燕尾全等三角形模型的構(gòu)建與應(yīng)用

崔成進(jìn) 齊共云

[原題再現(xiàn)]

如圖1，點(diǎn)D在AB 上，點(diǎn)E在AC上，AB = AC，∠B = ∠C. 求證：AD = AE.? （此題為人教版八年級(jí)上冊(cè)第40頁(yè)例3）

[模型提煉]

如圖1，△ACD和△ABE是一對(duì)燕尾三角形，其中，△BDF和△CEF稱為燕尾三角形，∠BAC為燕頭角，∠B和∠C為燕尾角. 燕尾三角形有如下基本性質(zhì)：（1）全等性：△ACD ≌ △ABE，△BDF ≌ △CEF;（2）等角：燕頭角相等，燕尾角相等;（3）等線：AB = AC，AD = AE，DB = EC，DC = EB，F(xiàn)D = FE，F(xiàn)B = FC.

[變式應(yīng)用]

1. 條件開(kāi)放

例1 如圖2，在等腰三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定△ABE ≌ △ACD的是（ ） .

A. AD = AE B. BE = CD C. ∠ADC = ∠AEB D. ∠DCB = ∠EBC

解析：根據(jù)“SAS”可得△ABE ≌ △ACD，已知AD = AE，添加選項(xiàng)A能判定三角形全等;由∠ADC = ∠AEB， ∠A = ∠A，AB = AC，根據(jù)“AAS”可證△ABE ≌ △ACD，則添加選項(xiàng)C能判定三角形全等;由∠DCB = ∠EBC，∠DBC = ∠ECB，得∠ABE = ∠ACD，根據(jù)“ASA”可證△ABE ≌ △ACD，則添加選項(xiàng)D能判定兩個(gè)三角形全等;由選項(xiàng)B不能判定三角形全等. 故選B.

2. 探索位置

例2 如圖3，已知BD和CE相交于點(diǎn)O，且OB = OC，OE = OD. （1）求證：△BOE ≌ △COD;（2）你能在點(diǎn)O的同旁找一點(diǎn)A，使得△ABC是等腰三角形嗎？說(shuō)明理由.

解析：（1）∵OB = OC，∠BOE = ∠COD，OE = OD，∴△BOE ≌ △COD（SAS）;

（2）能. 理由：如圖4，延長(zhǎng)BE，CD交于點(diǎn)A，則AB = AC.

由（1）知，△BOE ≌ △COD，∴BO = CO，∠EBO = ∠DCO，∴∠DBC = ∠ECB，

∴∠DBC + ∠EBO = ∠ECB + ∠DCO， ∴∠EBC = ∠DCB，∴AB = AC.

? [能力提升]

如圖5，在△ABC中，∠ACB = 90°，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，ED⊥AB于點(diǎn)D，若BC = ED，BC，ED交于點(diǎn)O. 寫(xiě)出圖中所有的全等三角形，并選擇你喜歡的一對(duì)給出證明.