樸實中探究本質(zhì) 簡約中凸顯思維

李永衛(wèi)

幾何綜合題是中考熱點問題之一，下面以大連市2020年中考第25題為例探索解決這類問題的思路與方法.

原題重現(xiàn)

[原題重現(xiàn)]

如圖1，△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，BE = CE，點G在線段CD上，CG = CA，GF = DE，∠AFG = ∠CDE.

（1）填空：與∠CAG相等的角是 ;

（2）用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關系，并證明;

（3）若∠BAC = 90°，∠ABC = 2∠ACD（如圖2），求[ACAB]的值.

[破解策略]

第（1）問：根據(jù)等邊對等角回答即可.

第（2）問：有多種解題策略.可由已知條件中的“一邊一角”來構(gòu)造全等、平行四邊形;由線段中點，可以想到利用“中線倍長”或三角形“中位線”來解題.

第（3）問：看到題中給出了二倍角，一定要迅速回想二倍角的轉(zhuǎn)化方法，同時，題中給出90°角，借助圖形可以想到絕配角的運用，進而添加輔助線，建立出絕配角基本圖形，再通過設元，結(jié)合勾股定理，表示出兩條線段，進而求出比值.

解：（1）∵CA = CG，∴∠CAG = ∠CGA. 故答案為∠CGA.

（2）這一問有36種解題方法，下面給出其中6種，其余解法請關注公眾號獲得.

策略一：突出“一邊一角構(gòu)造全等”

解法1：AD = [12]BD. 理由：

如圖3，在CD上取中點M，截取DN = AF，連接EM，EN，

∵DE = GF，∠CDE = ∠AFG，∴△END ≌△GAF（SAS），

∴EN = GA，∠END = ∠GAF.

∵∠CAG = ∠CGA，∴∠CGA = ∠END，∴∠AGD = ∠ENM.

∵BE = CE，DM = CM，∴EM是△BCD的中位線，

∴EM[?]BD，EM = [12]BD，∴∠ADG = ∠EMN，

∴△ADG ≌△EMN（AAS），

∴EM = AD，∴AD = EM = [12]BD.

解法2：如圖4，取BD的中點M，連接EM，在EM上截取EN = AF，由三角形中位線得ME[?]CD，得到△DEN ≌△GFA，△DMN ≌△ADG. 具體過程請同學們自己完成.

解法3：如圖5，作AQ[?]DE，交CD于點Q，取BD的中點P，連接PE，得到EP[?]CD，進而得到△AGQ ≌△GAF， △AQD ≌△DEP，具體過程請同學們自己完成.

解法4：如圖6，作EM[?]BA交CD于M，EN[?]AC交CD延長線于N，可證△CFG ≌△NDE，△NEM ≌△CAD，進而得EM是△BDC的中位線. 具體證明過程請同學們自己完成.

策略二：突出“倍長中線”

解法5：如圖7，作EH[?]AG交CD于H，作BM[?]CD，直線EH與BM交于點M，可證得△DEH ≌△FGA，△HEC ≌△MEB，進而證得四邊形GHMN是平行四邊形. 具體證明過程請同學們自己完成.

策略三：突出“中位線”

解法6：如圖8，作CQ = CF，EP[?]CD交AB于P，可證△ACQ ≌△GCF，△AQD ≌△DEP，進而得到PE是△BDC的中位線. 具體證明過程請同學們自己完成.

（3）這一問有20種解題方法，下面給出其中2種，其余解法請掃描本文標題處二維碼獲得.

思路：突出“翻折+等腰+勾股”

解法1：如圖9，延長BA至點M，使AM = AD，連接CM.

∵∠BAC = ∠MAC = 90°，

∴AC垂直平分DM.

∴CD = CM，∴∠ACD = ∠ACM.

設∠ACD = α = ∠ACM，

則∠ABC = 2α，∠AMC = 90° - α，

∴∠BCM = 180° - 2α - （90° - α） = 90° - α，

∴BM = BC，即△BCM為等腰三角形.

設AD = [a]，則AM = [a]，BD = 2[a]，

∴BC = BM = 4[a]，AB = 3[a]，

∴AC = [BC2-AB2=7a]，

∴[ACAB=7a3a=73].

解法2：如圖10，延長BA至點R，使AR = AB，設AD = a，由角的關系證得CR = RD = 4a，由勾股定理得AC = [7a]. 具體證明過程請同學們自己完成.