基于BLUE與PCRLB的快速雷達(dá)資源管理*

羅 靜，趙嬋娟，方 明，湯繼偉

(1.上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109;2.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

相控陣?yán)走_(dá)具有波束捷變能力，可以同時(shí)產(chǎn)生多個(gè)發(fā)射波束，分別獨(dú)立地執(zhí)行搜索、跟蹤等任務(wù)[1]，波束駐留時(shí)間、波束的指向等參數(shù)值也可實(shí)時(shí)變化。在有限的雷達(dá)資源限制下，如何合理地對(duì)資源進(jìn)行管理，使雷達(dá)作戰(zhàn)能力最大化，具有重要的研究意義。

雷達(dá)資源管理主要分為目標(biāo)跟蹤和資源管理兩個(gè)部分。資源管理部分利用目標(biāo)跟蹤反饋的目標(biāo)信息對(duì)發(fā)射端資源進(jìn)行實(shí)時(shí)分配。傳統(tǒng)的資源管理方法主要有協(xié)方差控制[2]、基于信息熵值方法[3]。Alexey等人[4]將目標(biāo)跟蹤誤差協(xié)方差作為評(píng)價(jià)函數(shù)，建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，對(duì)雷達(dá)的功率資源進(jìn)行分配。該方法易受到濾波算法優(yōu)劣性影響，因此Tharmarasa等人[5]提出將后驗(yàn)克拉美羅界作為目標(biāo)跟蹤精度衡量標(biāo)準(zhǔn)。嚴(yán)俊坤、秦童等人[6-7]將其作為評(píng)價(jià)函數(shù)，對(duì)雷達(dá)功率進(jìn)行分配，后又提出一種波束和波束寬度的聯(lián)合管理。后驗(yàn)克拉美羅界(Posterior Cramer-Rao Lower Bound,PCRLB)具有一定的預(yù)測(cè)性，通過(guò)計(jì)算上一時(shí)刻跟蹤的貝葉斯信息矩陣(Bayesian Information Matrix,BIM)可以預(yù)測(cè)得到下一時(shí)刻的克拉美羅下界，為下一時(shí)刻雷達(dá)資源的分配提供了相關(guān)依據(jù)，可減少單次運(yùn)算誤差。

實(shí)際環(huán)境中，雷達(dá)跟蹤問(wèn)題大多是非線性量測(cè)下的跟蹤濾波問(wèn)題，多使用拓展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filterr，EKF)算法、無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)算法、粒子濾波(Particle Filter，PF)算法和量測(cè)轉(zhuǎn)換[8]等方法。EKF方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但誤差大；PF方法不受線性化誤差或高斯噪聲假定的限制，濾波精度高，但計(jì)算復(fù)雜度高，工程實(shí)際應(yīng)用受限；UKF精度比EKF高，計(jì)算量較PF方法小；使用量測(cè)轉(zhuǎn)換方法可以減少運(yùn)算量，但傳統(tǒng)轉(zhuǎn)換測(cè)量過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生誤差，導(dǎo)致目標(biāo)跟蹤不一致性。針對(duì)這種情況，基于位置量測(cè)的無(wú)偏量測(cè)轉(zhuǎn)換卡爾曼濾波算法[9]被提出，但該類型算法仍然存在誤差的統(tǒng)計(jì)特性與實(shí)際不符等情況。之后最佳線性無(wú)偏估計(jì)器(Best Linear Unbiased Estimation,BLUE)被提出[10]，與UKF相比較，兩者的跟蹤精度近似，但BLUE算法計(jì)算量更小，更符合實(shí)時(shí)性的要求。綜合計(jì)算量和跟蹤性能，BLUE算法最佳[11]，可用于處理在極坐標(biāo)系或者球坐標(biāo)系下觀測(cè)目標(biāo)的跟蹤問(wèn)題，工作實(shí)時(shí)性好，跟蹤精度高。

為進(jìn)一步提高雷達(dá)資源管理實(shí)時(shí)性，本文提出了一種結(jié)合BLUE和PCRLB的快速資源管理算法。首先建立目標(biāo)跟蹤模型，使用BLUE算法進(jìn)行目標(biāo)跟蹤，再快速計(jì)算PCRLB作為資源管理的依據(jù)，進(jìn)行波束分配和駐留時(shí)間的優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，本文提出的算法在維持跟蹤效果的同時(shí)可大幅降低運(yùn)算量，更符合工程中實(shí)時(shí)性的要求。

1 基于克拉美羅下界的雷達(dá)資源管理

1.1 系統(tǒng)模型

假設(shè)雷達(dá)探測(cè)區(qū)域內(nèi)有N個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，雷達(dá)可以同時(shí)生成Q個(gè)波束照射目標(biāo)。假設(shè)一個(gè)波束一次只能對(duì)一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行照射，當(dāng)Q>N即波束數(shù)目大于目標(biāo)個(gè)數(shù)時(shí)，可使多余的波束執(zhí)行搜索等其他任務(wù)；反之，當(dāng)Q≤N時(shí)，需要對(duì)各個(gè)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行判斷，選擇被照射的目標(biāo)以及確定波束的駐留時(shí)間。本文針對(duì)波束和駐留時(shí)間的聯(lián)合管理展開研究。雷達(dá)通過(guò)資源管理模塊對(duì)當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)信息進(jìn)行處理，得到發(fā)射參數(shù)反饋給發(fā)射端，決定下一時(shí)刻的發(fā)射參數(shù)。

首先建立信號(hào)模型。假設(shè)雷達(dá)發(fā)射脈沖信號(hào)為s(t)，在k時(shí)刻有M個(gè)脈沖照射到目標(biāo)，目標(biāo)回波表達(dá)式為

exp(-j2πfd,k(m)t)+ωk(t,m)。

(1)

(2)

式中：ΔTk為波束駐留時(shí)間。式(2)說(shuō)明目標(biāo)回波信噪比與波束駐留時(shí)間、發(fā)射平均功率等參數(shù)有關(guān)。

xk=Fxk-1+wk-1。

(3)

式中：wk-1～N(0,Q)為狀態(tài)噪聲，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

k時(shí)刻目標(biāo)非線性觀測(cè)方程為

(4)

目標(biāo)觀測(cè)向量為

(5)

(6)

1.2 基于PCRLB的資源管理

(7)

式中：E表示求取期望；J(xk)為目標(biāo)狀態(tài)xk的BIM，其逆即克拉美羅界CPCRLB(xk)，且滿足

(8)

(9)

BIM計(jì)算涉及大量矩陣運(yùn)算，為簡(jiǎn)便計(jì)算，Tichavsky[12]給出了一種迭代方法，將其表示為目標(biāo)先驗(yàn)Fisher信息矩陣Jp(xk)和數(shù)據(jù)Fisher信息矩陣JD(xk)兩部分之和，即

J(xk)=Jp(xk)+JD(xk)=

(10)

式(10)表明，J(xk)和JD(xk)均為駐留時(shí)間的函數(shù)，則對(duì)應(yīng)的PCRLB也為駐留時(shí)間的函數(shù)。由于對(duì)角線上的元素分別為對(duì)應(yīng)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差提供一個(gè)下界，提取出目標(biāo)跟蹤精度誤差方差的下界Cn：

Cn=CPCRLB(1,1)+CPCRLB(4,4) 。

(11)

式中：CPCRLB(1,1)和CPCRLB(4,4)分別為CPCRLB(xk)對(duì)角線上第一個(gè)和第四個(gè)元素。Cn為目標(biāo)n的跟蹤距離均方誤差(Mean Square Error,MSE)提供了一個(gè)下界。

針對(duì)波束和駐留時(shí)間的聯(lián)合管理展開研究，建立數(shù)學(xué)模型如下：

(12)

2 快速資源管理算法

結(jié)合式(10)～(12)發(fā)現(xiàn)，由于雷達(dá)觀測(cè)是非線性的，使用傳統(tǒng)跟蹤算法諸如EKF或者UKF等方法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)，在每一時(shí)刻的資源管理求解中都涉及大量的雅可比矩陣的計(jì)算和求逆，導(dǎo)致運(yùn)算量增加。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出一種結(jié)合BLUE和PCRLB的快速資源管理算法。

BLUE算法可用于解決非線性量測(cè)下的跟蹤濾波問(wèn)題，跟蹤性能與UKF相當(dāng)，但計(jì)算實(shí)時(shí)性更優(yōu)。通過(guò)BLUE的卡爾曼濾波形式進(jìn)行目標(biāo)跟蹤，在維持跟蹤效果的前提下，提高了目標(biāo)跟蹤的實(shí)時(shí)性，同時(shí)避免雅可比矩陣計(jì)算，可快速計(jì)算PCRLB，為下文資源管理提供依據(jù)。

BLUE算法基本步驟如下：

(13)

(14)

式中：Pk-1是k-1時(shí)刻的估計(jì)協(xié)方差矩陣。

(15)

(16)

Step5 計(jì)算k時(shí)刻濾波增益因子Kk：

(17)

(18)

Step7 計(jì)算估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣Pk：

(19)

(20)

由上述假設(shè)經(jīng)過(guò)推導(dǎo)[12]可得

(21)

式中：

(22)

計(jì)算S中對(duì)角線元素可得到

(23)

(24)

通過(guò)以上推導(dǎo)，計(jì)算轉(zhuǎn)換后的量測(cè)誤差的協(xié)方差矩陣為

(25)

將式(25)代入式(9)可得

(26)

相應(yīng)地，可以得到信息矩陣JBLUE(xk)和克拉美羅界CBLUE：

JBLUE(xk)=Jp_blue(xk)+JD_blue(xk)=

(27)

(28)

本文研究的波束和駐留時(shí)間的聯(lián)合管理主要解決兩個(gè)問(wèn)題：一是如何選擇下一時(shí)刻的跟蹤對(duì)象；二是如何確定波束駐留時(shí)間。式(12)表示的模型直接求解難度大，對(duì)此，本文使用一種分步算法，分步解決上述兩個(gè)問(wèn)題。針對(duì)問(wèn)題一，由式(10)可知，目標(biāo)的先驗(yàn)信息矩陣與當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)無(wú)關(guān)，僅反映過(guò)去時(shí)刻的目標(biāo)跟蹤效果，可求其逆用于選擇下一時(shí)刻的跟蹤對(duì)象。針對(duì)問(wèn)題二，確定照射目標(biāo)后，以目標(biāo)PCRLB作為代價(jià)函數(shù)，駐留時(shí)間最短為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行駐留時(shí)間的優(yōu)化。

結(jié)合以上理論推導(dǎo)與分析，本文提出快速資源算法，具體步驟如下：

Step5 重復(fù)Step 1～4，完成跟蹤。

同時(shí)，依據(jù)上述分析可知算法的計(jì)算量與lp3成正比，其中p為目標(biāo)狀態(tài)維數(shù)，l為可選駐留時(shí)間數(shù)目。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

采用仿真數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證本文算法的有效性?？紤]到計(jì)算復(fù)雜性和結(jié)果直觀性，設(shè)置2個(gè)波束對(duì)3個(gè)目標(biāo)進(jìn)行仿真，跟蹤時(shí)間為60 s，駐留時(shí)間限制為0.01 s≤ΔTn,k≤0.45 s。脈沖重復(fù)周期Tpri=400 μs，脈沖寬度τ=10 μs，采樣間隔為1 s。

設(shè)置目標(biāo)初始協(xié)方差矩陣均為P0=diag[400,10,0.001,400,10,0.001]，初始信息矩陣均為J0=diag[0.5,1,0.001,0.5,10,0.001]，進(jìn)行200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。將目標(biāo)的均方根誤差定義為

(28)

式中：Nmo為蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)。

3.1 實(shí)驗(yàn)1：勻速直線運(yùn)動(dòng)

仿真場(chǎng)景如圖1(a)所示，設(shè)置跟蹤精度分別為300 m2、200 m2和150 m2。雷達(dá)位置即原點(diǎn)，三個(gè)目標(biāo)均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)1、目標(biāo)2逐漸靠近雷達(dá)，目標(biāo)3距離雷達(dá)較近，逐漸遠(yuǎn)離雷達(dá)。圖1(b)為三個(gè)目標(biāo)的跟蹤誤差均方根曲線圖。

(a)三目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡仿真圖

(b) 目標(biāo)跟蹤RMSE曲線圖圖1 實(shí)驗(yàn)1仿真場(chǎng)景

圖2為目標(biāo)均方誤差和PCRLB對(duì)比圖。跟蹤穩(wěn)定后，目標(biāo)MSE逐漸趨近PCRLB，由于算法以PCRLB作為比較準(zhǔn)則，故MSE略高是合理的。以目標(biāo)2為例，在0～10 s內(nèi)，跟蹤均方誤差MSE產(chǎn)生小高峰，主要是由于初始條件相同情況下，算法傾向于將資源分配給跟蹤效果最差的目標(biāo)，導(dǎo)致其在跟蹤初期未被跟蹤或者分配駐留時(shí)間少。在第25 s時(shí)，MSE和PCRLB產(chǎn)生小尖峰，這是由于當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)未被波束照射，算法在此處以預(yù)測(cè)值代替濾波值。目標(biāo)3初始距離雷達(dá)近，所需要的照射次數(shù)最少，導(dǎo)致曲線多起伏，目標(biāo)逐漸遠(yuǎn)離時(shí)，為維持跟蹤精度，照射次數(shù)增多，曲線起伏逐漸變小。

圖2 實(shí)驗(yàn)1中目標(biāo)MSE和PCRLB對(duì)比圖

圖3為算法優(yōu)化后的駐留時(shí)間分布圖，同一時(shí)刻雷達(dá)最多可對(duì)兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，駐留時(shí)間隨目標(biāo)靠近雷達(dá)而減少。同時(shí)，目標(biāo)1和2與雷達(dá)距離近似，目標(biāo)2期望精度高，所以所需的駐留時(shí)間高于目標(biāo)1。目標(biāo)2雖然距離雷達(dá)比目標(biāo)1近，但是由于其期望精度高，所需要的駐留時(shí)間長(zhǎng)。目標(biāo)3逐漸遠(yuǎn)離雷達(dá)，所以波束照射次數(shù)逐漸增多，但由于距離雷達(dá)較近，駐留時(shí)間較少。與固定駐留時(shí)間相比較，本文提出算法可以在維持目標(biāo)跟蹤精度的同時(shí)，有效地對(duì)駐留時(shí)間進(jìn)行實(shí)時(shí)管理，避免資源浪費(fèi)。

圖3 實(shí)驗(yàn)1中駐留時(shí)間分布圖

選用基于UKF和PCRLB的傳統(tǒng)資源管理算法作為對(duì)照組，使用相同的仿真初始條件和管理策略和方式，表1給出了本文快速算法和傳統(tǒng)算法結(jié)果對(duì)比?？梢钥闯?，在具備i7平臺(tái)的雷達(dá)資源調(diào)度模擬器上計(jì)算仿真，本文算法經(jīng)過(guò)200次蒙特卡洛試驗(yàn)平均后，完成跟蹤每一步的所需時(shí)間為1.8 ms，而傳統(tǒng)方法每步跟蹤所需的時(shí)間為20.9 ms，快速算法計(jì)算性能提高近11倍。

表1 本文算法和傳統(tǒng)資源管理算法結(jié)果對(duì)比(勻速)

3.2 實(shí)驗(yàn)2：勻加速直線運(yùn)動(dòng)

仿真場(chǎng)景如圖4(a)所示，目標(biāo)加速度分別為沿x軸負(fù)向1g、y軸負(fù)向1g、x軸正向0.5g。圖4(b)為三個(gè)目標(biāo)跟蹤RMSE曲線圖。

(a) 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡仿真圖(勻加速)

(b) 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡仿真圖圖4 實(shí)驗(yàn)2仿真場(chǎng)景

圖5為目標(biāo)MSE和PCRLB對(duì)比圖。與勻速情況類似，由于波束數(shù)目小于跟蹤目標(biāo)數(shù)，在每一時(shí)刻的跟蹤，都會(huì)優(yōu)先選擇跟蹤效果較差的兩個(gè)目標(biāo)，導(dǎo)致曲線出現(xiàn)起伏。

圖5 實(shí)驗(yàn)2中目標(biāo)MSE和PCRLB對(duì)比圖

圖6為勻加速目標(biāo)的駐留時(shí)間分布圖，圖中黑色虛線為固定駐留時(shí)間0.2 s。目標(biāo)2先靠近再遠(yuǎn)離雷達(dá)，對(duì)應(yīng)的駐留時(shí)間的分布呈U型。目標(biāo)1遠(yuǎn)離雷達(dá)，被波束照射的次數(shù)和照射的時(shí)間均減少，目標(biāo)3則反之。結(jié)合以上分析可以看出，本文算法可以按照目標(biāo)跟蹤的需求，合理地分配駐留時(shí)間。

圖6 實(shí)驗(yàn)2中駐留時(shí)間分布圖

通過(guò)表2可看出，在具備i7平臺(tái)的雷達(dá)資源調(diào)度模擬器上計(jì)算仿真，兩種算法完成每一步跟蹤的時(shí)間分別為1.8 ms和22.86 ms，本文所提算法對(duì)于勻加速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)依然適用。綜合算法分析，本文算法較傳統(tǒng)算法運(yùn)算速度高的原因主要有兩點(diǎn)：一是BLUE作為跟蹤算法實(shí)時(shí)性較UKF好，UKF濾波時(shí)，使用UT采樣方法得到目標(biāo)狀態(tài)值、觀測(cè)值預(yù)測(cè)，是一種以運(yùn)算量獲取高精度的方法；二是在計(jì)算PCRLB過(guò)程中，本文提出的快速算法避免了雅可比矩陣的重復(fù)計(jì)算，大幅減少了運(yùn)算量，提高了運(yùn)算的實(shí)時(shí)性。以上結(jié)果及分析說(shuō)明算法有效可行。

表2 本文算法和傳統(tǒng)資源管理結(jié)果對(duì)比(勻加速)

4 結(jié)束語(yǔ)

為提高雷達(dá)多目標(biāo)跟蹤任務(wù)情況下資源管理的實(shí)時(shí)性，本文提出了基于BLUE和PCRLB算法的雷達(dá)資源快速分配算法。使用BLUE算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)，可得出更精確的轉(zhuǎn)換后量測(cè)誤差統(tǒng)計(jì)特性；同時(shí)，PCRLB為離散非線性濾波問(wèn)題的均方誤差提供了一個(gè)下界，可作為資源分配的代價(jià)函數(shù)。本文提出的快速資源管理算法通過(guò)BLUE算法跟蹤目標(biāo)，快速計(jì)算PCRLB，避免了傳統(tǒng)過(guò)程中對(duì)雅可比矩陣的求解。以此為基礎(chǔ)，建立了多目標(biāo)雷達(dá)跟蹤模型，并根據(jù)雷達(dá)跟蹤效果和期望精度自適應(yīng)地調(diào)整雷達(dá)的波束和駐留時(shí)間分配，實(shí)現(xiàn)了多目標(biāo)雷達(dá)跟蹤的資源自適應(yīng)管理。最后結(jié)合試驗(yàn)仿真驗(yàn)證了該方法的可行性與高效性。

下一步將針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的實(shí)時(shí)跟蹤問(wèn)題，設(shè)計(jì)基于BLUE的交互多模型算法(IMM-BLUE)。