頁巖卸荷蠕變的力學(xué)特性及其非線性模型

蔣仕榮， 虞子楠

(1. 廣西大漢巖土工程有限責(zé)任公司， 廣西 桂林 541001； 2. 長(zhǎng)安大學(xué) 公路學(xué)院， 西安 710064)

0 引 言

地下工程中，硐室開挖會(huì)擾動(dòng)圍巖，破壞圍巖原有應(yīng)力平衡，在卸荷狀態(tài)下圍巖蠕變現(xiàn)象十分明顯，若控制不當(dāng)可能會(huì)造成大變形、塌方等不良后果[1-2]。研究巖石在卸荷條件下的蠕變特性，對(duì)地下工程施工及后期運(yùn)營(yíng)具有十分重要的意義[3-4]。

目前，對(duì)巖石卸荷蠕變已有較多研究成果，朱杰兵[5]以錦屏二級(jí)水電站開挖洞砂巖為研究對(duì)象，開展不同卸荷差應(yīng)力水平下的流變實(shí)驗(yàn)，分析其應(yīng)變特征和蠕變速率。閆子艦[6]開展了大理巖卸圍壓流變實(shí)驗(yàn)，建立一種可描述大理巖卸荷蠕變特性的本構(gòu)模型。蔣昱州等[7]同時(shí)開展了大理巖和綠片巖卸荷蠕變實(shí)驗(yàn)，分析巖樣卸荷蠕變破壞特征及卸荷蠕變參數(shù)與時(shí)間之間的變化規(guī)律。楊超等[8]基于損傷力學(xué)及能量理論，提出一種裂隙巖體卸荷蠕變損傷本構(gòu)模型。張龍?jiān)频萚9]開展花崗巖在溫度50 ℃下的卸荷蠕變實(shí)驗(yàn)，研究蠕變破壞特征及抗剪強(qiáng)度指標(biāo)的變化規(guī)律

以深埋礦井巷道的頂板頁巖為研究對(duì)象，開展恒軸壓卸圍壓蠕變實(shí)驗(yàn)，分析頁巖卸荷蠕變過程中的應(yīng)變特征、蠕變速率和長(zhǎng)期強(qiáng)度，基于卸荷蠕變的非線性特征，構(gòu)建一種新的能較準(zhǔn)確描述頁巖卸荷蠕變行為的非線性模型，為頁巖卸荷蠕變特性及地下工程圍巖穩(wěn)定性研究提供一定參考。

1 實(shí) 驗(yàn)

試樣取自某深埋礦井巷道頂板新鮮頁巖，巖層為志留系上統(tǒng)沙帽組，巖塊呈紫紅色層狀，巖樣基本物理力學(xué)參數(shù)：密度24.84 kN/m3，孔隙率0.67%，黏聚力19.78 MPa，內(nèi)摩擦角38.65°。

根據(jù)國(guó)際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)(ISRM)推薦標(biāo)準(zhǔn)，將巖樣加工成50 mm×100 mm的圓柱樣，斷面打磨平整。采用TLW-2000型巖石三軸流變實(shí)驗(yàn)儀，在蠕變實(shí)驗(yàn)之前先開展三軸壓縮實(shí)驗(yàn)，將圍壓設(shè)置為20 MPa，以A-1和A-2巖樣進(jìn)行平行實(shí)驗(yàn)確定頁巖最大軸向應(yīng)力為106.46和99.42 MPa，其平均值為102.94 MPa。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 卸荷蠕變

初始軸壓取頁巖三軸實(shí)驗(yàn)中最大軸向應(yīng)力平均值的70%，即72.1 MPa。在恒定軸條件下，圍壓從20 MPa開始以每一級(jí)4 MPa的梯度開始遞減直至巖石破壞，每一級(jí)圍壓卸載保持50 h。頁巖在恒軸壓卸圍壓應(yīng)力路徑的軸向εz、側(cè)向εc逐級(jí)卸載蠕變曲線，如圖1所示。

圖1 逐級(jí)卸荷蠕變曲線Fig. 1 Creep curves of progressive unloading

由圖1可以看出，頁巖在恒軸壓卸圍壓條件下的蠕變特征顯著，軸向和側(cè)向蠕變曲線形態(tài)較為相似，軸向應(yīng)變量值總體上大于側(cè)向。巖樣在卸載瞬間，首先產(chǎn)生瞬時(shí)彈性應(yīng)變，接著進(jìn)入衰減和加速蠕變階段，當(dāng)達(dá)到破壞應(yīng)力后，巖石發(fā)生加速蠕變行為，此時(shí)，巖石短暫時(shí)間內(nèi)宏觀變形破壞。

2.2 分別卸荷蠕變

采用玻爾茲曼線性疊加[10]的方式，將圖1處理成分別卸載蠕變曲線，如圖2所示。

由圖2可知，軸向和側(cè)向的分別卸載蠕變曲線形態(tài)相似，兩者應(yīng)變量值差異在1.5倍以內(nèi)，在第1級(jí)卸載下的軸向和側(cè)向瞬時(shí)應(yīng)變皆遠(yuǎn)大于第2～5級(jí)。巖石卸載至第5級(jí)之前，軸向應(yīng)變?yōu)?.488×10-2，側(cè)向應(yīng)變?yōu)?1.797×10-2，在破壞圍壓應(yīng)力下分別增長(zhǎng)為3.481×10-2和-2.549×10-2，增長(zhǎng)部分分別占軸向和側(cè)向總應(yīng)變的28.53%和29.50%。

圖2 不同級(jí)別卸載蠕變曲線Fig. 2 Creep curves of unloading separately

文獻(xiàn)[11]對(duì)軸向加載蠕變實(shí)驗(yàn)給出式(1)的蠕變速率計(jì)算方法，頁巖卸載蠕變實(shí)驗(yàn)與軸向加載蠕變相處之處在于加載或卸載均是逐級(jí)完成，待應(yīng)變穩(wěn)定后再進(jìn)行下一級(jí)，故可借鑒文獻(xiàn)[11]的蠕變速率計(jì)算方法。

(1)

式中：Δti——蠕變時(shí)間；

N——蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；

vi——應(yīng)變速率。

由于圖2中軸向和側(cè)向的分別卸載蠕變曲線形態(tài)相似，僅最后一級(jí)卸載才表現(xiàn)有加速蠕變行為，以最后一級(jí)卸載等級(jí)下的軸向蠕變曲線為例，采用式(1)計(jì)算頁巖蠕變速率，繪制曲線如圖3所示。

圖3 軸向蠕變速率曲線Fig. 3 Axial creep rate curves

由圖3可以看出，軸向蠕變速率曲線存在一個(gè)初始蠕變速率值為1.302×10-2/h，該速率值在5 h內(nèi)迅速減小，在穩(wěn)定蠕變階段，蠕變速率保持在0.409×10-2/h附近，最后在極短時(shí)間內(nèi)劇增，軸向蠕變速率最大值為2.916×10-2/h。圖3軸向蠕變速率曲線可從一定程度上反映巖石的蠕變過程，結(jié)合圖3和2可以看出，巖石在加速蠕變階段。蠕變速率和蠕變應(yīng)變劇增，這是由于巖石蠕變過程中內(nèi)部微缺陷不斷發(fā)育，當(dāng)超過某一臨界條件后，微缺陷加速拓展、貫通，由此造成宏觀變形破壞。

2.3 長(zhǎng)期強(qiáng)度

巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度是巖體工程實(shí)踐中須引起重視的內(nèi)容，常用的長(zhǎng)期強(qiáng)度求取方法主要有等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線法、穩(wěn)態(tài)蠕變速率與應(yīng)力關(guān)系法及過渡蠕變法[11]，其中，等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線法通過取拐點(diǎn)的方式確定長(zhǎng)度強(qiáng)度，該曲線還能從某種程度上反映巖石蠕變特征[12]，故采用該方法確定長(zhǎng)期強(qiáng)度。偏應(yīng)力為軸向應(yīng)力與圍壓之差，擇取0 h(趨近于0 h的時(shí)刻點(diǎn))、10、20、30、40和50 h時(shí)刻的偏應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，繪制等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖4所示。

圖4 等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 4 Isochronous deviatoric stress-strain curves

由圖4可以看出，等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有較為明顯的非線性特征，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，曲線逐漸像應(yīng)變軸靠攏，通過等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線法確定文中頁巖長(zhǎng)期強(qiáng)度為62.85 MPa，三軸壓縮強(qiáng)度為102.94 MPa，前者僅為后者61.05%，這說明巖石在卸載條件下長(zhǎng)期強(qiáng)度折減較大。

3 非線性蠕變模型

3.1 基礎(chǔ)模型

Burgers模型是一種應(yīng)用廣泛的蠕變?cè)Ｐ停淠Ｐ徒Y(jié)構(gòu)為H-N-H|N，模型示意見圖5。

圖5 Burgers模型示意Fig. 5 Burgers mode

由圖5可以看出，Burgers模型由彈性體、Kelvin體和牛頓體應(yīng)力串聯(lián)得到，具有一定的反映巖石彈性、黏彈性性質(zhì)的能力，但由于Burgers模型中不含塑性元件，無法描述巖石加速蠕變行為，需進(jìn)行改進(jìn)。

Burgers蠕變模型的狀態(tài)方程為

(2)

式中：σ1、σ2、σ3——彈性體、Kelvin體和牛頓體的應(yīng)力；

ε1、ε2、ε3——與σ1、σ2和σ3相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變；

σ、ε——模型總應(yīng)力及總應(yīng)變；

E1、E2——彈性體和Kelvin體的彈性模量；

η2、η3——Kelvin體和牛頓體的黏滯系數(shù)，上標(biāo)表示對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

求解式(2)可得

(3)

式中，t——時(shí)間。

式(3)即為Burgers蠕變模型的本構(gòu)方程。

3.2 非線性蠕變模型

式(2)、(3)的求解過程實(shí)質(zhì)上是解析一個(gè)一階線性常微分齊次方程，式(2)實(shí)際上還是線性狀態(tài)方程，由于巖石卸荷蠕變的非線性特征，黏滯系數(shù)在蠕變過程中并不是一個(gè)常數(shù)，與時(shí)間和應(yīng)力緊密關(guān)聯(lián)，由此，將牛頓體黏滯系數(shù)表示為

(4)

式中，β——與應(yīng)力有關(guān)的大于0的參數(shù)。

將式(4)代入式(2)可得牛頓體ε3為

(5)

再綜合式(2)、(3)、(5)可得

(6)

式(6)即為在圖5模型基礎(chǔ)上，考慮非線性的蠕變模型，求導(dǎo)式(6)可得：

(7)

從式(7)可以看出，當(dāng)β=1時(shí)，式(7)退化為傳統(tǒng)Burgers模型本構(gòu)方程，若當(dāng)t→∞時(shí)，此時(shí)應(yīng)變率為常數(shù)，可描述巖石長(zhǎng)時(shí)間蠕變的穩(wěn)定蠕變階段；在式(7)第二式中，當(dāng)0<β<1時(shí)，應(yīng)變率隨t的增大而逐漸減小，可描述衰減蠕變階段；當(dāng)β>1時(shí)，應(yīng)變率隨t的增大而急劇增大，可反映巖石加速蠕變階段。

為反映巖石加速蠕變行為，引入一個(gè)含有開關(guān)的黏塑性元件見圖6。

圖6 黏塑性元件Fig. 6 Viscoplastic element

由圖6可見，其本構(gòu)模型為

(8)

式中：σs——長(zhǎng)期強(qiáng)度；

η4——黏塑性元件的黏滯系數(shù)。

串聯(lián)圖5和圖6模型，聯(lián)立式(6)、(8)可得

(9)

式(9)即為文中改進(jìn)后非線性蠕變模型的本構(gòu)方程。

4 參數(shù)求解及模型驗(yàn)證

文中模型參數(shù)有E1、E2、η2、η3、η4、β和σs，其中，E1通過Hooke定律求解即可，σs通過等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線法已確定為62.85 MPa，其余參數(shù)求解采用曲線擬合法，通過數(shù)學(xué)軟件1stOpt，基于BFGS算法，擬合圖2蠕變曲線，得到模型參數(shù)如表1所示，擬合曲線如圖7所示。

表1 模型參數(shù)

由圖7和表2可以看出，擬合值與實(shí)驗(yàn)值吻合較好，尤其是能較準(zhǔn)確地?cái)M合頁巖加速蠕變曲線，平均R2達(dá)到0.988，由此證明文中所建模型的可行性和合理性。傳統(tǒng)的Burgers模型為線性模型，無法描述巖石加速蠕變行為，通過將黏滯系數(shù)非定?；姆绞?，建立一個(gè)非線性的黏滯系數(shù)表達(dá)式，由此得到改進(jìn)后的非線性Burgers模型。改進(jìn)后模型擬合效果優(yōu)良，能較好識(shí)別巖石加速蠕變，對(duì)地下工程圍巖時(shí)效變形的監(jiān)測(cè)與控制具有重要意義。

圖7 擬合對(duì)比曲線Fig. 7 Fitting contrast curves

5 結(jié) 論

(1)頁巖在恒軸壓卸圍壓條件下的蠕變特征顯著，軸向和側(cè)向蠕變曲線形態(tài)較為相似，軸向應(yīng)變值總體上大于側(cè)向。軸向和側(cè)向的分別卸載蠕變曲線形態(tài)相似，兩者應(yīng)變量值差在1.5倍以內(nèi)。軸向蠕變速率曲線存在一個(gè)初始蠕變速率值為1.302×10-2/h，該速率值在較短時(shí)間內(nèi)迅速減小，在穩(wěn)定蠕變階段，蠕變速率保持在0.409×10-2/h附近，最后在極短時(shí)間內(nèi)劇增，軸向蠕變速率最大值為2.916×10-2/h。

(2)通過等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線法確定頁巖長(zhǎng)期強(qiáng)度為62.85 MPa，三軸壓縮強(qiáng)度為102.94 MPa，前者僅為后者61.05%，這說明巖石在卸載條件下長(zhǎng)期強(qiáng)度折減較大，工程實(shí)踐中應(yīng)引起重視。

(3)在Burgers模型的基礎(chǔ)上，定義非線性牛頓體，引入黏塑性元件，得到一個(gè)新的非線性蠕變模型。擬合對(duì)比頁巖蠕變實(shí)驗(yàn)曲線，平均R2為0.988，證明了文中所建模型的可行性。