例析解三角形的幾種常見策略

廖達(dá)凡 廖震華

(1.江西省大余中學(xué) 341500；2.江西省贛州市南康區(qū)教學(xué)研究室 341400)

解三角形是近年來高考試題中的一個重要知識點(diǎn)，其載體是平面基本圖形“三角形”，涉及角度、邊長以及周長、面積和三角形所延申的高線、中線、角平分線及外接圓、內(nèi)切圓等幾何量的計算， 筆者借助正、余弦定理靈活運(yùn)用解三角形的策略，供高三教學(xué)參考，以饗讀者.

一、邊角互換策略

點(diǎn)評本題合理運(yùn)用正、余弦定理，將已知條件中的邊轉(zhuǎn)化為角，實現(xiàn)邊角互換，最終將所求問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題，使問題迎刃而解.

二、 向量法

點(diǎn)評本題充分利用“中線”這個已知條件，合理運(yùn)用三角形中線的向量表示，結(jié)合平面向量積運(yùn)算巧妙避開了繁瑣的運(yùn)算量，借助正、余弦定理達(dá)到了解題目的.

三、構(gòu)造輔助圓

點(diǎn)評本題巧妙構(gòu)造三角形的外接圓，借助正弦定理和圓的基本性質(zhì)及垂徑定理，輕松避開由余弦定理造成的繁瑣運(yùn)算量，水到渠成，形象直觀，使問題得到解決.

四、坐標(biāo)法

例4 在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若△ABC的面積為2，則a2+2b2+3c2的最小值為____.

點(diǎn)評本題通過建立平面直角坐標(biāo)系，自然地將三角形中的問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題來求解，出其不意使問題得到順利解答.

五、構(gòu)建直角三角形

點(diǎn)評本題是通過作高構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和直角三角形中的正切函數(shù)定義，巧妙地將條件和結(jié)論聯(lián)系起來，把三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題.