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    探尋本質(zhì) 靜觀其變

    2021-09-27 05:59:08文/許
    初中生世界 2021年35期
    關(guān)鍵詞:解方程判別式等腰三角

    文/許 燕

    同學(xué)們在學(xué)習(xí)“一元二次方程”這一章時,還記得一元二次方程的求根公式是怎樣得到的嗎?在得到求根公式的過程中有沒有發(fā)現(xiàn)哪些問題是值得我們思考的呢?為什么一元二次方程根的情況取決于式子b2-4ac的符號呢?讓我們帶著這些問題,先來探尋本質(zhì),再來靜觀其變。

    一、探尋本質(zhì)

    用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)。

    對于上述方程,同學(xué)們覺得能直接開方嗎?通過觀察,我們不難發(fā)現(xiàn),等式的左邊是一個關(guān)于x的完全平方式,只有當(dāng)?shù)仁降挠疫吺且粋€非負(fù)常數(shù)時才可以運用直接開平方法來解這個方程;反之,當(dāng)?shù)仁降挠疫吺且粋€負(fù)常數(shù)時,該方程在實數(shù)范圍內(nèi)將無實數(shù)根。因此,解此方程就需要對等式右邊的式子的符號進行討論。由于a≠0,所以分母4a2恒為正,所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況與分子b2-4ac的符號有關(guān),稱之為“根的判別式”,具體有以下幾種可能的情形:(1)當(dāng)b2-4ac>0 時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)當(dāng)b2-4ac=0 時,方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)當(dāng)b2-4ac<0時,方程沒有實數(shù)根。

    通過上述回顧,相信同學(xué)們不僅知道什么是“根的判別式”,更明白一元二次方程根的情況為何由式子b2-4ac的符號來確定。根的判別式作為初中階段的一個重要的知識點,在各地的考查中常有出現(xiàn)。下面圍繞這個知識點介紹幾組典型問題,同學(xué)們不妨自己感受一下。

    二、靜觀其變

    例1若關(guān)于x的一元二次方程(a-1)·x2-2x+2=0 有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是________。

    【分析】一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,結(jié)合題目條件可知,從而列出關(guān)于a的不等式組加以求解即可。

    解:∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴,解得a且a≠1。故答案為且a≠1。

    變式1若關(guān)于x的方程(a-1)x2-2x+2=0有兩個實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是________。

    【分析】題目雖然沒說方程為一元二次方程,但因為方程有兩個實數(shù)根,所以方程必為一元二次方程。由于兩實數(shù)根可能相等或不等,因此根的判別式大于或等于0。結(jié)合題目條件可知求解關(guān)于a的不等式組即可。

    解:∵方程有兩個實數(shù)根,

    變式2若關(guān)于x的方程(a-1)x2-2x+2=0 有實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是________。

    【分析】由于題目既沒說方程為一元二次方程,也沒說方程有幾個實數(shù)根,所以需分兩種情況討論:(1)方程為一元一次方程且有實數(shù)根;(2)方程為一元二次方程且有實數(shù)根。

    解:(1)當(dāng)方程為一元一次方程時,則a-1=0,a=1,此時方程變形為-2x+2=0,x=1,即當(dāng)a=1時,方程有一個實數(shù)根為x=1;

    (2)當(dāng)方程為一元二次方程時,∵方程有實數(shù)根,

    綜上所述:當(dāng)a≤時,方程有實數(shù)根。

    【歸納總結(jié)】以上一組問題考查的是根據(jù)已知方程根的情況,去確定字母系數(shù)的值或范圍,解題時同學(xué)們要抓住以下兩個要點:1.使用根的判別式之前一定要先把方程化為一般形式,正確找出a、b、c的值;2.注意題目中的關(guān)鍵詞“有兩個不相等的實數(shù)根”“有兩個實數(shù)根”以及“有實數(shù)根”的區(qū)別,并注意“一元二次方程”這個隱含條件。

    例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(k-1)x+k-3=0,不解方程,請判別當(dāng)k分別取-1、0、1時一元二次方程根的情況。

    【分析】題目要求不解方程判別根的情況,根據(jù)本文前面的講解可知,將k的值分別代入,依次求出對應(yīng)的b2-4ac的值,再結(jié)合它的符號便可確定。

    解:(1)當(dāng)k=-1 時,方程變形為x2+2x-4=0。

    ∵a=1,b=2,c=-4,∴b2-4ac=20>0,

    ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

    (2)當(dāng)k=0時,方程變形為x2+x-3=0。

    ∵a=1,b=1,c=-3,∴b2-4ac=13>0,

    ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

    (3)當(dāng)k=1時,方程變形為x2-2=0。

    ∵a=1,b=0,c=-2,∴b2-4ac=8>0,

    ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。

    變式對于任意實數(shù)k,試證明關(guān)于x的一元二次方程x2-(k-1)x+k-3=0 恒有兩個不相等的實數(shù)根。

    【分析】此變式是例2 的延伸,體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。對于任意的實數(shù)k,要證明該方程恒有兩個不相等的實數(shù)根,只要證明根的判別式的值恒大于0 即可。此時可以通過配方法,利用完全平方式的非負(fù)性加以證明。

    證明:∵a=1,b=-(k-1)=1-k,c=k-3,

    ∴b2-4ac=(1-k)2-4×1×(k-3)=k2-6k+13=(k-3)2+4。

    ∵(k-3)2≥0,

    ∴(k-3)2+4>0,即b2-4ac>0,

    ∴對于任意實數(shù)k,方程恒有兩個不相等的實數(shù)根。

    【歸納總結(jié)】以上一組問題反映的是“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法,考查了在不解方程的基礎(chǔ)上,如何利用根的判別式去判別一元二次方程根的情況。解題時需先正確找出a、b、c的值,再求出b2-4ac的具體值或利用配方法得出b2-4ac的符號,最后對根的情況進行判別。

    例3已知等腰三角形的一條邊長為7,它的另外兩條邊的邊長是關(guān)于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0 的兩個實數(shù)根,求這個三角形的周長。

    【分析】當(dāng)讀到“等腰三角形的一邊長為7”,我們就要進行分類討論,即長為7 的邊可能為等腰三角形的底,也可能為它的腰。當(dāng)長為7 的邊為底時,則另外兩邊為腰,而另外兩邊恰好是方程的根,則意味著方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)長為7 的邊為腰時,則另一腰的長度也為7,即方程必有一根為7,利用方程根的概念求出字母系數(shù)的值。

    解:(1)當(dāng)7 為底邊長時,此時方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有兩個相等的實數(shù)根,

    ∴b2-4ac=8m-16=0,解得m=2,

    ∴方程為x2-6x+9=0,

    解得x1=x2=3。

    ∵3+3<7,

    ∴不能構(gòu)成三角形。

    (2)當(dāng)7 為腰長時,不妨設(shè)另一腰為x1,則x1=7,代入方程得49-14(m+1)+m2+5=0,解得m1=10,m2=4。

    當(dāng)m=10時,方程為x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15,

    ∵7+7<15,

    ∴不能構(gòu)成三角形,應(yīng)舍去;

    當(dāng)m=4 時,方程為x2-10x+21=0,解得x1=7,x2=3,此時三角形的周長為7+7+3=17。

    綜上所述,這個等腰三角形的周長為17。

    【歸納總結(jié)】這道題考查的是根的判別式與其他知識的綜合應(yīng)用,解答時注意挖掘隱含條件,體會轉(zhuǎn)化思想以及分類討論的數(shù)學(xué)思想,同時要注意“三角形三邊關(guān)系”這一隱含條件,養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

    我們通過以上幾組典型問題的解析不難明白,在平時的學(xué)習(xí)和運用知識的過程中,不能把知識降低為機械性的記憶,更應(yīng)該重視知識的形成過程,要有自己獨立的思考,要學(xué)會全面的分析和判斷。盡管問題的外在形式豐富多樣,但內(nèi)在本質(zhì)是統(tǒng)一的。希望同學(xué)們能通過自己的理解和思考,抓住問題的本質(zhì)進而有效地解決相關(guān)問題。

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