一道高考題引發(fā)的思考與研究

趙愛華

(新疆烏魯木齊市教育研究中心 830002)

近年來(lái)，在各種重要考試中經(jīng)常出現(xiàn)以2011年全國(guó)Ⅱ卷理科第16題為母版的試題，呈現(xiàn)形式多樣，選擇題、填空題、解答題均有考查，但是歷屆學(xué)生答題準(zhǔn)確率都較低，這引起了我們的關(guān)注，并在實(shí)踐中開展了深入的探究.

一、題目呈現(xiàn)

二、總體分析

一般認(rèn)為，本題以正弦定理為入口，考查三角函數(shù)的性質(zhì).但是命題專家在“結(jié)論AB+2BC”中的“2”上做了文章，將問題變得撲朔迷離.很多學(xué)生在最后的出口上會(huì)遇到困難.因此，必須另辟蹊徑，突破難點(diǎn).既然題目在求最值的出口處設(shè)置了障礙，那么我們必須以不同的視角來(lái)研究此題，找到突破口.事實(shí)上，本題遠(yuǎn)不止一個(gè)入口.它蘊(yùn)含了豐富的教學(xué)素材，留給了教師、學(xué)生廣闊的思維空間.此模型備受專家的青睞，編制了很多翻新試題.

三、本質(zhì)探究

四、解法探究

視角1 從正弦定理入手，依托三角函數(shù)性質(zhì)作答.

評(píng)析本解法中，部分功底不扎實(shí)的學(xué)生會(huì)對(duì)(*)處有疑惑，φ究竟有多大？C+φ能取90°嗎？導(dǎo)致解題失敗.事實(shí)上，由正切函數(shù)的單調(diào)性知30°<φ<45°.從幾何角度或三角形內(nèi)角和可以發(fā)現(xiàn)0°

視角2從余弦定理入手，利用判別式作答.

即3=c2+a2-ac.

令t=c+2a.①

即c=t-2a.②

將②代入①整理，得7a2-5ta+t2-3=0.

于是Δ=(-5t)2-28(t2-3)≥0.

評(píng)析本解法用整體處理的技巧，從二次方程的角度，構(gòu)造了以目標(biāo)函數(shù)為參數(shù)，邊長(zhǎng)a為變量的二次方程，自然避開了角對(duì)問題的干擾.

視角3 從余弦定理入手，利用三角換元作答.

評(píng)析本解法恰當(dāng)利用了題設(shè)轉(zhuǎn)化而得的平方關(guān)系式，借助sin2θ+cos2θ=1消元，構(gòu)造自變量不受限的三角函數(shù)，解法干凈利落.

視角4 從余弦定理入手，利用極坐標(biāo)作答.

解法4由解法2知，3=c2+a2-ac.

令c=ρcosθ，a=ρsinθ，代入3=c2+a2-ac,得ρ2(cos2θ+sin2θ-sinθcosθ)=3.

于是c+2a=ρ(cosθ+2sinθ)

整理，得(z-4)t2-(z+4)t+z-1=0.

于是Δ=[-(z+4)]2-4(z-4)(z-1)≥0.

評(píng)析本解法恰當(dāng)應(yīng)用了極坐標(biāo)的極徑和角度互化功能，實(shí)現(xiàn)了極徑化極角，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化.多次函數(shù)轉(zhuǎn)化，將難點(diǎn)一步一步攻克，充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的重要性.

五、一點(diǎn)思考

本題無(wú)論從正弦定理入手，還是從余弦定理入手，均可以順利解答.我們可否認(rèn)為兩個(gè)定理是等價(jià)呢？答案是肯定的，下面證明之.

在ΔABC中，A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c.R為ΔABC外接圓半徑.

首先用余弦定理來(lái)推導(dǎo)正弦定理：

因?yàn)閟in2A=1-cos2A

同理可得

其次用正弦定理來(lái)推導(dǎo)余弦定理：

由正弦定理知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

=sinBsinC-cosBcosC

=-cos(B+C)

=cosA.

這就是余弦定理的一個(gè)表達(dá)式，同理可推導(dǎo)另外兩個(gè)表達(dá)式.至此，我們證明了正余弦定理的等價(jià)性.在平常解題中，我們只是為了解題方便，運(yùn)算簡(jiǎn)單，在二者之間進(jìn)行了選擇，理論上二者在功能上沒有本質(zhì)區(qū)別.

六、變式訓(xùn)練

變式1 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-xy=3，則x+y的最大值是 ____.

說明這種變式降低了難度，應(yīng)用解法1這種通解通法處理目標(biāo)函數(shù)時(shí)，能夠準(zhǔn)確找到輔助角公式的φ，因?yàn)榇藭r(shí)的輔助角φ為特殊角，學(xué)生能恰當(dāng)處理.

變式2 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=3，則x+y的最大值是 ____.

說明這種變式相當(dāng)于將原題的角B換成了120°，目標(biāo)函數(shù)沒有設(shè)置障礙，訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力.

變式3 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-xy=3，則2x+y的最大值是 ____.

說明這種變式與原題是等價(jià)命題，系數(shù)2移動(dòng)位置，不影響問題的本質(zhì)與難度，恰好能體現(xiàn)三角形的邊AB，BC的對(duì)等性.

變式4 若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-xy=3，則2x+3y的最大值是 ____.

說明這種變式與原題也是等價(jià)命題，目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)2，3增加了問題的迷惑性，但不影響問題的本質(zhì).

說明這種變式改變了目標(biāo)函數(shù)的類型，恰好能引導(dǎo)我們使用三角換元作答，當(dāng)然別的解法也可以解答，只是沒那么快捷.

變式6 若x2+2xy+2y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為____.

說明這種變式改變了非線性可行域和目標(biāo)函數(shù)的類別，但不影響問題的最值是曲線與直線相切造成的這一本質(zhì)屬性.利用判別式、三角換元均可順利作答.

從而z=x2+4y2

由-1≤sin(2θ+φ)≤1，

七、教后反思

高考題教學(xué)的第一層次是講清楚題目本身，第二層次講清楚題目后進(jìn)行變式訓(xùn)練，第三層次是上升到“揭示問題本質(zhì)”，這種“破繭化蝶”的心路蛻變歷程，過程艱難但結(jié)果美麗，對(duì)老師和學(xué)生都大有裨益.

開展深度教學(xué)勢(shì)在必行.這類問題極容易停留在解法1的認(rèn)識(shí)層次上.不思索就不會(huì)全面認(rèn)識(shí)問題的深刻內(nèi)涵，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的高階思維.我們有沒有對(duì)問題中的系數(shù)2產(chǎn)生疑問呢？是否揣摩了命題者的意圖呢？這些活動(dòng)都能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).深度教學(xué)的發(fā)生離不開教學(xué)的組織與引導(dǎo).我們必須克服教學(xué)過程中表面、表層、表演的局限，引導(dǎo)學(xué)生深層、深刻、深度學(xué)習(xí).經(jīng)歷從理論到實(shí)踐的一整套思維方式和行為模式的轉(zhuǎn)化，深度教學(xué)才能促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，才能克服同類問題反復(fù)做反復(fù)錯(cuò)的現(xiàn)象.

“授之以魚，不如授之以漁”，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們要擅于總結(jié)同類問題的共性，找到此類問題的解決策略，低起點(diǎn)，小步子，借助問題的不斷變式，逐步提升問題的難度，授予學(xué)生方法，讓學(xué)生做一道會(huì)一類，這樣我們才能做到課堂教學(xué)高效率，學(xué)生學(xué)習(xí)高成效.教學(xué)難點(diǎn)才能真正被突破.