基于原始對偶方法的圖像去色算法

張俊康，金正猛，馮 燦

(1.南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇南京 210023 2.北方信息控制研究院集團(tuán)有限公司，江蘇南京 211153)

圖像去色又稱彩色圖像灰度化?；叶葓D像由于能用較少的信息量刻畫彩色圖像的特征、系統(tǒng)處理效率高，在人臉識別、目標(biāo)跟蹤、醫(yī)學(xué)診斷和藝術(shù)美學(xué)等圖像處理領(lǐng)域廣泛應(yīng)用［1］。從數(shù)學(xué)角度講，彩色圖像灰度化是將三通道彩色圖像轉(zhuǎn)換為單通道黑白圖像的降維過程，在轉(zhuǎn)換過程中不可避免地會丟失信息。因此如何在灰度化過程中保持原彩色圖像中的邊緣、紋理、對比度等特征信息，使去色后的黑白圖像盡可能清晰、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)原彩色圖像中的各種特征信息一直是圖像去色研究中有挑戰(zhàn)性的問題之一。

最簡單的彩色圖像灰度化方法是對RGB彩色空間各通道采用固定權(quán)重的加權(quán)平均，如MATLAB軟件中自帶的rgb2gray函數(shù)。該方法雖然運算簡單且容易實現(xiàn)，但也極易丟失原彩色圖像的細(xì)節(jié)信息。

目前，灰度化算法可分為全局映射法［2－7］和局部映射法［8－11］。全局方法著眼于整體顏色分布差異，采用同一映射函數(shù)求解，因此具有全局一致性。例如，Gooch 等［2］提出了“color2gray”的彩色圖像灰度化算法，它首先將原圖像從RGB彩色空間轉(zhuǎn)換為CIELab彩色空間［12］，然后結(jié)合原彩色圖像的亮度差和色度差的最小二乘構(gòu)造模型。該方法能較好地保持原圖像的彩色對比度信息，但是對于色彩豐富的圖像，該方法并不能同時保留亮度和色度信息。之后，Lu等［4］設(shè)計了一種線性組合方法，旨在通過使用嚴(yán)格的弱色序約束最大程度地保留原始顏色對比度。基于全局映射的去色方法在所有的像素位置處，采用相同的映射函數(shù)，使得灰度化結(jié)果難以保留原彩色圖像不同區(qū)域的局部特征。基于局部映射的去色方法注重顏色在局部空間位置的分布差異，并根據(jù)局部分布差異調(diào)整局部位置的像素強(qiáng)度，能較好地地保留原彩色圖像的局部顏色特征。例如，Smith等［8］提出了一種分兩步去色方法，即首先通過考慮Helmholtz-Kohlrausch顏色效應(yīng)和全局映射進(jìn)行顏色排序，然后使用拉普拉斯金字塔提取邊緣信息以實現(xiàn)局部對比度的增強(qiáng)。盧紅陽等［13］提出一種最大加權(quán)投影算法，該算法通過將原圖像梯度的權(quán)重引入到最大化模型中，并用高斯加權(quán)系數(shù)表示輸入彩色圖像的每個彩色通道梯度來保持原彩色圖像的對比度和顏色順序。盡管局部映射法能夠找出彩色圖像各通道的局部顏色差異，使得去色后的圖像能較好地保留原彩色圖像中的局部細(xì)節(jié)特征。但大部分局部映射算法無法保證顏色的整體一致性，即：彩色圖像灰度化過程中，相同的顏色映射為相同的灰度值。而且，利用局部映射算法去色后的圖像中會出現(xiàn)偽影［14］等現(xiàn)象。

近年來，基于方差最大化的圖像去色方法［5，10－11］被人們廣泛研究。 2008 年，Qiu 等［5］認(rèn)為去色的圖像可通過彩色圖像各通道的某種最優(yōu)加權(quán)平均得到，然后提出了基于整體方差最大化和亮度保持的優(yōu)化模型來得到最優(yōu)的權(quán)重系數(shù)，從而得到灰度化結(jié)果。由于Qiu等［5］所提的優(yōu)化模型非凸，導(dǎo)致該模型的結(jié)果對參數(shù)的選取較為敏感。另外，該模型得到的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)是空間全局不變的，使得該模型的去色結(jié)果不能很好地保護(hù)原彩色圖像中的一些重要細(xì)節(jié)。最近，Jin等［10］提出基于局部方差最大化和亮度保持的變分模型來得到最優(yōu)的局部權(quán)重系數(shù)，使得去色后的結(jié)果能較好地保持原圖像的對比度和亮度等細(xì)節(jié)信息。

注意到Jin模型［10］在數(shù)值求解過程中，僅部分利用了圖像的局部方差和亮度信息，導(dǎo)致該算法去色結(jié)果丟失了原彩色圖像中的部分細(xì)節(jié)信息。本文結(jié)合原始對偶（Primal-Dual）方法，給出求解Jin模型的新算法，該算法能完整利用彩色圖像各通道間的局部協(xié)方差和局部亮度信息。另外，分析本文算法的收斂性。數(shù)值實驗表明：本文所提算法能較好地保持原彩色的紋理、對比度和亮度等細(xì)節(jié)特征。

1 模型介紹

本文假設(shè) I（x） ＝ ｛R（x），G（x），B（x）｝ 為定義在有界開集Ω∈R2的彩色圖像，灰度圖像L（x）可通過加權(quán)平均得到

其中，α，β和γ分別是彩色圖像中紅色、綠色和藍(lán)色通道的權(quán)重系數(shù)。在下面的討論中，記u＝（α，β，γ），定義

分別為輸入的彩色圖像中紅色、綠色和藍(lán)色3個通道的協(xié)方差矩陣和平均值向量。其中，ki，j為第i和第 j通道之間的協(xié)方差 （i，j∈ ｛r，g，b｝）。

在文獻(xiàn)［5］中，通過對式（1）兩邊求方差可得灰度化后的黑白圖像的方差

一般認(rèn)為，圖像的方差越大，表示圖像的對比度越明顯。因此，Qiu等［5］針對權(quán)重向量u提出了方差最大化模型

其中，參數(shù)λ為一個正數(shù)。目標(biāo)函數(shù)（2）的第一項是為了保證輸出的灰度圖像L（x）的方差最大，即uKuT最大；第二項是為了保留輸入的彩色圖像的平均亮度信息。約束式（3）保證灰度化過程能量守恒且去色后的灰度圖像非負(fù)。

為了保持原彩色圖像中更多的細(xì)節(jié)特征信息，Jin 等［10］引入局部變換

Jin等［10］提出基于交替方向乘子法（ADMM）數(shù)值求解Jin模型，后面簡稱為Jin算法。注意到在該算法的子問題求解過程中，為了利用傅里葉變換實現(xiàn)快速求解，Jin算法將協(xié)方差矩陣 K（x）中的ci，i（x） 和均值向量 m（x） 中的 mi（x）（i＝ 1，2，3） 固定為全局方差和全局均值，即 ci，i（x） 和 mi（x）（i ＝1，2，3）在每一個像素點x處為同一常數(shù)，使得該算法在處理結(jié)構(gòu)紋理豐富的彩色圖像時，不可避免地丟失一些局部細(xì)節(jié)信息。以圖1為例，圖1（a）為輸入的彩色圖像，圖 1（b）為 Jin算法的去色結(jié)果，圖1（c）為本文算法的去色結(jié)果。觀察圖1（b）結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)：Jin算法得到的灰度圖像，丟失了原彩色圖像中的部分紋理細(xì)節(jié)信息，圖像中“葉子”和“花瓣”等區(qū)域尤為明顯。

為了能更充分地利用輸入的彩色圖像I（x）中各通道的局部特征信息以及局部亮度信息，本文結(jié)合原始對偶方法設(shè)計了一個用于求解Jin模型的快速算法。與Jin算法不同的是，本文算法在求解過程中完整地使用了局部協(xié)方差矩陣K（x）和局部均值向量m（x）的信息。從圖1（c）可以看出，采用本文算法所得到的灰度圖像，較好地保留了原彩色圖片的局部對比度和紋理特征，更好地呈現(xiàn)了原彩色圖像。

圖1 不同算法的結(jié)果比較

2 本文算法與收斂性分析

本節(jié)結(jié)合原始對偶（Primal-dual）［15］算法，給出Jin模型（5）的快速求解算法與收斂性分析。經(jīng)過Legendre-Fenchel變換，式（5）可以等價為如下鞍點問題

由于算法1的收斂性證明與經(jīng)典Primal-dual［15］算法的收斂性證明過程相同，故這里不再贅述。

下面給出算法1的收斂性結(jié)果。

定理1 對于任意給定的σ，ξ＞0以及任意的初始值 u0，z0，l2＝ ‖ ?‖2＝ ‖div‖2≤ 8／h2， 當(dāng)σξ＜1／l2時，由Primal-dual算法產(chǎn)生的迭代序列（uk，zk） 收斂到鞍點問題（6）的解 （u*，z*）。

2.1 u 子問題的解

本節(jié)給出u子問題（10）的一個基于投影梯度法的求解算法。為簡單起見，定義

不難驗證，算法2滿足向前向后分裂算法［16］的收斂性條件，因此本文僅給出算法2的收斂性結(jié)果。

3 實驗結(jié)果與分析

本節(jié)將對多幅彩色圖像進(jìn)行灰度化處理，驗證本文算法的有效性，并同現(xiàn)有算法進(jìn)行比較。在每一個像素點x，本文基于11×11的局部窗口來計算局部協(xié)方差陣K（x）和局部均值向量m（x）。 在模型式（5）中，固定τ＝30，μ為自適應(yīng)的選取以保證模型的凸性， λ 取值為｛1，5，10，15，20｝。 在算法 1中，令；在算法2中，迭代步長t＝1／L，其中L為?G的利普希茨常數(shù)。本文實驗的停止準(zhǔn)則 ε ＝1 × 10－3。

本文采用平均顏色對比度保持度（Average Color Contrast-Preserving Ratio，ACCPR）［18］來定量評估模型的實驗結(jié)果，定義為

相應(yīng)地，‖?！羌夕?nèi)元素的個數(shù)。顯然，若L的ACCPR值越大則表示灰度圖像與輸入顏色的相似程度越高。

為了驗證本文去色算法的有效性，從Cadik數(shù)據(jù)集［19］中選取10幅具有代表性的圖片，這些圖片包含了豐富的結(jié)構(gòu)紋理細(xì)節(jié)和顏色信息。這里，將本文算法與 Smith 算法［8］、Lu 算法［4］以及 Jin 算法［10］的實去色結(jié)果進(jìn)行比較，來驗證本文算法的優(yōu)越性。實驗結(jié)果如圖2所示，其中圖2（a）是輸入的原彩色圖像，圖 2（b）是 Smith算法［8］的灰度化效果，圖 2（c）是 Lu 算法［4］的實驗結(jié)果，圖 2（d）是 Jin算法［10］的實驗結(jié)果，圖2（e）是本文所提算法的去色效果。表1是圖2中彩色圖像灰度化后的ACCPR值，其中加粗的ACCPR值代表同一彩色圖片在不同灰度化算法中取得的最大值。

從表1可以看出，Smith算法僅有一幅圖片具有最高的 ACCPR值，也有 3幅圖片具有最低的ACCPR值；Lu算法雖然有3幅圖片具有最高的ACCPR值，但仍有6幅圖片具有最低的ACCPR值；Jin算法的局部映射的方法雖無最高的ACCPR值，但平均ACCPR值優(yōu)于Smith算法和Lu算法；本文算法的實驗結(jié)果中有7幅圖像具有最高的ACCPR值，同時沒有最低的ACCPR值，這表明本文算法不但能夠有效地對彩色圖像灰度化處理，同時還能更好地保持原彩色圖像的局部對比度和紋理特征。本文算法的平均ACCPR值為0.708 3，優(yōu)于Smith算法、Lu算法與Jin算法，這亦能說明本文算法的實驗結(jié)果在保持對比度和紋理特征等方面效果更佳。

表1 圖2彩色圖像灰度化后的ACCPR值的比較

從圖2中可以看出，Smith算法基于全局映射的方法，去色效果不同程度地丟失了原彩色圖像的對比度信息，導(dǎo)致色差不夠明顯，例如圖片IV，V，VI，X；Lu算法雖然能對彩色圖像去色處理，但其結(jié)果往往色差不夠明顯，紋理特征不能很好地體現(xiàn)，導(dǎo)致視覺效果欠佳，例如圖片 I，III，IV，V，VIII。 Jin 算法基于局部映射的方法能較好地保持原彩色圖像的對比度信息，具有良好的去色結(jié)果，然而由于部分利用了局部協(xié)方差矩陣K（x）的信息和局部亮度信息，實驗結(jié)果不同程度地丟失了局部紋理特征信息，如圖片 II，IV，VIII和 IX；與之相反，利用本文算法，在充分利用原彩色圖像的協(xié)方差信息和局部亮度信息后，所得到的去色結(jié)果既保持了對比度信息和亮度信息，同時也保留了原彩色圖像的局部特征信息，具有更優(yōu)的視覺效果。

圖2 不同灰度化算法的結(jié)果

盡管局部映射的方法能夠有效地保留原彩色圖像的局部特征信息和亮度信息，但無法保證全局顏色一致性，例如原彩色圖像中具有相同顏色的兩個像素位置灰度化后可能映射為兩個不同的灰度值。因此本文采用一致性誤差（CSErr）指標(biāo)［10］來定量評估不同算法在顏色一致性方面的保持程度。首先假設(shè)一幅原彩色圖像有n種不同的顏色，記種顏色在原彩色圖像中的所有位置坐標(biāo)，同時記Numk為灰度化后的圖像中不同灰度值的個數(shù)。具體地，一致性誤差（CSErr）定義為

對于該評價指標(biāo)，值越小，意味著連續(xù)性越高。如表2所示，列出了Smith算法，Jin算法和本文算法實驗結(jié)果的CSErr值，以及本文算法中針對不同圖像的參數(shù)λ的選取。不難發(fā)現(xiàn)，本文算法的CSErr值在整體上低于Smith的方法，高于Jin算法。這是因為Jin算法雖采用局部映射的方法，但在求解時模型中的局部協(xié)方差陣K（x）的主對角線元素和局部均值向量m（x）均為全局信息，使得去色后黑白圖片的全局顏色一致性更強(qiáng)，因此具有最低的CSErr值。本文算法的平均CSErr值0.180 9，低于Smith算法的平均CSErr值0.213 5。盡管本文所研究的局部映射方法不具有全局一致性，但其誤差仍是可以接受的。

表2 圖2灰度化結(jié)果的CSErr值的比較以及本文參數(shù)的選取

4 結(jié)束語

本文結(jié)合原始對偶算法，設(shè)計了一個新的算法求解Jin模型［10］，同時給出了算法的收斂性條件。通過與 Smith 算法［8］、Lu 算法［4］以及 Jin 算法［10］的灰度化結(jié)果的比較，可以看出：本文算法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對彩色圖像灰度化處理，而且能夠有效解決Jin算法［10］在處理紋理結(jié)構(gòu)豐富的彩色圖片時易丟失局部結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)的問題。