，不斷自主學(xué)習(xí)，深化自我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的范疇。

從上述案例可以看出，中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是對小學(xué)的一種補充和提升。小學(xué)因為學(xué)生抽象思維水平有限而未發(fā)生的深度學(xué)習(xí)行為，在中學(xué)都可以也應(yīng)該得以實施。伴隨著抽象思維的不斷形成，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)觀也在不斷地強化和發(fā)展。當(dāng)然，隨著學(xué)生深度學(xué)習(xí)行為的發(fā)生，學(xué)生的抽象思維也會得到正向的強化，二者相輔相成。

二、抽象思維能力伴隨學(xué)生的深度學(xué)習(xí)行為得以提升

如前所述，小學(xué)階段數(shù)學(xué)大部分是以算術(shù)解法為主，伴隨著用字母表示數(shù)這種抽象思維的出現(xiàn)，老師慢慢地引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中融入代數(shù)式的運算，進而提高抽象思維能力。另一方面，這時的學(xué)生已具備一定的具象思維能力，對圖形有了較為直觀的感知，但如何透過圖形間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性進行高度概括，形成一般性結(jié)論，則要通過深度學(xué)習(xí)去感悟、探索、提煉。

如初一年常見的“數(shù)線段”問題，教師可以利用這一模型，引導(dǎo)學(xué)生通過深度學(xué)習(xí)，鍛煉學(xué)生的抽象思維能力。

問題：一條線段上有A、B、C、D四個點，則共有幾條線段？

學(xué)生一般解題步驟：根據(jù)題意畫出圖形——不重復(fù)遺漏數(shù)出所有線段——得出結(jié)論。

這樣的學(xué)習(xí)，屬于較淺層次的學(xué)習(xí)，學(xué)生只是體會了分類的經(jīng)驗和方法。而筆者利用這個難得的機會，讓學(xué)生進行一次深度學(xué)習(xí)的探索之旅，結(jié)果獲得了前所未有的成功。筆者經(jīng)歷的情境大致如下：

1.師問：一條線段有幾個端點？（2個，學(xué)生100%會回答，興致高昂）

2.師問：一條線段上有A、B兩點時，共有幾條線段？（1條，學(xué)生100%會回答，興致高昂）

3.師問：一條線段上有A、B、C三點時，共有幾條線段？（3條，學(xué)生齊刷刷埋頭數(shù)了起來，并很快得到了答案。這是學(xué)生正常解題的必由之路）

4.師點撥：難道就這樣一直數(shù)下去嗎？有沒有更好地方法？既然一條線段有兩個端點，反之，兩個點之間就有一條線段，如：兩點A與B，以A開頭時，點B與之組成線段AB，以B開頭時，點A與之組成線段BA，而AB與BA同屬一條線段，故一條線段上有A、B兩點時，共有條線段，同理，若線段上有A、B、C三點時，以A開頭的線段是AB、AC，以B開頭的線段是BC、BA，以C開頭的線段是CA、CB，故一條線段上有A、B、C三點時，共有條線段……大家重點思考：線段是怎么來的（由每兩個點的一條線段），線段的條數(shù)（注意重復(fù)）。

5.學(xué)生自主學(xué)習(xí)：當(dāng)線段上有A、B、C、D四個點時，線段條數(shù)是

6.師“趁熱打鐵”，問：當(dāng)線段上有100個點時，共有幾條線段？這時，70%的學(xué)生已經(jīng)可以用這個式子來計算了。

7.問題的目的是讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律，故筆者還讓學(xué)生提煉出：當(dāng)一條線段上有n個點時，共有線段條。

為鞏固深度學(xué)習(xí)成果，實現(xiàn)能力的遷移，筆者讓學(xué)生又研究“數(shù)射線組成角”、“數(shù)對頂角對數(shù)”、“數(shù)多邊形對角線條數(shù)”等模型，通過類比、歸納、總結(jié)出具有共性的規(guī)律特征。最后，還設(shè)計了該模型的兩個實際問題，以期達到舉一反三的目的：

（1）從廈門到A地有一條長途汽車往返路線，中途要經(jīng)過B，C，D三個站點，

請問共有幾種票價？要準(zhǔn)備幾種車票？

（2）某班級共有40名學(xué)生，元旦集會時，要求每個同學(xué)之間要互相握手一次，則全班共有幾次握手？

像這種有針對性的深度學(xué)習(xí)，只要教師指導(dǎo)恰當(dāng)，往往能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，使他們由簡單情形入手，以較為輕松的方式沉浸入“深度學(xué)習(xí)”狀態(tài)，使數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)“水到渠成”，讓學(xué)生充滿獲得感和成就感。

三、抽象思維能提升學(xué)生深度學(xué)習(xí)的品質(zhì)

抽象思維的形成可以幫助學(xué)生多角度地看待數(shù)學(xué)問題，在激發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的同時，也確保了學(xué)生深度學(xué)習(xí)的品質(zhì)。一方面，學(xué)生在把有實際背景的問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問題的過程中，需要調(diào)動他所學(xué)過的大量知識，這個聯(lián)想、套用、修正的回憶過程，就是知識運用的過程。學(xué)生的知識得到鞏固，能自發(fā)自主地運用知識，學(xué)習(xí)品質(zhì)自然有保證。另一方面，抽象思維的不同層次，也代表了問題解決的不同角度。學(xué)生充分調(diào)動這些思維的前提是要能準(zhǔn)確地掌握這些思維的層次，有序有向的思考，是保證學(xué)生自主學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)效率的關(guān)鍵。

（一）靜態(tài)幾何到動態(tài)幾何

在“幾何初步”的學(xué)習(xí)中，有一個結(jié)論叫做“點動成線、線動成面，面動成體”。課本通過大量實例，讓學(xué)生從直觀的感知到抽象的概括，但是對于這個結(jié)論的應(yīng)用，課本并沒有更深入的闡述。筆者認(rèn)為有必要對這個抽象化結(jié)論做進一步的“實體還原”，以利于學(xué)生掌握。例如：對“角”概念的理解。顯然，“角”的靜態(tài)定義容易理解但有局限，“角”的動態(tài)定義可以很好地為以后的“三角函數(shù)”奠定基礎(chǔ)。那么在“角”的動態(tài)定義中，就可以再次提到“線動成面”，當(dāng)“角”對應(yīng)成“面”，很多知識的誤區(qū)就不會產(chǎn)生。例如學(xué)生一直把“平角”當(dāng)作是一條直線，可能不理解“角的內(nèi)外部”這樣的概念，錯把“角”當(dāng)作只有“邊和頂點”。理解靜態(tài)幾何到動態(tài)幾何的抽象過程，為后續(xù)“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”的圖形變化學(xué)習(xí)打下良好的抽象思維基礎(chǔ)。所以，抽象思維在運用過程中的具體化和細(xì)節(jié)化，確保學(xué)生可以科學(xué)進行后續(xù)的學(xué)習(xí)行為，而不胡亂套用數(shù)學(xué)知識，或進行不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砗筒孪搿?/p>

（二）代數(shù)式到函數(shù)

初一學(xué)習(xí)了代數(shù)式，但這僅是抽象的第一個層面。后續(xù)學(xué)習(xí)完函數(shù)，學(xué)生有了新的抽象深度。以多項式“”為例，當(dāng)完完全全去除情境時，學(xué)生只把它抽象地認(rèn)知為一個可以進行加減乘除運算的多項式，但我們依然可以“實體還原”，設(shè)計一定的情境，如：“長方形的一邊長為x+1，另一邊比它大1，問長方形面積的最大值為多少”，學(xué)生就認(rèn)識到它可能是個函數(shù)問題，以后再遇到“”這樣的式子，就能自覺地聯(lián)想到變化過程，思維的品質(zhì)得到較大的提高，看待問題的視角也變得多樣，有深度。當(dāng)然，代數(shù)層面的抽象也可以提升學(xué)生函數(shù)層面學(xué)習(xí)的深度，比如能主動地把“”分解成“”，那么在二次函數(shù)問題中，學(xué)生就能更快找到函數(shù)圖象與x軸的交點。

（三）等式到方程

等式層面，因為從小學(xué)開始就已經(jīng)接觸，學(xué)生容易接受。方程則上升為“含有未知數(shù)的等式”，盡管方程也是等式的一種，但它因為有了未知數(shù)，變得更加抽象更加“撲朔迷離”了，這就要求我們在教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，努力探究數(shù)學(xué)的本真。如，筆者教學(xué)時遇到的一個例題：

已知x，y，z滿足，，求x，y的值

等式層面：

由已知，得，整理得.

方程層面：，∴x，y是方程的兩個根，即，從而z=0，x=y=3

等式層面的解法雖然簡單，但是視野不夠新穎，方程層面的解法雖然抽象難以理解，但解法獨具一格別開生面，讓學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知的快感，以后在深度學(xué)習(xí)過程中再遇到類似情境時，學(xué)生就敢大膽嘗試，這樣，思維的延展性和可塑性就會得到提高。

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾有一句經(jīng)典名言：“我思，故我在?！痹跀?shù)學(xué)抽象思維這個“思”的形成過程中，深度學(xué)習(xí)如影隨形，兩者相輔相成，相得益彰，造就了“我在”的奇妙的數(shù)學(xué)世界！

參考文獻

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作者簡介：林明強（1974.10），男，福建廈門，漢族，廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)一級教師，本科，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。