角平分線定理的運用

孟慶豹 左效平

[原題再現(xiàn)]

例1（人教版八年級上冊第52頁第7題）如圖1，∠B = ∠C = 90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC.

求證：AE是∠DAB的平分線.（提示：過點E作EF⊥AD，垂足為F）

反思：當問題中有點到直線的距離時，可構(gòu)造另一條距離，從而證明兩距離相等.

[變式思考]

變式1 探索位置關(guān)系新結(jié)論

例2? 如圖1，∠B = ∠C = 90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC. 線段AE，DE的位置關(guān)系如何？證明你的猜想.（結(jié)論為AE⊥DE，請同學們嘗試證明）

變式2 探索面積關(guān)系新結(jié)論

例3 如圖1，∠B = ∠C = 90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC.設△DCE的面積為[S1]，△ADE的面積為[S2]，△ABE的面積為[S3]，則[S1]，[S2]，[S3]之間的關(guān)系如何？證明你的猜想.（結(jié)論為[S2] = [S1] + [S3]，請同學們嘗試證明）

變式3 變換已知與結(jié)論，探索命題的真?zhèn)?/p>

例4 如圖1，∠B = ∠C = 90°，AE是∠DAB的平分線，DE平分∠ADC.求證：E是BC的中點.（請同學們嘗試證明）

[方法應用]

1.判斷點是否在角的平分線上

例5（2020·江蘇·揚州）已知：如圖2，銳角三角形ABC的兩條高BD，CE相交于點O，且OB = OC，（1）求證：△ABC是等腰三角形;（2）判斷點O是否在∠BAC的平分線上，并說明理由.

解析：（1）略;（2）點O在∠BAC的平分線上.理由：

①結(jié)合定義，利用三角形全等法.

方法1：如圖2，連接AO，由（1）知，AB = AC，∵OB = OC，AO = AO，

∴△ABO ≌ △ACO（SSS），∴∠BAO = ∠CAO，∴點O在∠BAC的平分線上.

方法2：如圖2，連接AO，易證△BDC ≌ △CEB（ASA）， ∴BD = CE.

∵OB = OC，∴OD = OE，∵∠BDC = ∠CEB = 90°，AO = AO， ∴△ADO ≌ △AEO（HL），

∴∠DAO = ∠EAO，∴點O在∠BAC的平分線上.

②結(jié)合性質(zhì)，利用等距離法

方法3：如圖2，∵OB = OC，∠BEO = ∠CDO = 90°， ∠BOE = ∠COD，

∴△BOE ≌ △COD（AAS），∴OE = OD，∴點O在∠BAC的平分線上.

方法4：如圖2，∵△BDC ≌ △CEB， ∴BD = CE.

∵OB = OC，∴OE = OD. ∵∠BEO = ∠CDO = 90°，∴點O在∠BAC的平分線上.

2.證明是角的平分線

例6 如圖3，在△OAB和△OCD中，OA = OB，OC = OD，OA>OC，∠AOB = ∠COD = 40°，連接AC，BD交于點M，連接OM. 下列結(jié)論：①AC = BD;②∠AMB = 40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC. 其中正確的個數(shù)為（ ）.

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

解析：∵∠AOB = ∠COD = 40°，∴∠AOB + ∠AOD = ∠COD + ∠AOD，

∴∠AOC = ∠BOD，

在△AOC和△BOD中，[OA=OB]，[∠AOC=∠BOD]，[OC=OD]，

∴△AOC ≌ △BOD（SAS），

∴∠OCA = ∠ODB，AC = BD，∴①正確;

∵△AOC ≌ △BOD，∴∠OAC = ∠OBD，

由三角形的外角性質(zhì)得∠AMB + ∠OAC = ∠AOB + ∠OBD，∴∠AMB = ∠AOB = 40°，∴②正確;

作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖3所示，∴∠OGC = ∠OHD = 90°，

在△OCG和△ODH中，[∠OCA=∠ODB]，[∠OGC=∠OHD]，[OC=OD]，

∴△OCG ≌ △ODH（AAS），∴OG = OH，

∴MO平分∠BMC，∴④正確. 正確的個數(shù)為3. 故選B.

例7 如圖4，△[ABC]，△[AEF]均為等邊三角形，連接[BE]，CF，延長[CF]交[BE]于[D].（1）求證：△CAF [≌△BAE];（2）連接[AD]，求證：[DA]平分[∠CDE].

解析：（1）∵△ABC，△AEF是等邊三角形，

∴AC = AB，AF = AE，∠CAB = ∠EAF，

∴∠CAB - ∠FAB = ∠EAF - ∠FAB，∴∠CAF = ∠BAE，

∴△CAF ≌ △BAE;

（2）過點A分別作AH⊥CD于點H，AG⊥BE，交BE的延長線于點G，

由（1）知，△CAF ≌ △BAE，∴CF = BE，[S△CAF=S△BAE]，

∴[12×CF×AH=12×BE×AG]，∴AH = AG，∴DA平分∠CDE.

如圖5，已知B（[-1]，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點，點D為第二象限一動點，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC = ∠BAC = 60°. 下列結(jié)論：①∠ABD = ∠ACD;②DA平分∠CDE;③BA平分∠CBD;④DC = DA + DB. 其中正確的是 .

答案：① ② ④