基于學生視角的解題策略探究案例

李小蛟

(四川省成都市樹德中學 610091)

在核心素養(yǎng)視角下，不斷優(yōu)化數(shù)學教學活動，提高學生數(shù)學的解題能力，既是學生全面發(fā)展的需要,更是為學生養(yǎng)成終身學習的重要途徑.在高中數(shù)學教學中，教師以培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為出發(fā)點和落腳點，運用各種有效的教學手段，讓學生掌握解決數(shù)學問題的方法，能夠令學生從解題開始對數(shù)學知識文化體系進行學習和剖析，并且更進一步進行系統(tǒng)化與細量化的研究，激發(fā)學生的思維，實現(xiàn)動手、動腦、動口三位一體,從而靈活運用所學習的知識去解決數(shù)學學習上的問題，使得學生們能夠直接提升自己的解題能力，從而增強課堂上教學的有效性和規(guī)范性.

一、試題呈現(xiàn)

(1)試討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當a=1時，f(x)-xg(x)≥lnx恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

二、試題解析

1.第(1)問解析

題目的第(1)問中，函數(shù)f(x)以對數(shù)和分式函數(shù)為背景考查導數(shù)運算及含參數(shù)的單調(diào)性問題，涉及復合函數(shù)求導和參數(shù)分類討論.以學生的視角出發(fā)，復合函數(shù)導數(shù)運算法則是問題解決的易錯點，分類討論思想充分體現(xiàn)數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等核心素養(yǎng)，如何分類，分類的標準在哪里，需要學生非常準確地判斷并給出正確的解答.

(1)當a>0時，f(x)的定義域為(0,+∞)，由f′(x)<0，解得00，解得x>a.此時，f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,+∞)單調(diào)遞增.

(2)當a<0時，f(x)的定義域為(-∞，0)，由f′(x)<0，解得x0，解得a

2.第(2)問解析

題目中(2)問“當a=1時，f(x)-xg(x)≥lnx恒成立，求實數(shù)b的取值范圍”是給定包含參數(shù)且較復雜函數(shù)的恒成立，求參數(shù)的取值范圍，對學生的思維量，運算量要求高，難度較大，下面我們從學生的視角出發(fā)來探討這一問題的解決策略.

策略探究1 基于學生視角，求參數(shù)的恒(能)成立問題的思路是參變分離，這種思路可以避免參數(shù)的討論，將參數(shù)轉移.

故b≤h(x)min=e.

令x=1，則be-1≤1+ln1，則b≤e.

當b≤e時，bxe-x≤xe1-x(x>0)，令m(x)=xe1-x(x>0)，則m′(x)=(1-x)e1-x.所以m(x)=xe1-x在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減.于是m(x)≤m(1)=1，即bxe-x≤1.

綜上所述,實數(shù)b的取值范圍為(-∞,e].

策略探究3 在求解函數(shù)與導數(shù)的恒成立問題時，優(yōu)先考慮的還是直接求導對參數(shù)討論，直接求導后討論難點在于如何對參數(shù)進行分類.

說明構造函數(shù)n(x)，求導之后的處理還應該前后對照統(tǒng)一解決(否則當b≤0時的處理就比較困難).

策略探究4 在處理函數(shù)問題時，可將整體函數(shù)分割成一些常見的函數(shù)，先進行局部處理，再統(tǒng)一整合.

小結面對著一個比較綜合、有一定難度的數(shù)學問題，怎樣才能引導學生迅速地找到其突破口，打開學生的解題思路，是一線教師在教學中的重難點.妙計可以打勝仗，良策則有利于解題，當學生對數(shù)學知識，數(shù)學思想方法的學習和運用達到一定水平時，應該把一般的思維升華到計策謀略的境界.只有掌握了一定的解題策略，才會在遇到問題時，找到問題的思考點和突破口，迅速、正確地解題，因此在教學中我們要基于學生的視角加強數(shù)學解題策略的指導，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，提高解題能力.