電流是“通量”的理解與運(yùn)用

魯 斌 馮子江 向 豪

(浙江省余姚中學(xué) 浙江 寧波 315400)

在高中物理課堂中，“通量”的概念雖沒有專門提及，但時(shí)常出現(xiàn)相關(guān)延伸的物理量.譬如在研究電磁感應(yīng)時(shí)涉及的“磁通量”，研究電磁流量計(jì)時(shí)涉及的“水流量”等.其實(shí)“電流”也是“通量”，如果能夠深刻領(lǐng)會(huì)電流是通量的內(nèi)涵，對物理概念的理解大有裨益.

1 電流是通量

1.1 電流的定義

通常，我們把單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體任一橫截面的電荷量叫做電流，簡稱電流.其定義式為

從定義上來說，電流的大小等于單位時(shí)間內(nèi)通過某一截面的凈電荷量.

1.2 通量的定義

在數(shù)學(xué)上[1]，我們用如下方法定義通量.如圖1所示，假設(shè)有矢量場

Α(x,y,z)=P(x,y,z)i+

Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

圖1 A通過有向曲面

其中函數(shù)P,Q,R均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，S是場內(nèi)的一片有向曲面，en是S在點(diǎn)(x，y，z)處的單位法向矢量，則積分

ΦA(chǔ)=?SA·dSen=?SA·dS

(1)

稱為矢量場A通過曲面S向著指定側(cè)的通量.將A與S在直角坐標(biāo)系下表示，通量又可以表達(dá)為

ΦA(chǔ)=?S1Pdydz+?S2Qdzdx+?S3Rdxdy

根據(jù)此定義方法，我們定義磁通量為

ΦB=?SB·dS

表示穿過某一面積磁感線的條數(shù).

定義電場強(qiáng)度通量為

ΦE=?SE·dS

表示穿過某一面積電場線的條數(shù).

定義水流量為

Φv=?Sv·dS

表示穿過某一面積的水流線的條數(shù).

1.3 電流是通量

我們可以用相同的方法定義電流，使其與通量的定義式(1)保持一致.將A用j替代，則電流可定義為

I=?Sj·dS

將上式取微分，有

dI=j·dS

可以看出，j在數(shù)值等于單位垂直面積上通過的電流.定義j為電流密度矢量[2]，即單位時(shí)間里通過單位垂直截面的電荷量.它的方向代表該點(diǎn)的電流方向.如圖2，設(shè)想在導(dǎo)體中某點(diǎn)取一個(gè)截面元dS，它法線en與電流方向成傾斜角θ，則有

dI=jdScosθ

圖2 電流密度

j與E具有相似的性質(zhì).在導(dǎo)體中各點(diǎn)的j有不同的數(shù)值和方向，這就構(gòu)成一個(gè)矢量場，即電流場.電流場也可以用電流線(圖3)來描繪.所謂電流線，就是這樣一些曲線，其上每點(diǎn)的切線方向都和該點(diǎn)的電流密度矢量方向一致.電流線穿過截面的條數(shù)越多，電流就越大，反之亦然.由此可見，電流密度j和電流I的關(guān)系，就是一個(gè)矢量場和它的通量的關(guān)系.

圖3 電流線

2 關(guān)于電流是通量的理解

2.1 加速場中電流是通量的理解

如圖4所示，在豎直線①左側(cè)，假設(shè)每個(gè)小球的帶電荷量為e，相距為l0，向右運(yùn)動(dòng)的速度為v0.

圖4 初始狀態(tài)

假設(shè)在通過直線①后，遇到向右的電場，帶電粒子在電場中加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t=τ0，2號粒子越過①進(jìn)行加速，各粒子的狀態(tài)如圖5所示.

圖5 2號粒子開始加速

經(jīng)過t=2τ0，3號粒子越過①進(jìn)行加速，粒子的運(yùn)動(dòng)如圖6所示.

圖6 3號粒子開始加速

如圖7所示，當(dāng)t=3τ0時(shí)，假設(shè)1號粒子正好通過直線②.由于1號和2號進(jìn)入加速場的時(shí)間間隔為τ0.可以得到，再經(jīng)過τ0，2號粒子通過直線②，再經(jīng)過τ0，3號粒子也通過直線②.

圖7 4號粒子開始加速

結(jié)果與未加速前是一樣的.用電流的微觀表達(dá)式I=nqvs來解釋本場景，在加速過程中，v增大，但電荷線密度λ=nqs減小，導(dǎo)致最后電流值不變.

假設(shè)經(jīng)過nτ0時(shí)間加速，1號粒子的速度為

v1=v0+anτ0

i號粒子的速度為

vi=v0+a(n-i+1)τ0

在i號粒子附近，還有i+1與i-1號粒子，它們之間的距離為

2[v0+a(n-i+1)τ0]τ0

則i號粒子附近的電荷線密度為

則，在i號粒子形成的電流為

雖然在加速過程中速度增大，但電荷之間距離拉大，電荷線密度減小，保證電流相等.從通量的角度來講，無論粒子的速度為多大，間隔有多大，只要保證每經(jīng)過τ0，就有一個(gè)粒子通過，那么電流的大小是一樣的.

舉一個(gè)生活中的例子，有一列汽車，在城市道路上兩車間距離較近，運(yùn)動(dòng)速度較慢，在高速公路上兩車間的距離較遠(yuǎn)，運(yùn)動(dòng)速度較快，但單位時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)可能是一樣的.這也是為什么城市限速低于高速公路限速的原因之一：在汽車“通量”一定的情況下，城市道路車流密度大時(shí)，運(yùn)行的速度要低，高速公路車流密度較小時(shí)，運(yùn)行的速度可以提高.

2.2 恒定電流中電流通量的理解

按照電荷守恒定律，電荷的代數(shù)和保持不變.在電流場中，任取一個(gè)閉合曲面S，所圍的體積為V，則某段時(shí)間內(nèi)流出曲面S的電荷量應(yīng)當(dāng)?shù)扔谕欢螘r(shí)間內(nèi)區(qū)域V中減少的電荷量.即有

Sj·dS=0

(2)

這叫做電流的恒定條件.它表明，通過S面一側(cè)流入的電荷量等于從另側(cè)流出的電荷量，也就是說，任何時(shí)刻進(jìn)入封閉曲面的電流線條數(shù)與穿出該封閉曲面的電流線條數(shù)相同，如圖8所示.因此，恒定電流的電流線不可能在任何地方中斷，它們永遠(yuǎn)是閉合曲線.

圖8 電流連續(xù)原理

3 關(guān)于電流是通量的運(yùn)用

3.1 基爾霍夫第一方程組

基爾霍夫第一方程組又稱節(jié)點(diǎn)電流方程組：匯于節(jié)點(diǎn)的各支路電流的代數(shù)和為零，即

∑(±Ii)=0

節(jié)點(diǎn)電流方程是電流恒定條件的結(jié)果，也就是節(jié)點(diǎn)電流密度通量為零的結(jié)果.如圖9所示，作閉合曲面S包圍電路的節(jié)點(diǎn)，由于是恒定電流，根據(jù)公式(2)，流向節(jié)點(diǎn)的電流密度通量與從節(jié)點(diǎn)流出的電流密度通量的代數(shù)和應(yīng)為零.即滿足

Sj·dS=?S1j1·dS1+?S2j2·dS2+

?S3j3·dS3=0

即有I1+I2+I3=0，即滿足

即q內(nèi)為一常數(shù).此為電荷守恒定律，否則節(jié)點(diǎn)有電荷積累，破壞恒定條件.

圖9 電流節(jié)點(diǎn)定律示意圖

3.2 光電效應(yīng)的飽和電流

光電效應(yīng)中，隨著正向電壓的增大，電流會(huì)趨于飽和.我們討論兩種情況.

(1)如果光電管的陰極為一小球(圖10)，陽極為同心球，此時(shí)如果外界光源恒定，保證了單位時(shí)間內(nèi)出射的電子數(shù)恒定，這個(gè)陽極的形狀將光電子初速度角分布的因素排除了.

我們在光電管內(nèi)取以陰極為中心的任意同心球面，通過他們的電流線的條數(shù)是一樣的，即通過的電流密度的通量是一樣的，即電流值保持不變，與加速電壓無關(guān).所有的光電子都能到達(dá)陽極，故在未加電壓情形下，可以直接呈現(xiàn)飽和電流[3](圖11).

圖10 光電管

圖11 伏安特性曲線

(2)如果光電管的陽極為平面(圖12)，在單位時(shí)間內(nèi)出射電子數(shù)恒定的情況下，由于光電子的角分布，則通過面①的電流通量與通過面②的電流密度通量不同，即陰極出射的光電子未能全部被陽極吸收，導(dǎo)致在此時(shí)未到達(dá)飽和.

圖12 光電管

隨著加速電壓的增大，電流線開始彎曲，電流場分布發(fā)生變化，直到所有光電子在電場作用下都到達(dá)陽極，此時(shí)，通過①與②的通量趨于一致(圖13).

圖13 趨于飽和

之后若繼續(xù)增大電壓，會(huì)影響電流線的分布(圖14)，但不影響流經(jīng)面②的通量.其伏安特性曲線如圖15所示.

圖14 飽和

圖15 伏安特性曲線

4 結(jié)束語

電流在本質(zhì)上來說是電流密度的通量.由于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，它表現(xiàn)出與電通量、磁通量等相似的性質(zhì).在教學(xué)過程中，應(yīng)滲透“通量”的概念，理解“通量”的內(nèi)涵，掌握“通量”的應(yīng)用，可以更好地理解電流這個(gè)在中學(xué)物理中極其重要的物理量.