固定單站無源定位可觀測(cè)性及仿真分析

相飛華，王杰貴

(國(guó)防科技大學(xué) 電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230031)

0 引言

無源定位系統(tǒng)因具有隱蔽性強(qiáng)、探測(cè)距離遠(yuǎn)、適用范圍廣等特點(diǎn)在電子對(duì)抗領(lǐng)域備受關(guān)注，其中單站無源定位更是以其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)引人注目[1-2]。對(duì)于單站無源定位的可觀測(cè)性，即考察確定性系統(tǒng)有無唯一解，是定位跟蹤的關(guān)鍵前置問題之一[3]。從跟蹤算法角度看，是濾波能否收斂于真值；從工程角度看，是能否利用測(cè)量到的參數(shù)信息解算出目標(biāo)輻射源的真實(shí)位置[4]。

無源被動(dòng)定位技術(shù)需要盡可能地減少定位的約束條件,提高定位方法的可操作性。由文獻(xiàn)[1,5]知，通過增加新的觀測(cè)量，如角度變化率、頻率、脈沖到達(dá)時(shí)間等，能夠?qū)崿F(xiàn)單觀測(cè)站對(duì)輻射源快速定位，同時(shí)提高定位的精度和收斂速度。文獻(xiàn)[6]利用空域信息和頻域信息的定位方法，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的輻射源的瞬時(shí)定位，定位速度快且定位精度高，其應(yīng)用前景廣泛。文獻(xiàn)[7]給出了目標(biāo)有限階運(yùn)動(dòng)條件下利用角度和多普勒頻率變化率測(cè)量信息的可觀測(cè)條件。文獻(xiàn)[8]給出了利用方位角及其變化率為觀測(cè)量，目標(biāo)與觀測(cè)器不同相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的可觀測(cè)條件。文獻(xiàn)[9]對(duì)N階多項(xiàng)式機(jī)動(dòng)的可觀測(cè)性進(jìn)行了分析,得到了只測(cè)向時(shí)可觀測(cè)性的充要條件。文獻(xiàn)[10]指出方位角與角速度，多普勒頻率與多普勒頻率變化率所提供的可觀測(cè)性信息一致。文獻(xiàn)[11-13]給出了不同方法下利用TOA(time of arrival)和DOA(direction of arrival)觀測(cè)量對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的可觀測(cè)性條件。文獻(xiàn)[14-15]以目標(biāo)方位角和多普勒頻率為觀測(cè)量，對(duì)勻加速和勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了可觀測(cè)性分析。

以往的研究多關(guān)注于運(yùn)動(dòng)單站對(duì)固定目標(biāo)或運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，而對(duì)于可觀測(cè)性弱、非線性強(qiáng)的固定單站對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)研究較少。本文在固定單站二維平面條件下，為實(shí)現(xiàn)快速定位，增加角速度觀測(cè)量，以目標(biāo)輻射源的方位角、角速度和多普勒頻率變化率為觀測(cè)量。在可觀測(cè)性分析過程中，先對(duì)比角度與角速度變化率，多普勒頻率與多普勒頻率變化率所提供的可觀測(cè)性信息；再對(duì)觀測(cè)方程偽線性化處理，應(yīng)用線性系統(tǒng)理論，簡(jiǎn)化分析過程，避免求解復(fù)雜的雅可比矩陣；最后對(duì)目標(biāo)進(jìn)行勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻加速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo)和勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)3種不同狀態(tài)下的可觀測(cè)性進(jìn)行了理論推導(dǎo)，給出可觀測(cè)性條件，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 固定單站無源定位模型

圖1 固定單站無源定位二維平面圖Fig.1 Two-dimensional plan of fixed single station passive location

Z(t)=h(X(t))+V(t),

(1)

式中：V(t)表示量測(cè)噪聲，是均值為0的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為R(t)。從固定單站的定位模型，可獲得空域和頻域信息。

1.1 空域信息

考慮圖1所示的線性離散系統(tǒng)，在t時(shí)刻，目標(biāo)輻射源相對(duì)于觀測(cè)站O的徑向距離為r(t)，相對(duì)x軸正方向的夾角方位角為β(t)。由幾何知識(shí)可知：

(2)

(3)

1.2 頻域信息

當(dāng)目標(biāo)輻射源相對(duì)于觀測(cè)站徑向運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生多普勒效應(yīng)，觀測(cè)站接收到的頻率包含有多普勒頻率，假設(shè)目標(biāo)輻射源信號(hào)頻率在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)保持恒定，則有

f(t)=fT+fd(t)，

(4)

式中：f(t)為觀測(cè)站接收到的目標(biāo)輻射源頻率；fT為目標(biāo)輻射源信號(hào)頻率；fd(t)為多普勒頻率，由相對(duì)徑向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生。多普勒頻率fd(t)的表達(dá)式為

(5)

(6)

(7)

2 可觀測(cè)性分析

證明：

綜合(1)和(2)，可得到S2=S1。證畢。

由上述分析，對(duì)方位角和多普勒頻率信息進(jìn)行分析，式(2),(5)線性化處理可得

0=xtsinβt-ytcosβt,

(8)

(9)

2.1 線性系統(tǒng)的可觀測(cè)原理

從本質(zhì)上講，噪聲的存在并不會(huì)對(duì)定位系統(tǒng)的可觀測(cè)性產(chǎn)生影響，只會(huì)定位系統(tǒng)的定位精度與跟蹤算法收斂速度等產(chǎn)生影響。為了考察定位系統(tǒng)的可觀測(cè)性，假定系統(tǒng)為理想情況，即系統(tǒng)中不存在狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲。

對(duì)于理想連續(xù)線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為

(10)

式中：X(t)為n×1維狀態(tài)矢量；F(t)為n×n維狀態(tài)矩陣；G(t)為n×r維控制矩陣；U(t)為r×1維狀態(tài)控制矢量；Z(t)為m×1維觀測(cè)矢量；H(t)為m×n維測(cè)量矩陣。

狀態(tài)方程及觀測(cè)方程均為線性方程，根據(jù)線性系統(tǒng)理論，下面給出狀態(tài)方程的通解為

(11)

上述線性系統(tǒng)，在[t0,t1]可觀測(cè)的充要條件為：?Y≠0∈Rn，?t∈[t0,t1]使得H(t)Φ(t,t0)Y≠0。其逆否命題又可表述為：?t∈[t0,t1]，若H(t)·Φ(t,t0)Y=0，則Y=0。該結(jié)論即為線性系統(tǒng)的可觀測(cè)條件，可用于對(duì)無源定位中的系統(tǒng)可觀測(cè)性進(jìn)行分析[14-15]。

2.2 勻速直線運(yùn)動(dòng)的可觀測(cè)分析

(12)

X(t)=Φ(t,t0)X(t0)，

(13)

(14)

假設(shè)存在Y=(y1,y2,y3,y4)T，使得?t∈[t0,t1]，有H(t)Φ(t,t0)Y=0。計(jì)算并化簡(jiǎn)可得：

(y1+Δty3)sinβ(t)-(y2+Δty4)cosβ(t)=0,

(15)

y2cosβ(t)+y4sinβ(t)=0.

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)可得

(17)

y2cosβ(t)+y4sinβ(t)=0.

(18)

又知正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間是線性無關(guān)的，因此容易求得y3=y4=0，將解代入式(15)得到

y1sinβ(t)-y2cosβ(t)=0.

(19)

同理可知y1=y2=0，至此得出Y=0。

2.3 勻加速直線運(yùn)動(dòng)的可觀測(cè)分析

目標(biāo)輻射源作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其在理想情況下，連續(xù)時(shí)間的狀態(tài)方程為

(20)

仍然利用線性系統(tǒng)的可觀測(cè)原理進(jìn)行分析，容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)目標(biāo)處于勻加速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)與勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，具有相同的方程，則其推導(dǎo)結(jié)果必定一致。因此，2種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的可觀測(cè)性條件是相同的，即當(dāng)目標(biāo)輻射源處于勻速直線或者勻加速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，不可朝觀測(cè)站作徑向運(yùn)動(dòng)。

2.4 勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)的可觀測(cè)分析

(21)

假設(shè)存在Y=(y1,y2,y3,y4)T，使得?t∈[t0,t1]，有H(t)Φ(t,t0)Y=0。計(jì)算并化簡(jiǎn)可得

cos[β(t)-ωΔt]y2+sin[β(t)-ωΔt]y4=0.

(22)

繼續(xù)對(duì)兩邊求導(dǎo)可得

(23)

sin[β(t)-ωΔt]y2+cos[β(t)-ωΔt]y4=0.

(24)

容易得到：y2=y4=0，同理可得，y1=y3=0，至此得到Y(jié)=0。

由以上分析知，目標(biāo)輻射源作勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)時(shí)(轉(zhuǎn)彎率為ω)，可觀測(cè)性條件為：目標(biāo)輻射源到觀測(cè)站的角速度不能等于轉(zhuǎn)彎率，即目標(biāo)輻射源不能繞觀測(cè)站作圓周運(yùn)動(dòng)。

3 仿真校驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1：

(a)目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，初始位置為(120,90)km，速度為(-200,100)m/s；

(b)目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，初始位置為(120,90)km，速度為(-200,-150)m/s。

實(shí)驗(yàn)2：

(a)目標(biāo)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，初始位置為(120,90)km，速度為(-200,100)m/s，加速度為(-2,1)m/s2；

(b)目標(biāo)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，初始位置為(120,90)km，速度為(-200,-150)m/s，加速度為(-2,1.5)m/s2。

實(shí)驗(yàn)3：

(a)目標(biāo)作勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，初始位置為(40,30)km，速度為(150,200)m/s，轉(zhuǎn)彎率為5 mrad/s；

(b)目標(biāo)作勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，初始位置為(50,0)km，速度為(0,250)m/s，轉(zhuǎn)彎率為5 mrad/s。

定位跟蹤采用容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter,CKF)算法[18-19]，用相對(duì)距離誤差(relative range error,RRE)作為衡量指標(biāo),定義式為

(25)

仿真進(jìn)行100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖2～4所示。

圖2 勻速直線運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果Fig.2 Simulation of constant velocity target

圖3 勻加速直線運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果Fig.3 Simulation of constant acceleration target

圖4 勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation of constant turn rate target

圖2～4中，曲線A表示觀測(cè)集A濾波結(jié)果，曲線B表示觀測(cè)集B濾波結(jié)果。當(dāng)目標(biāo)輻射源運(yùn)動(dòng)方式滿足可觀測(cè)性條件時(shí)(3個(gè)實(shí)驗(yàn)中(a)例)，利用觀測(cè)集A和觀測(cè)集B均可以實(shí)現(xiàn)固定單站對(duì)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)目標(biāo)的無源定位，經(jīng)過一段時(shí)間跟蹤后，濾波結(jié)果逐漸收斂。同時(shí)可以看出的是，在勻速、勻加速和勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，相對(duì)于觀測(cè)集B，觀測(cè)集A定位收斂速度更快，濾波精度更高。因此在滿足可觀測(cè)條件下，增加觀測(cè)量以改善定位跟蹤性能具有一定的實(shí)際意義。

當(dāng)可觀測(cè)性條件不被滿足(3個(gè)實(shí)驗(yàn)中(b)例)，即目標(biāo)勻速、勻加速朝觀測(cè)站徑向運(yùn)動(dòng)或目標(biāo)繞觀測(cè)站圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，無論利用觀測(cè)集A或是觀測(cè)集B均無法實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的定位跟蹤，濾波結(jié)果不隨時(shí)間收斂，且趨向于發(fā)散。仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與上文的可觀測(cè)性分析一致，從而驗(yàn)證了理論分析的正確性。

4 結(jié)束語

本文采用方位角、方位角變化率和多普勒頻率變化率為觀測(cè)量，將觀測(cè)方程偽線性化處理后，利用線性系統(tǒng)的可觀測(cè)理論，對(duì)目標(biāo)輻射源不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可觀測(cè)性進(jìn)行了具體分析，得出了可觀測(cè)的條件。仿真分析驗(yàn)證了理論分析的正確性，目標(biāo)輻射源作勻速直線或者勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)不能朝觀測(cè)站作徑向運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)輻射源作勻轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)時(shí)不能繞觀測(cè)站作圓周運(yùn)動(dòng)。