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    基于波束空間的四階累積量LCMV 波束形成算法

    2021-09-28 11:23:10楊夢琪
    軟件導(dǎo)刊 2021年9期
    關(guān)鍵詞:主元四階原位

    楊夢琪,秦 云

    (江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212000)

    0 引言

    自適應(yīng)波束形成技術(shù)是陣列信號處理中的重要研究對象,廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[1]。近年來,常規(guī)的自適應(yīng)波束形成器由于抑制干擾和噪聲的能力不佳,在實(shí)際應(yīng)用方面漸漸無法滿足要求[2]。高階累積量的陣列處理方法被逐漸應(yīng)用于自適應(yīng)波束形成技術(shù)中,其包含信號幅值、相位等重要信息,在陣列數(shù)據(jù)處理中能夠擴(kuò)展陣列孔徑、抑制高斯噪聲(特別是高斯色噪聲)、校正陣元誤差等[3]。與常規(guī)算法相比,基于高階累積量的自適應(yīng)波束形成算法可有效減小主瓣寬度、降低旁瓣電平、增加對干擾的零陷深度,波束形成性能大幅提高[4-5]。

    雖然基于高階累積量的自適應(yīng)波束算法有很多優(yōu)點(diǎn),但計算過程中需要構(gòu)造高階累積量矩陣,具有計算復(fù)雜度高、計算時間較長的缺點(diǎn)。對此,Zhao 等[6]、武思軍等[7]、李婷婷[8]去除陣列冗余數(shù)據(jù),減小了計算量;劉春靜等[9]分析四階累積量矩陣中各元素之間的關(guān)系,去除相同或互為共軛的元素,計算量大幅度減小。然而上述方法中都有去除數(shù)據(jù)的操作,會導(dǎo)致信息量損失[10]。

    本文將陣列接收數(shù)據(jù)由陣元域變換到波束域,在波束域中構(gòu)造協(xié)方差矩陣的四階累積量空間相關(guān)矩陣,結(jié)合文獻(xiàn)[11-12]中的矩陣原位替換解算方法與改進(jìn)原位替換求逆方法所提出的基于主元交換的原位替換算法,求解空間相關(guān)矩陣的逆,在線性約束最小方差(Linearly Constrained Minimum Variance,LCMV)準(zhǔn)則下求解最優(yōu)權(quán)矢量。與傳統(tǒng)LCMV 波束形成器和基于四階累積量的LCMV 算法相比較,本文方法在整體抗干擾性能、計算復(fù)雜度、適用性等方面有明顯優(yōu)勢,同時也節(jié)約了存儲空間[13]。

    1 算法原理

    1.1 信號模型

    假設(shè)有M個各向同性的陣元,且陣元間距為d,遠(yuǎn)場處存在1 個期望信號(角度為θ0)和L個干擾信號以平面波入射(角度θl,波長λ,l=1,…L)[14],則第k個陣元接收信號可表示為:

    整個陣元接收數(shù)據(jù)的矩陣表示為:

    式 中,X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T,為陣列數(shù)據(jù);N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T,為陣列噪聲;S(t)=[s0(t),s1(t),…,sL(t)]T,為信號源復(fù)包絡(luò);矩陣為第l 個信號源的導(dǎo)向矢量,其中βl=

    陣列的協(xié)方差矩陣為:

    1.2 波束空間

    波束空間處理是指對M 元陣列形成一組非自適應(yīng)波束,將信號從陣元域變換到波束域,再對各波束的輸出進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)處理[15]。該組非自適應(yīng)波束(假設(shè)r 個,r

    定義一個M×r的矩陣T 為轉(zhuǎn)換矩陣,則信號由陣元域到波束域輸出為:

    其中,轉(zhuǎn)換矩陣T 為:

    式中,μ(α)=,系數(shù)μ決定了波束覆蓋空間的起始位置。轉(zhuǎn)換矩陣T 的每一個列向量分別代表不同的方向,在感興趣的區(qū)域形成r 個波束,區(qū)域范圍為稱為波束空間區(qū)域。波束空間區(qū)域內(nèi)的信號被保留,區(qū)域外的干擾信號被抑制。

    波束域輸出協(xié)方差矩陣為:

    1.3 波束域LCMV 算法

    陣元域LCMV 算法的代價函數(shù)和最優(yōu)權(quán)矢量為:

    根據(jù)式(7)可以得到波束域LCMV 算法的最優(yōu)化問題描述為:

    式中,Wbs為波束域LCMV 波束形成器的權(quán)矢量,Cbs=THC為波束域?qū)蚴噶考s束矩陣,f為對應(yīng)約束響應(yīng)矢量。

    波束域LCMV 波束形成器的最優(yōu)權(quán)矢量為:

    1.4 基于波束空間的四階累積量LCMV 算法原理

    在波束域構(gòu)造信號四階累積量矩陣:

    其中,?為克羅內(nèi)克積(Kronnecker),E{· }為期望。

    滿足約束條件的最優(yōu)權(quán)矢量代價函數(shù)為:

    那么,基于波束空間的四階累積量LCMV 波束形成器的最優(yōu)權(quán)矢量為:

    方向圖為:

    基于波束空間的四階累積量LCMV 算法原理如下:

    (1)陣元接收數(shù)據(jù)X(t),將數(shù)據(jù)信號變換到波束空間得到Xbs(t)。

    (2)在波束空間構(gòu)造四階累積量空間相關(guān)矩陣R4bs、方向矩陣C4bs以及對應(yīng)約束響應(yīng)矢量f4bs。

    (3)計算式(12),得到基于波束空間的四階累積量LC?MV 的最優(yōu)權(quán)矢量。

    2 算法實(shí)現(xiàn)

    2.1 四階累積量矩陣構(gòu)造

    根據(jù)“1.4”項下算法原理,需要在波束空間構(gòu)造四階累積量相關(guān)矩陣R4bs、方向矩陣C4bs、對應(yīng)約束響應(yīng)矢量f4bs。運(yùn)算符?克羅內(nèi)克積表示:如果有A?B,相當(dāng)于將A 矩陣的每一個元素與B 矩陣相乘形成分塊矩陣。因此,方向矩陣C4bs的構(gòu)造是將Cbs中的每一個元素與矩陣相乘,對應(yīng)約束響應(yīng)矢量f4bs是由f中的每一個元素與矢量f*相乘得到。

    根據(jù)式(10),四階累積量相關(guān)矩陣R4bs的構(gòu)造過程為:

    也可以表示為:

    2.2 基于主元交換的原位替換求逆算法

    為進(jìn)一步降低算法的計算復(fù)雜度,運(yùn)用基于主元交換的原位替換算法求解式(12)中高階累積量矩陣(對稱共軛矩陣)的逆[13],這樣既保留了高階累積量的優(yōu)越性,也降低了算法的計算復(fù)雜度。

    基于主元交換的原位替換算法是在LU 分解基礎(chǔ)上的矩陣求逆方法,對n 階對稱共軛的非奇異矩陣A 進(jìn)行LU 分解,令A(yù)=LU,則A-1=U-1L-1。

    假設(shè)矩陣A 表示為:

    整個求逆算法步驟如下:

    (1)獲取主元交換的約化系矩陣。首先對矩陣A 做初等變換,將矩陣分別變換為上三角矩陣U1和下三角矩陣L1。引入約化系數(shù)矩陣N,整個約化系數(shù)矩陣可表示為:

    其中,式(17)中的aji.k表示矩陣A 在第k 次初等運(yùn)算后得到的第j行i列的元素,i,j=1,2,…,n,k=0,1,…,n-1。

    根據(jù)式(17)計算約化系數(shù)矩陣,在計算過程中對主對角元素為零的行向量做換主元操作,保證主對角元素的非零性。主元交換的約化系數(shù)矩陣計算流程見圖1。

    Fig.1 Primary component exchange flow圖1 主元交換流程

    交換過程中引入標(biāo)志矩陣P,用以記錄主元交換過程以及結(jié)果恢復(fù)。主元交換原理為:如果njj=0,nij≠0,i>j且nsj=0,s=j,j+1,…,i-1,那么交換j 行與i 行,np.jk=nik,np.ik=njk,k=1,2,…,n。

    由簡單矩陣運(yùn)算規(guī)則可知,矩陣行向量交換可通過左乘單位矩陣的變形陣實(shí)現(xiàn)。因此,主元交換操作后,對于可逆矩陣一定存在初等方陣P,使得PA=LU,則有A-1=U-1L-1P。主元交換后的約化系數(shù)矩陣N(ap.ji的p 表示進(jìn)行了主元交換操作)為:

    (2)行向量修正。主元交換后,N 的主對角元均不為零,還要對N 中主對角元小于零的元素進(jìn)行修正。修正過程為左乘修正矩陣M:

    (3)計算三角逆矩陣。直接根據(jù)公式計算三角逆矩陣:

    其中,上三角逆矩陣和下三角逆矩陣的元素為(具體分析參考文獻(xiàn)[12]):

    (4)求所需逆矩陣。

    2.3 算法總體流程

    基于波束空間的四階累積量LCMV 算法流程如圖2 所示。陣列接收數(shù)據(jù)通過轉(zhuǎn)換矩陣T 將信號由陣元域變換到波束域,在波束空間中構(gòu)造數(shù)據(jù)四階累積量空間相關(guān)矩陣R4bs、方向矩陣C4bs、對應(yīng)約束響應(yīng)矢 量f4bs,將R4bs輸出到求逆模塊,采用基于主元交換的原位替換算法求,然后在LCMV 準(zhǔn)則下求解最優(yōu)權(quán)矢量[17-20]。

    Fig.2 Flow of fourth-order cumulant LCMV algorithm based on beamspace圖2 基于波束空間的四階累積量LCMV 算法流程

    3 仿真結(jié)果與分析

    3.1 仿真分析

    (1)仿真1:陣元數(shù)N=12,波束數(shù)r=7,輸入信噪比為0。LCMV、陣元域四階累積量LCMV 與本文建立的基于波束空間的四階累積量LCMV 算法仿真方向比較如圖3 所示。通過比較分析可知,與傳統(tǒng)LCMV 算法相比,基于四階累積量的LCMV 算法和基于波束空間的四階累積量LCMV 算法的主瓣寬度更窄,旁瓣電平的零陷更低,優(yōu)勢明顯。

    (2)仿真2:在陣元數(shù)N=12,波束數(shù)分別為r=5、r=7、r=9時,基于波束空間的四階累積量LCMV 算法仿真方向如圖4 所示??梢钥吹?,當(dāng)波束數(shù)r=5 時,波束范圍外的干擾被濾除得很干凈,但波束區(qū)域內(nèi)的部分旁瓣略高,主瓣略寬。r=7 與r=9 的方向圖大致相同,在考慮計算量的情況下選擇r=7 性能最佳。波束數(shù)越大,濾波性能越好,但計算量增加;波束數(shù)越小,波束范圍越小,雖然算法計算量減少,但主瓣變寬。因此,波束數(shù)的選擇非常重要。

    Fig.3 Simulation results of array element number N=12 and beam number r=7圖3 陣元數(shù)N=12,波束數(shù)r=7 仿真結(jié)果

    Fig.4 Simulation results of array element number N=12 and beam number r=5,7 and 9圖4 陣元數(shù)N=12,波束數(shù)r=5、7、9 仿真結(jié)果

    (3)仿真3:陣元數(shù)N=12,波束數(shù)r=7。輸入信噪比在-5~15dB 范圍內(nèi)變化,比較LCMV、陣元域四階累積量LCMV與基于波束空間的四階累積量LCMV 算法的輸出信噪比,具體如圖5 所示。從仿真結(jié)果可以得出,陣元域與基于波束空間的四階累積量LCMV 算法的輸出信噪比大致相等,且隨著輸入信噪比的增加,陣元域和基于波束空間的四階累積量LCMV 算法的輸出信噪比相較傳統(tǒng)LCMV 變高。仿真結(jié)果表明,基于波束空間的四階累積量LCMV 算法在保證較小性能損耗的前提下降低了計算量。

    Fig.5 Output SNR results圖5 輸出信噪比結(jié)果

    3.2 計算復(fù)雜度分析

    構(gòu)造陣元域四階累積量矩陣的計算量很大,計算復(fù)雜度為Ο(M2×M2)。將信號數(shù)據(jù)變換到波束域后(波束數(shù)為r

    基于主元交換的原位替換求逆算法更適用于硬件工程實(shí)現(xiàn),存在以下優(yōu)勢:①占用存儲空間少,同一存儲空間內(nèi)先后存放數(shù)據(jù),達(dá)到了原位替換的效果;②具有良好的可并行性,無論是分解方式還是計算公式,原位替換都具有很高的并行設(shè)計潛質(zhì);③運(yùn)算復(fù)雜度較低,整個計算過程中,除了約化系數(shù)矩陣N 和三角逆矩陣對角線元素的計算過程涉及開方、除法運(yùn)算外,其他元素的計算多為加乘運(yùn)算。與QR 分解求逆算法相比,該算法避免了計算繁瑣的求范數(shù)過程,并且減少了開方、除法等復(fù)雜運(yùn)算的操作次數(shù)。因此,本文建立的求逆算法是優(yōu)越的、可行的。

    4 結(jié)論

    本文提出基于波束空間的四階累積量LCMV 波束形成算法,使信號處理從陣元域向波束域轉(zhuǎn)變,并將基于主元交換的原位替換求逆算法運(yùn)用到波束形成信號處理中,解決了高階累積量矩陣計算量大的問題?;诓ㄊ臻g的四階累積量LCMV 算法將陣列接收信號從陣元域變換到波束域進(jìn)行處理,在保證波束主瓣寬度較小、旁瓣電平較低以及抗干擾性能較好的前提下,對算法過程中的求逆環(huán)節(jié)作出了改進(jìn)。所運(yùn)用的基于主元交換的原位替換求逆算法具有存儲空間占用少、可并行性好、運(yùn)算速度高且復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)。同時,仿真分析結(jié)果證明了整個算法的可行性和優(yōu)越性。通過對波束域處理與求逆算法的研究,對自適應(yīng)波束陣列處理技術(shù)有了更深認(rèn)識,研究結(jié)果對高階累積量在自適應(yīng)陣列處理領(lǐng)域中的應(yīng)用有很大參考意義。

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