“大道至簡”：一道高考試題的解法思維層次分析

周如俊

(江蘇省灌南中等專業(yè)學(xué)校 222500)

圓錐曲線上直線過定點(diǎn)問題是近幾年高考命題的熱點(diǎn)問題.此類試題常涉及對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的考查.

(1)求E的方程；(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

一、“普法”思維——“華山不止一條道”

1.“直求法”——“精心運(yùn)算”

點(diǎn)評(píng)這種解題思維指向是設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，通過直線PA，PD與橢圓分別有兩個(gè)交點(diǎn)特征，由韋達(dá)定理分別求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線方程，完成定點(diǎn)證明.

2.“特值法”——“猜想論證”

由對(duì)稱性知，直線CD所過定點(diǎn)必在x軸上，設(shè)定點(diǎn)為T(xT,0).

點(diǎn)評(píng)這種解題思維指向是從特殊情況猜想定點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)論，再證明猜想，體現(xiàn)解題思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3.“代換法”——“設(shè)而不求”

(m2+3)yCyD+m(t-3)(yC+yD)+(t-3)2=0.

點(diǎn)評(píng)這種解題思維指向是通過設(shè)而不求的策略，直接設(shè)直線CD方程x=my+t及C,D兩點(diǎn)坐標(biāo)，借助yC+yD,yC·yD整體代換，找到m，t滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).

4.“斜率法”——“對(duì)稱轉(zhuǎn)化”

以下解法同“代換法”.

點(diǎn)評(píng)這種解題思維指向是利用橢圓上點(diǎn)與任意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩條連線的斜率乘積為定值的常用結(jié)論，避免了非對(duì)稱式中因無法使用韋達(dá)定理解題被“卡住”的尷尬局面，體現(xiàn)了“對(duì)稱轉(zhuǎn)化”的簡化策略.

5.“三角法”——“恒等變換”

由對(duì)稱性知，直線CD所過定點(diǎn)必在x軸上.

點(diǎn)評(píng)這種解題思維指向是利用橢圓的參數(shù)方程，引參設(shè)點(diǎn)求直線CD方程，借助三角恒等變換證得定點(diǎn)，體現(xiàn)了“多想少算”的優(yōu)化策略.

6.“齊次法”——“平移轉(zhuǎn)化”

點(diǎn)評(píng)此解法利用過原點(diǎn)兩條直線斜率之積為定值的簡潔特性，快速求出直線mx′+ny′=1 中m，n之間關(guān)系，從而鎖定定點(diǎn)坐標(biāo)，有效降低運(yùn)算的難度.

二、“通法”思維——“似曾相識(shí)燕歸來”

1.“通法”化歸

借鑒前述“齊次法”的研究，可將試題引申為“常態(tài)二次圓錐曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠0)上給定的點(diǎn)P與異于點(diǎn)P的動(dòng)弦MN兩端點(diǎn)之間斜率之和(之積)為定值時(shí)，求解(證)動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題”.

定理常態(tài)二次圓錐曲線F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠0)上有一定點(diǎn)P(x0,y0)與異于點(diǎn)P的動(dòng)弦MN兩端點(diǎn).已知直線PM，PN的斜率存在，分別記為kPM，kPN.并記F1=2Ax0+C,F2=2By0+D.

若kPM+kPN=λ，則有：

若kPMkPN=λ，則有：

2.“通法”應(yīng)用

上述定理是常態(tài)二次圓錐曲線動(dòng)弦過定點(diǎn)(定向)問題的一類簡捷、易記、便用的“通法”.

依托高考試題數(shù)據(jù)分析，是探索數(shù)學(xué)本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的重要研究手段，有利于增強(qiáng)學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí).文獻(xiàn)大數(shù)據(jù)分析表明，2013年江西卷(理)第20題、2011年全國高中聯(lián)賽第11題、2004年北京卷(理)第17題、2005年江西卷(理)第20題、2009年遼寧卷(理)第22題等高考(競賽)試題都屬于圓錐曲線上動(dòng)弦過定點(diǎn)類問題.