同構(gòu)并非唯一法 問題破解有良方
——對2020年新高考山東卷第21題的另解與思考

何 燈 周 寧

(1.福建省福清第三中學(xué) 350315;2.福建師范大學(xué)附屬福清德旺中學(xué) 350319)

山東省作為新高考綜合改革的先行省份，其命制的第一份新高考數(shù)學(xué)試卷引起社會廣泛關(guān)注.其中，吸引筆者更多目光的是該卷的導(dǎo)數(shù)壓軸題.

一、試題再現(xiàn)與解析

題目已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析試題第(2)問以學(xué)生熟悉的恒成立條件下求參數(shù)范圍問題呈現(xiàn)，乍看平淡無奇，樸實無華，細(xì)細(xì)品味后卻感覺內(nèi)涵豐富，給人啟迪．

對于含參函數(shù)試題，求解的通法是參數(shù)分離法或求導(dǎo)法.但該題包含了以e為底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，因指數(shù)對數(shù)相互糾纏，運用參數(shù)分離法求解無法分離出參數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)法求解無法求出極值點，進(jìn)一步處理困難.此類問題利用同構(gòu)法往往能夠輕松破解.

所謂同構(gòu)法，就是通過對不等式恒等變形，將其轉(zhuǎn)化為形如F(g(x))≥F(h(x))(或F(g(x))>F(h(x)))的結(jié)構(gòu)，利用導(dǎo)數(shù)研究F(x)的單調(diào)性進(jìn)行求解.此法不但展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱和諧美，更是把轉(zhuǎn)化與化歸思想體現(xiàn)得淋漓盡致.

下面是文[1]中利用同構(gòu)法給出試題第(2)問的一個解答.

解析1 由題意f(x)≥1恒成立等價于elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx恒成立，等價于elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立.令F(x)=ex+x，則F′(x)=ex+1>0，F(xiàn)(x)關(guān)于x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，從而elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx恒成立等價于F(lna+x-1)≥F(lnx)恒成立，等價于lna+x-1≥lnx恒成立，即lna≥lnx-x+1恒成立.

故lna≥0，a≥1，所求a的取值范圍為[1,+∞).

思考(1)上述解法構(gòu)思巧妙，學(xué)生前期如果沒有經(jīng)過訓(xùn)練，無法完成aex-1-lnx+lna≥1到elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx的轉(zhuǎn)化，更難想到構(gòu)造函數(shù)F(x)=ex+x以簡化問題求解過程；(2)求解本題，常規(guī)的參數(shù)分離法和求導(dǎo)法均較難奏效，那么同構(gòu)法是否是求解本題的唯一方法？

針對上述思考，筆者對問題的求解展開了探究.事實上，處理含參問題還可以借助圖象的直觀特性來輔助思考，通過對aex-1-lnx+lna≥1形式的分析，筆者得到如下解法.

上述解法的巧妙之處在于充分利用了表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點和函數(shù)圖象的特征，展現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想在解題中的引領(lǐng)作用，彰顯了試題的本質(zhì).

那么，上述方法何時適用？在使用中應(yīng)注意哪些問題？

二、方法提煉

適用情況(1)參數(shù)居于兩個位置，如aex-1-lnx+lna≥1中參數(shù)a居于ex-1的系數(shù)位置及l(fā)na的真數(shù)位置；

(2)表達(dá)式中同時含有同底的指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)；

(3)將原不等式等價變形為y1(x)≥y2(x)(或y1(x)>y2(x))的形式，且y1(x),y2(x)互為反函數(shù).

使用步驟(1)將表達(dá)式等價變形為y1(x)≥y2(x)(或y1(x)>y2(x))的形式；

(2)由于y1(x),y2(x)互為反函數(shù)，二者圖象關(guān)于y=x對稱，y1(x)≥y2(x)(或y1(x)>y2(x))恒成立等價轉(zhuǎn)化為y1(x)≥x(或y1(x)>x)恒成立；

(3)針對y1(x)≥x(或y1(x)>x)恒成立，采用參數(shù)分離法或求導(dǎo)法求解，得出參數(shù)的取值范圍.

三、方法應(yīng)用

例1 (2019年武漢調(diào)研，2020年安徽六安一中?？?已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若關(guān)于x的不等式f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( ).

A.(0,e]B.(0,e2) C.[1,e2] D.(1,e2)

所以a的取值范圍為(0,e2)，選擇B.

四、解題教學(xué)感悟

知識是載體，方法是手段，思想是靈魂，它們是知識體系的三個層次.碰到難題，我們應(yīng)站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法，這樣才能從“山重水復(fù)疑無路”的窘迫中解脫，感受到“柳暗花明又一村”的欣喜.