二次函數(shù)常見考點(diǎn)展示

薛金鈺

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，更是中考命題的熱點(diǎn)素材.現(xiàn)以2021年中考題為例來展示二次函數(shù)中常見的考點(diǎn)，供同學(xué)們參考.

一、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)

例1（2021·浙江·湖州）如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y = 2x2 + mx與x軸交于另一點(diǎn)A（2，0）.

（1）求m的值和拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

（2）求直線AM的解析式.

分析：（1）先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出m的值，再求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

（2）由點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線AM的解析式.

解：（1）∵拋物線y = 2x2 + mx過點(diǎn)A（2，0），

∴2 × 22 + 2m = 0，解得m = -4，∴y = 2x2 - 4x，

∴y = 2（x2 - 2x + 1） - 2，即y = 2（x - 1）2 - 2，∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2）.

（2）設(shè)直線AM的解析式為y = kx + b（k ≠ 0），∵圖象過A（2，0），M（1，-2），

∴[2k+b=0，k+b=-2.]解得[k=2，b=-4.]∴直線AM的解析式為y = 2x - 4.

點(diǎn)評：求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)有兩種方法：一是配方法，二是公式法，同學(xué)們要牢固掌握.

二、二次函數(shù)圖象的平移

例2（2021·山東·泰安）將拋物線y = -x2 - 2x + 3的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度得到的拋物線必定經(jīng)過（ ）.

A. （-2，2） B. （-1，1）? ? ? ? C. （0，6）? ? ? D. （1，-3）

分析：先把原拋物線y = -x2 - 2x + 3配成頂點(diǎn)式，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），再將點(diǎn)（-1，4）向右平移1個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單位長度得到平移后頂點(diǎn)的坐標(biāo)，將平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入頂點(diǎn)式，即可得到平移后的拋物線解析式，然后檢驗(yàn)四個(gè)選擇支中的點(diǎn)哪一個(gè)在平移后的拋物線上即可.

解：y = -x2 - 2x + 3 = -（x + 1）2 + 4，即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），把點(diǎn)（-1，4）向右平移1個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單位長度得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），所以平移后的拋物線解析式為y = -x2 + 2，易知點(diǎn)（-1，1）在平移后的拋物線上. 故選B.

點(diǎn)評：在將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式時(shí)，要正確使用配方法，謹(jǐn)防出錯(cuò).得到平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)后，在代入拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng) = a（x - h）2 + k時(shí)，不要弄錯(cuò)了符號(hào).

三、二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

例3（2021·四川·瀘州）直線l過點(diǎn)（0，4）且與y軸垂直，若二次函數(shù)y = （x - a）2 + （x - 2a）2 + （x -3a）2 - 2a2 + a（其中x是自變量）的圖象與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且其對稱軸在y軸右側(cè)，則a的取值范圍是（ ）.

A. a>4 B. a>0 C. 0

分析：先將二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式，再根據(jù)它與過點(diǎn)（0，4）且與y軸垂直的直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且其對稱軸在y軸右側(cè)，得出a的取值范圍.

解：y = （x - a）2 + （x - 2a）2 + （x - 3a）2 - 2a2 + a = 3x2 - 12ax + 12a2 + a = 3（x - 2a）2 + a.

∵該二次函數(shù)的圖象開口向上，與過點(diǎn)（0，4）且與y軸垂直的直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴a<4.

∵該二次函數(shù)的圖象的對稱軸在y軸右側(cè)，∴對稱軸x = 2a>0 ，即a>0.

∴a的取值范圍是0

點(diǎn)評：本題也可把二次函數(shù)解析式化為一般式，用根的判別式求解，但運(yùn)算量較大，同學(xué)們不妨試一試.

四、二次函數(shù)的應(yīng)用

例4（2021·四川·遂寧）某服裝店以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一批T恤衫，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件. 根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件. 設(shè)T恤衫的銷售單價(jià)提高x元.

（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤衫能獲得利潤3 360元，并且盡可能減少庫存，問T恤衫的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤衫獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

分析：（1）由每件獲得的利潤為（x + 40 - 30）元，銷售（300 - 10x）件得利潤3 360元，列方程求解;（2）由每件獲得的利潤為（x + 40 - 30）元，銷售（300 - 10x）件，得到利潤M元，可得M關(guān)于x的二次函數(shù)，求出這個(gè)二次函數(shù)的最大值，即可得到答案.

解：（1）由題意列方程得（x + 40 - 30）（300 - 10x） = 3 360，解得x1 = 2， x2 = 18.

∵要盡可能減少庫存，∴x2 = 18不合題意，舍去，∴T恤衫的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元. （答略）

（2）設(shè)利潤為M元，由題意可得：M = （x + 40 - 30）（300 - 10x）? = -10x2 + 200x + 3000? = -10（x - 10）2 + 4 000，∴當(dāng)x = 10時(shí)，M最大值? = 4 000. 此時(shí)，銷售單價(jià)為40 + 10 = 50（元）.

答：當(dāng)服裝店銷售單價(jià)定為50元時(shí)，可得到最大利潤4 000元.

點(diǎn)評：在（1）中，要注意利用“盡可能減少庫存”來正確進(jìn)行取舍;在（2）中，要注意是求服裝店的銷售單價(jià)，而不是提高的價(jià)錢.

（作者單位：江蘇省興化市戴南鎮(zhèn)顧莊學(xué)校）