具有一步隨機(jī)滯后和丟包多傳感器系統(tǒng)分布式遞推融合預(yù)報(bào)器

魏 瑤, 孫書(shū)利

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

0 引 言

21世紀(jì)的控制系統(tǒng)結(jié)合了網(wǎng)絡(luò)通信和控制，隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)與控制技術(shù)的融合，出現(xiàn)了系統(tǒng)組件間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)交換信息的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，并且在計(jì)算機(jī)通信領(lǐng)域的研究與應(yīng)用日益廣泛。近年，有關(guān)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制和估計(jì)問(wèn)題的研究引起了人們的廣泛關(guān)注[1]。

由于不可靠的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，數(shù)據(jù)在通信通道中傳輸不可避免出現(xiàn)隨機(jī)滯后、丟包、觀測(cè)丟失、多采樣速率等現(xiàn)象。傳統(tǒng)估計(jì)理論和控制理論對(duì)于上述不確定性系統(tǒng)不再適用，對(duì)此需針對(duì)上述問(wèn)題重新建模，分析規(guī)律，設(shè)計(jì)相應(yīng)的估計(jì)理論和控制理論[2-4]。對(duì)已知數(shù)據(jù)包是否丟失系統(tǒng)，文獻(xiàn)[5]提出間斷觀測(cè)卡爾曼濾波器，并給出了保證不穩(wěn)定系統(tǒng)濾波器穩(wěn)定的觀測(cè)接受率的上界和下界。文獻(xiàn)[6]對(duì)文獻(xiàn)[5]進(jìn)行了推廣，當(dāng)系統(tǒng)的觀測(cè)性矩陣可逆時(shí)，臨界接受率的下界就是臨界接受率。文獻(xiàn)[5]提出的濾波器不具有穩(wěn)態(tài)，需要在線計(jì)算。為減小計(jì)算負(fù)擔(dān)，文獻(xiàn)[7]應(yīng)用線性矩陣不等式方法設(shè)計(jì)了一種次優(yōu)穩(wěn)態(tài)H2濾波器。對(duì)不帶時(shí)間戳系統(tǒng)，文獻(xiàn)[8-10]研究了僅含有隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]考慮了帶隨機(jī)跳躍時(shí)滯的單傳感器和多傳感器系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題?？紤]與文獻(xiàn)[7]相同的觀測(cè)模型，依靠觀測(cè)數(shù)據(jù)丟包概率，文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)出了最優(yōu)線性估值器，同時(shí)給出了穩(wěn)態(tài)濾波存在的一個(gè)充分條件。

在網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中不可能出現(xiàn)無(wú)限丟包現(xiàn)象，文獻(xiàn)[13-14]研究了有限持續(xù)丟包系統(tǒng)的最優(yōu)和次優(yōu)濾波器。文獻(xiàn)[15-17]研究了僅含有丟失觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。綜合考慮滯后和丟包現(xiàn)象，文獻(xiàn)[18]研究了一步滯后和多丟包系統(tǒng)的最優(yōu)濾波算法，并給出了穩(wěn)態(tài)存在的充分條件。上述文獻(xiàn)考慮了隨機(jī)噪聲，但不能處理非隨機(jī)噪聲干擾?？紤]到數(shù)據(jù)重發(fā)機(jī)制，文獻(xiàn)[19]提出了最優(yōu)線性濾波器。針對(duì)帶多步滯后和多丟包系統(tǒng)，對(duì)有/無(wú)時(shí)間戳情形，文獻(xiàn)[20]分別提出了最優(yōu)線性濾波器。文獻(xiàn)[21]在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)之上，研究了多傳感器系統(tǒng)的融合估計(jì)問(wèn)題。對(duì)具有不同丟包率的多傳感器系統(tǒng)，文獻(xiàn)[22]提出了最優(yōu)集中式和分布式融合估值器。以上文獻(xiàn)所提出的有關(guān)融合估值器大都是基于局部估計(jì)的矩陣加權(quán)融合算法[23]。但沒(méi)有考慮多傳感器融合中的先驗(yàn)融合估計(jì)。文獻(xiàn)[24-25]考慮了先驗(yàn)融合估計(jì)，提出了一種分布式遞推融合算法，但是沒(méi)有考慮數(shù)據(jù)傳輸中可能出現(xiàn)的隨機(jī)滯后和丟包問(wèn)題。

針對(duì)具有一步隨機(jī)滯后和多丟包多傳感器系統(tǒng)，應(yīng)用文獻(xiàn)[25]中的分布式遞推融合估計(jì)算法，在線性無(wú)偏最小方差準(zhǔn)則下，提出了具有Kalman遞推結(jié)構(gòu)的分布式遞推最優(yōu)線性融合預(yù)報(bào)算法，分析了算法的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)特性。

1 問(wèn)題闡述

考慮如下離散時(shí)間線性隨機(jī)系統(tǒng)[26]:

x(t+1)=Fx(t)+Dω(t)

(1)

y(p)(t)=C(p)x(t)+v(p)(t)

(2)

其中:x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，y(p)(t)∈Rmp，p=1,2,…,N為傳感器觀測(cè)。ω(t)∈Rr和v(p)(t)∈Rmp分別為過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲，N是傳感器的個(gè)數(shù)。F，D和C(p)為合適維數(shù)的常矩陣。

假設(shè)1：ω(t)和v(p)(t)為帶有零均值的相關(guān)白噪聲

(3)

假設(shè)2：初始狀態(tài)x(0)的均值為μ0，方差為P0，且與噪聲ω(t)和v(p)(t)不相關(guān)。

假設(shè)3：F為穩(wěn)定矩陣。

數(shù)據(jù)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)從傳感器傳輸?shù)綌?shù)據(jù)處理中心時(shí)，存在一步滯后和多丟包現(xiàn)象，傳感器一個(gè)數(shù)據(jù)包只傳輸一次，估值器每一時(shí)刻只收一個(gè)數(shù)據(jù)包，若某一時(shí)刻沒(méi)有接收相應(yīng)時(shí)刻的數(shù)據(jù)包，就用前一時(shí)刻接收的數(shù)據(jù)來(lái)代替，因此，估值器所接收到的測(cè)量值可通過(guò)如下模型描述：

(4)

本文研究的問(wèn)題是基于收到的多傳感器觀測(cè)數(shù)據(jù)(y(1)(t),…,y(1)(0),…,y(N)(t),…,y(N)(0))，設(shè)計(jì)分布式遞推融合預(yù)報(bào)器。首先，根據(jù)各傳感器的觀測(cè)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)局部預(yù)報(bào)器，然后得到局部傳感器間的互協(xié)方差。最后設(shè)計(jì)出分布式遞推融合預(yù)報(bào)器，并與集中式和矩陣加權(quán)分布式融合進(jìn)行比較。

2 局部最優(yōu)線性濾波器

2.1 模型轉(zhuǎn)化

(5)

(6)

系統(tǒng)(1)～(2)可轉(zhuǎn)化為隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)：

(7)

(8)

(9)

式(9)滿(mǎn)足

(10)

(11)

(12)

其中:

(13)

對(duì)于系統(tǒng)(7)～(8)，可獲得統(tǒng)計(jì)信息：

(14)

系統(tǒng)進(jìn)一步可以被轉(zhuǎn)化為常系數(shù)矩陣形式：

(15)

(16)

其中，虛擬過(guò)程噪聲W(p)(t)和虛擬觀測(cè)噪聲V(p)(t)為

(17)

(18)

2.2 預(yù)備引理

(19)

定義：

引理2：對(duì)系統(tǒng)(15)～(16)，在假設(shè)1和假設(shè)2下，統(tǒng)計(jì)信息成立：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

引理3：對(duì)于系統(tǒng)(15)～(16)，在假設(shè)1和假設(shè)2下，狀態(tài)的二階矩陣滿(mǎn)足推導(dǎo)公式

(26)

2.3 局部線性預(yù)報(bào)器

引理4：對(duì)于系統(tǒng)(15)～(16)，局部傳感器子系統(tǒng)的線性最優(yōu)局部預(yù)報(bào)器為

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

2.4 互協(xié)方差陣計(jì)算

引理5：對(duì)于系統(tǒng)(15)～(16)，在第p和第q傳感器子系統(tǒng)之間的預(yù)報(bào)誤差互協(xié)方差陣分別為

(32)

其中：P(pq)(t+1|t)為一步預(yù)報(bào)誤差互協(xié)方差陣。

傳感器新息ε(p)(t)和ε(q)(t)之間的互協(xié)方差陣為

(33)

其中:初值為P(pq)(0|-1)=diag(P0,0)。

3 分布式遞推融合預(yù)報(bào)器設(shè)計(jì)

定理1：系統(tǒng)(15)～(16)在假設(shè)1和假設(shè)2下，基于局部一步預(yù)報(bào)估值，可得具有Kalman遞推形式的分布式線性無(wú)偏最小方差最優(yōu)融合預(yù)報(bào)器：

(34)

預(yù)報(bào)器增益矩陣L(t)計(jì)算為

(35)

(36)

(37)

(38)

矩陣Λ(t)計(jì)算：

(39)

融合預(yù)報(bào)誤差方差陣P0(t+1|t)遞推計(jì)算：

(40)

初值為P0(0|-1)=P0。

證明：式(1)減去式(34)，得到分布式遞推融合預(yù)報(bào)誤差為

(41)

(In-L(t)J)[FP0(t|t-1)FT+DQωDT](In-L(t)J)T+L(t)∑(t+1|t)LT(t)+

(42)

由式(15)，式(27)和式(28)，得到增廣狀態(tài)局部傳感器pth預(yù)報(bào)誤差為

(43)

(44)

(45)

將式(42)重寫(xiě)成：

P0(t+1|t)=FP0(t|t-1)FΤ+DQωDΤ+{L(t)-[FP0(t|t-1)FΤJΤ+DQωDΤJΤ-

(46)

其中，Λ(t)滿(mǎn)足式(39)，為了使預(yù)報(bào)誤差方差最小，上式等號(hào)右側(cè)第3項(xiàng)為零，可得分布式遞推融合預(yù)報(bào)增益式(35)，分布式遞推融合預(yù)報(bào)誤差方差為式(40)。

4 穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)分析

引理6：由假設(shè)3可知，狀態(tài)二階矩q(p)(t)在任意初值q(p)(0)≥0條件下收斂于如下Lyapunov方程的唯一的半正定解q(p):

(47)

(48)

穩(wěn)態(tài)預(yù)報(bào)器

(49)

是漸近穩(wěn)定的。

(50)

由式(42)，分布式遞推融合預(yù)報(bào)誤差方差為

P0(t+1|t)=(In-L(t)J)FP0(t|t-1)FΤ(In-L(t)J)Τ+(In-L(t)J)DQωDΤ(In-L(t)J)Τ+

(51)

定理2：在假設(shè)3下，帶有任意初值的融合預(yù)報(bào)誤差方差式(51)的解收斂于Riccati方程的唯一半正定解：

(52)

而且，分布式穩(wěn)態(tài)融合預(yù)報(bào)器

(53)

是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明：由式(43)，得

(54)

其中，W(t)=[W(1)Τ(t),…,W(N)Τ(t)]Τ，V(t)=[V(1)Τ(t),…,V(N)Τ(t)]Τ，G(t)=diag(G(1)(t),…,G(N)(t))，Ψ(t)=diag(Ψ(1)(t),…,Ψ(N)(t))。

(55)

(56)

協(xié)方差陣為PZ(t+1)=Ε[Z(t+1)ZΤ(t+1)]為

PZ(t+1)=

(57)

(58)

5 仿真例子

考慮帶一步滯后和多丟包不間斷電力系統(tǒng)(UPS)

(59)

z(p)(t)=H(p)x(t)+v(p)(t)，p=1,2,3

(60)

圖1 分布式遞推融合預(yù)報(bào)器

表1 第一個(gè)狀態(tài)分量的穩(wěn)態(tài)預(yù)報(bào)誤差方差比較

表2 第二個(gè)狀態(tài)分量的穩(wěn)態(tài)預(yù)報(bào)誤差方差比較

表3 第三個(gè)狀態(tài)分量的穩(wěn)態(tài)預(yù)報(bào)誤差方差比較

6 結(jié) 論

本文對(duì)具有一步滯后和多丟包的多傳感器系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于線性無(wú)偏最小方差準(zhǔn)則的分布式最優(yōu)融合預(yù)報(bào)算法，該算法基于先驗(yàn)融合預(yù)報(bào)器和局部預(yù)報(bào)器計(jì)算，具有遞推結(jié)構(gòu)。首先引入新變量，將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有隨機(jī)參數(shù)的等價(jià)系統(tǒng)，應(yīng)用新息分析方法，設(shè)計(jì)了線性最小方差最優(yōu)局部預(yù)報(bào)器。然后推導(dǎo)了局部預(yù)報(bào)誤差互協(xié)方差陣、以及先驗(yàn)融合預(yù)報(bào)與局部預(yù)報(bào)誤差互協(xié)方差陣。在此基礎(chǔ)之上，得到了分布式遞推融合預(yù)報(bào)器。給出了穩(wěn)態(tài)預(yù)報(bào)器存在的一個(gè)充分條件，分析了分布式遞推融合預(yù)報(bào)器的穩(wěn)定性。與矩陣加權(quán)融合預(yù)報(bào)相比具有更好的估計(jì)精度。