基于Gamma過(guò)程的制動(dòng)器磨損退化建模與>剩余壽命預(yù)測(cè)

梁慶海， 賈希勝， 白雲(yún)杰

(1.陸軍工程大學(xué) 石家莊校區(qū)， 河北 石家莊 050003；2.中國(guó)人民解放軍32153部隊(duì) 教研部， 河北 宣化 075100)

制動(dòng)器工作過(guò)程中，制動(dòng)副之間的摩擦?xí)蛊淠Σ帘砻娌牧喜粩嗝撀?，這種現(xiàn)象即為制動(dòng)器磨損。制動(dòng)器磨損是其工作過(guò)程中摩擦現(xiàn)象導(dǎo)致的必然結(jié)果，但過(guò)度磨損會(huì)影響其制動(dòng)性能，造成制動(dòng)力矩下降，帶來(lái)安全隱患。在缺乏精確預(yù)測(cè)的情況下，過(guò)早地對(duì)制動(dòng)器進(jìn)行維修或更換會(huì)造成資源浪費(fèi)，也會(huì)降低設(shè)備的使用效率，而過(guò)晚實(shí)施維修或更換可能導(dǎo)致一些嚴(yán)重安全隱患。對(duì)制動(dòng)器磨損性能退化進(jìn)行建模研究，實(shí)現(xiàn)制動(dòng)器磨損剩余壽命精確預(yù)測(cè)，能有效地進(jìn)行預(yù)防性維修，降低維修成本，也可減少安全隱患。

常用性能退化建模方法有基于物理模型的方法、基于退化軌跡擬合的方法、基于隨機(jī)過(guò)程和退化量分布擬合的方法等。制動(dòng)器磨損是一種不可逆的累積過(guò)程，是摩擦副之間各種相互作用的綜合結(jié)果。磨損本身是一個(gè)極其復(fù)雜的物理、化學(xué)過(guò)程，對(duì)其進(jìn)行機(jī)理分析涉及材料、熱力學(xué)、物理及化學(xué)等眾多學(xué)科。不同材料摩擦副的磨損特性差異很大，即便是相同材料的摩擦副，不同工作環(huán)境下其磨損過(guò)程也呈現(xiàn)不同特點(diǎn)。因此，難以建立一個(gè)精確的物理模型對(duì)磨損過(guò)程進(jìn)行退化建模以實(shí)現(xiàn)剩余壽命(RUL)預(yù)測(cè)。由于制動(dòng)器的磨損受到制動(dòng)材料、摩擦面外部雜質(zhì)及環(huán)境溫度、制動(dòng)持續(xù)時(shí)間等工況的內(nèi)外因素綜合影響，其性能退化過(guò)程存在明顯的隨機(jī)性。最常用的描述產(chǎn)品性能退化的隨機(jī)過(guò)程包括Wiener過(guò)程和Gamma過(guò)程等，Wiener過(guò)程模型能描述多種典型產(chǎn)品的性能退化過(guò)程，并且具有較好的計(jì)算分析特性。但Wiener過(guò)程是基于正態(tài)性假設(shè)的隨機(jī)過(guò)程模型，對(duì)于一些嚴(yán)格單調(diào)的退化模型，通過(guò)Wiener過(guò)程并不能很精確地對(duì)其進(jìn)行描述和分析。Gamma過(guò)程模型的增量具有獨(dú)立、平穩(wěn)、非負(fù)的特性，適用于描述具有非負(fù)增量、退化過(guò)程嚴(yán)格單調(diào)遞增的產(chǎn)品性能退化過(guò)程，如機(jī)械部件磨損等。Abdel-Hameed M.的研究證明Gamma過(guò)程是一種適用于對(duì)設(shè)備進(jìn)行磨損建模的模型。朱貝蓓等利用Gamma過(guò)程對(duì)碳化鎢涂層的磨損進(jìn)行建模研究，并實(shí)現(xiàn)了剩余壽命預(yù)測(cè)?？紤]到制動(dòng)器磨損深度呈單調(diào)遞增趨勢(shì)，其磨損性能退化是一個(gè)不可逆的累積過(guò)程，采用Gamma過(guò)程對(duì)制動(dòng)器磨損進(jìn)行性能退化建模，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行制動(dòng)器RUL預(yù)測(cè)。

1 基于Gamma過(guò)程的制動(dòng)器磨損退化建模

1.1 模型描述

制動(dòng)器磨損深度等于摩擦片原始厚度與當(dāng)前厚度之差。在任意時(shí)刻t(t>0)，制動(dòng)器磨損深度為X(t)，對(duì)應(yīng)磨損增量為Y(t)，假設(shè)過(guò)程{X(t),t≥0}和{Y(t),t≥0}為Gamma過(guò)程，則由Gamma過(guò)程的定義及性質(zhì)可知制動(dòng)器的磨損過(guò)程具有以下特性：1)Y(0)=0。2) 任意時(shí)刻t>0的磨損增量Y(t)=ΔX=X(t+Δt)-X(t)，且不同時(shí)刻的Y(t)相互獨(dú)立。3)Y(t)服從Gamma分布，其概率密度函數(shù)可表示為式(1)。

(1)

Gamma過(guò)程是一個(gè)增量非負(fù)且獨(dú)立、服從Gamma分布的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，當(dāng)形狀參數(shù)α為時(shí)間的線性函數(shù)α(t)時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)Gamma過(guò)程。此時(shí)，Y(t)的概率密度函數(shù)為：

fY(t)(y)=Ga(y|α(t),β)

(2)

其均值和方差分別為：

(3)

(4)

1.2 模型參數(shù)估計(jì)

對(duì)于平穩(wěn)Gamma過(guò)程，設(shè)ΔXi=Xi-Xi-1，Δti=ti-ti-1(i=1，2，…)，用Ri=Δxi/Δti表示退化率，則通過(guò)退化率可計(jì)算樣本均值和方差：

(5)

由式(3)～(5)可得：

(6)

進(jìn)一步可求得：

(7)

通過(guò)樣本矩和期望值，可得：

(8)

(9)

求解式(8)和式(9)，可得到參數(shù)估計(jì)值：

(10)

(11)

2 基于Gamma退化模型的制動(dòng)器剩余壽命預(yù)測(cè)

2.1 壽命分布

對(duì)于累積退化過(guò)程，通常認(rèn)為制動(dòng)器的磨損退化過(guò)程X(t)一旦達(dá)到失效閾值Xceil(最大磨損深度)即發(fā)生失效。此時(shí)制動(dòng)器因過(guò)度磨損已無(wú)法提供足夠的制動(dòng)力矩，導(dǎo)致制動(dòng)距離過(guò)長(zhǎng)，達(dá)不到安全性指標(biāo)要求。據(jù)此，制動(dòng)器失效時(shí)間可定義為X(t)的樣本退化軌跡首次超過(guò)閾值Xceil的時(shí)刻，其壽命為從開(kāi)始使用到首次達(dá)到失效閾值的時(shí)間段長(zhǎng)度，表達(dá)式為：

T=inf{X(t)≥Xceil}={t|X(t)≥Xceil,

X(s)≤Xceil,0≤s≤t}

(12)

由Gamma退化過(guò)程樣本軌跡的單調(diào)性，可進(jìn)一步推導(dǎo)其壽命分布公式：

FT(t)=Pr{T≤t}=Pr{X(t)≥Xceil}=

(13)

式中：γ[α(t),Xceilβ]為上不完全Gamma函數(shù)，其定義見(jiàn)式(14)。

(14)

綜上，進(jìn)一步推導(dǎo)制動(dòng)器磨損壽命的一階矩及二階矩分別為：

(15)

(16)

對(duì)式(13)、式(15)和式(16)進(jìn)行求解，設(shè)qn=Pr{tn≤ΤXceil≤tn+1}，并令tn=n/α，n=0,1,2,…，再對(duì)式(14)作離散時(shí)間近似，得：

(17)

式(17)表明，制動(dòng)器在時(shí)間區(qū)間(n/α,(n+1)/α]內(nèi)發(fā)生磨損超閾值而失效的概率是參數(shù)為Xceil/β的泊松分布，由泊松分布的性質(zhì)可求出制動(dòng)器磨損壽命的均值為Xceilβ/α，方差為Xceilβ/α2。

2.2 剩余壽命分布

制動(dòng)器工作到時(shí)刻tc時(shí)，根據(jù)式(13)，其剩余壽命分布為：

FT(t|tc)=Pr{T≤t|T>tc}=

(18)

設(shè)制動(dòng)器在時(shí)刻tc的磨損退化值Xc=X(tc)

FT(t|tc)=Pr{T≤t|X(tc)=Xc}=

Pr{X(t)-X(tc)≥Xceil-Xc}=

(19)

2.3 可靠度函數(shù)

假設(shè)制動(dòng)器的壽命為T(mén)，由于制動(dòng)器的磨損退化過(guò)程是一個(gè)單調(diào)遞增過(guò)程，t時(shí)刻的可靠度函數(shù)為：

R(t)=P(T>t)=P{X(t)

(20)

3 仿真試驗(yàn)

3.1 制動(dòng)器磨損退化仿真數(shù)據(jù)

為檢驗(yàn)上述Gamma磨損退化模型的有效性，通過(guò)MATLAB進(jìn)行仿真試驗(yàn)驗(yàn)證。生成一組制動(dòng)器全壽命磨損退化數(shù)據(jù)，制動(dòng)器摩擦片的累計(jì)磨損失效閾值為3 000 μm，制動(dòng)操作造成的磨損量均值為0.178 6 μm/次、方差為0.294 9 μm2/次。每次制動(dòng)所造成的磨損增量仿真數(shù)據(jù)見(jiàn)圖1。

圖1 制動(dòng)器磨損增量仿真數(shù)據(jù)

累積磨損退化過(guò)程見(jiàn)圖2，制動(dòng)器在累計(jì)制動(dòng)達(dá)16 398次時(shí)的累積磨損量為3 000.09 μm，此時(shí)制動(dòng)器摩擦片的磨損壽命達(dá)到極限狀態(tài)。

圖2 制動(dòng)器磨損退化過(guò)程仿真結(jié)果

3.2 制動(dòng)器磨損退化模型參數(shù)估計(jì)

圖3 模型參數(shù)迭代更新過(guò)程

3.3 制動(dòng)器磨損退化的RUL預(yù)測(cè)

根據(jù)圖2，在累計(jì)進(jìn)行6 000次制動(dòng)對(duì)應(yīng)的觀測(cè)時(shí)刻，累積磨損退化量為1 116.21 μm，下面預(yù)測(cè)從這一觀測(cè)時(shí)刻到達(dá)磨損退化閾值Xceil=3 000 μm時(shí)的剩余壽命。根據(jù)Gamma過(guò)程的單調(diào)性和增量獨(dú)立性，可由MATLAB的gampdf函數(shù)計(jì)算此后每次制動(dòng)所對(duì)應(yīng)時(shí)刻的概率密度函數(shù)值，并由此得到在這一觀測(cè)時(shí)刻的RUL-pdf(概率密度函數(shù))分布曲線(見(jiàn)圖4)。

圖4 累計(jì)制動(dòng)次數(shù)為6 000次時(shí)的RUL-pdf曲線

根據(jù)仿真數(shù)據(jù)集，在累計(jì)進(jìn)行6 000次制動(dòng)時(shí)制動(dòng)器的實(shí)際剩余壽命為16 398-6 000=10 398次。在圖4的基礎(chǔ)上，可根據(jù)剩余壽命的分布函數(shù)和可靠度函數(shù)進(jìn)一步對(duì)制動(dòng)器的工作可靠性進(jìn)行分析，得到制動(dòng)器的剩余壽命分布(見(jiàn)圖5)。

圖5 累計(jì)制動(dòng)次數(shù)為6 000次時(shí)的壽命分布

用同樣的方法和思路，在工作的全壽命區(qū)間的各觀測(cè)時(shí)刻對(duì)制動(dòng)器進(jìn)行分析。在計(jì)算其累積磨損退化量的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)歷史磨損增量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，進(jìn)行Gamma磨損退化模型參數(shù)估計(jì)，并進(jìn)行制動(dòng)器RUL預(yù)測(cè)，結(jié)果見(jiàn)圖6。

由圖3、圖6可知：隨著制動(dòng)器工作時(shí)長(zhǎng)的增加，累計(jì)制動(dòng)次數(shù)不斷增多，積累的可用歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)不斷增加，模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果越來(lái)越穩(wěn)定，RUL預(yù)測(cè)區(qū)間也不斷收窄，說(shuō)明根據(jù)模型對(duì)制動(dòng)器進(jìn)行磨損退化擬合基本符合仿真數(shù)據(jù)集的磨損特性。

圖6 不同觀測(cè)時(shí)刻的RUL分布

各觀測(cè)時(shí)刻的RUL預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)圖7。預(yù)測(cè)值與真實(shí)值十分接近，說(shuō)明Gamma磨損退化模型能較好地對(duì)制動(dòng)器磨損過(guò)程進(jìn)行描述。

圖7 不同觀測(cè)時(shí)刻的RUL預(yù)測(cè)結(jié)果

3.4 誤差分析

RUL預(yù)測(cè)結(jié)果的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差見(jiàn)圖8。

圖8 不同觀測(cè)時(shí)刻的RUL預(yù)測(cè)誤差

由圖8可知：雖然有少數(shù)預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差超過(guò)10%，且在制動(dòng)器工作壽命的末段RUL預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差增大，但由圖7可知此時(shí)實(shí)際RUL已經(jīng)較小，且在末段的RUL預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差基本在100次以下，此時(shí)用相對(duì)誤差判斷RUL預(yù)測(cè)精度已沒(méi)有太大的實(shí)際意義。相對(duì)于所采用的制動(dòng)器磨損仿真數(shù)據(jù)集，制動(dòng)器全壽命總的制動(dòng)次數(shù)為16 398次，RUL預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差能控制在較小范圍內(nèi)。

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)制動(dòng)器磨損這一典型的性能退化過(guò)程建立基于Gamma過(guò)程的退化模型，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)制動(dòng)器剩余壽命分布函數(shù)和可靠度函數(shù)，通過(guò)制動(dòng)器磨損的仿真數(shù)據(jù)集估計(jì)模型參數(shù)，根據(jù)新的磨損退化增量數(shù)據(jù)對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行更新，進(jìn)而求解其壽命分布的概率密度函數(shù)值，并進(jìn)行RUL預(yù)測(cè)。仿真試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所建模型的可行性，且RUL預(yù)測(cè)精度較理想。在難以獲取大量失效樣本數(shù)據(jù)的情況下，文中研究可為工程實(shí)際應(yīng)用中的制動(dòng)器磨損退化建模與剩余壽命預(yù)測(cè)提供一種可行方法和思路，但仍需通過(guò)大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步研究和驗(yàn)證。