立體幾何求直線距離的三種解析方法

曹 靜

(江蘇省南通市第二中學高中校區(qū) 226000)

一、法向量在立體幾何求直線距離中的使用

在求解立體幾何題目時常構(gòu)造法向量，可以將虛擬的空間距離通過坐標系進行具體化處理，實現(xiàn)解題過程由抽象向具體轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)解題過程的簡單化，從而提升學生解立體幾何題目的效率，保證解題結(jié)果的準確性.

例1如圖1所示，a,b為異面曲線，E，F(xiàn)為異面曲線上的任意兩點，n為a,b公垂線的方向向量，已知四邊形ABCD是正方形，PD與面ABCD垂直，PD=AB=1，E，F(xiàn)分別是PB，PD中點，求直線AE與CF之間的距離.

可見利用法向量求解距離問題時，可以簡化解題過程，從而使得距離求解的結(jié)果更加準確，因此，教師們需要落實法向量在立體幾何方面的教學.

二、等體積法在立體幾何的運用

在求解某些異面直線的距離問題時，我們可以利用體積的不變性，從不同角度先將體積用不同的方式進行表達，從而建立方程進行求解.建立VA-A′C′D和VC-AA′D的體積的等量關(guān)系，再對等式進行化簡，解出對應的異面直線的距離.

例2 如圖3所示，若正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，求直線DA′與AC的距離.

解析因為直線AC∥平面A′C′D,且DA′?平面A′CD，所以直線AC與平面A′C′D之間的距離即為DA′與AC的距離.

設(shè)點A′到平面A′C′D的距離為d，連接A′C,DC,

由VA-A′C′D=VC-AA′D，

三、函數(shù)思想在立體幾何中的應用

函數(shù)思想在立體幾何中的應用即利用函數(shù)構(gòu)建模式可以將立體幾何問題進行簡化處理.通過對題目的簡化，能夠使得同學們更容易且更好地理解題目的意思，從而幫助同學們更好地解題，把握題目考查的真實意思，從而節(jié)省思考的時間，提升同學們在該方面的解題質(zhì)量.

例3如圖4所示，AB為圓O直徑，PA垂直于圓所在的平面，C為圓周上任意一點，設(shè)∠BAC=θ，PA=AB=2r，求PB與AC之間的距離.

分析通過讀題可知，例3是求空間中的異面距離，也就是空間立體幾何的問題，無法通過構(gòu)建空間直角坐標系的方式進行解題，從而沒有辦法采用法向量進行求解.因此，與例3相似的這一類題型就需要通過函數(shù)思想的應用進行有效解題.由圖可以發(fā)現(xiàn)PB與AC之間的距離可以看作是直線PB上的點與直線AC之間的距離，因此可以通過構(gòu)建函數(shù)的形式進行求解.

解析在PB上任取一點M，使得MD⊥AC，并相交于點D，得出MH⊥AB于點H，進而垂直于面ABC.

因此，可以得出函數(shù)關(guān)系式：

MD2=x2+[(2r-x)sinθ]2.

對函數(shù)進行化簡，可得出最終結(jié)果.

通過例3的求解，可見異面求距離的問題可以看作是函數(shù)中求最大值和最小值的問題，所以，對于這一類題目可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)進行解答，從而幫助同學們在解題的過程中簡化整體的解題步驟.

綜上所述，在高中數(shù)學有關(guān)立體幾何問題的解答中，往往有兩種較為常見的解析方式，即利用法向量與構(gòu)建函數(shù).一般來說，法向量較為常見，但是在一些題目中，法向量的應用會使得解題過程變得更為復雜，所以，函數(shù)的應用就能夠解決法向量的問題.所以，教師在教學時應向同學們落實兩種解題方法的應用，促使同學們能夠在考試時選擇最為合適的解題方法.