ZA型蝸桿副建模及動(dòng)力學(xué)傳動(dòng)誤差仿真分析

楊宏斌，李官運(yùn)，李 靜，徐愛(ài)軍

（河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng)471003）

1 引言

蝸桿副具有傳動(dòng)平穩(wěn)、振動(dòng)和噪聲小等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于諸多行業(yè)。在蝸輪蝸桿的加工制造、仿真分析等方面，采用精準(zhǔn)的蝸桿副三維模型顯得十分重要。在齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)中，傳動(dòng)誤差是重要的設(shè)計(jì)參考資料，通過(guò)動(dòng)力學(xué)仿真軟件，可以分析在不同轉(zhuǎn)速、負(fù)載情況下的嚙合傳動(dòng)誤差［1］。

對(duì)于蝸桿副的精確建?？梢圆捎枚喾N方法，文獻(xiàn)［2］采用繪制齒廓線進(jìn)行掃描切除，建立蝸桿副的三維模型，通過(guò)VB編程實(shí)現(xiàn)蝸桿副的參數(shù)化建模。文獻(xiàn)［3-5］同樣采用參數(shù)化建模的方法建立蝸桿副模型，在動(dòng)力學(xué)仿真分析方面，分別對(duì)輸出角速度和嚙合力的變化進(jìn)行分析。文獻(xiàn)［6］建立蝸桿副的虛擬樣機(jī)模型，對(duì)存在安裝誤差條件下的蝸桿副進(jìn)行傳動(dòng)誤差分析。文獻(xiàn)［7］探究一種評(píng)估齒輪嚙合振動(dòng)和噪聲的數(shù)值方法，采用齒輪傳動(dòng)誤差來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)仿真軟件對(duì)傳動(dòng)誤差分析的正確性。

文中根據(jù)成形加工原理和齒輪嚙合原理，對(duì)蝸桿副的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推導(dǎo)，完成對(duì)蝸桿副三維模型的建立。在動(dòng)力學(xué)仿真軟件RecurDyn中搭建蝸桿副的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)蝸桿副在不同工況下的傳動(dòng)誤差進(jìn)行分析研究，為蝸輪蝸桿的設(shè)計(jì)和性能分析提供參考。

2 建立ZA型蝸桿副的數(shù)學(xué)模型

2.1 ZA蝸桿的數(shù)學(xué)模型

蝸桿的數(shù)學(xué)模型是根據(jù)加工原理，利用加工車刀的直線刃方程，繞著蝸桿軸線做螺旋線運(yùn)動(dòng)推導(dǎo)而來(lái)［8］。車刀加工蝸桿的螺旋運(yùn)動(dòng)情況如圖1所示，S1為蝸桿剛性固接的坐標(biāo)系，Su為車刀固接的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系，θ為車刀螺旋運(yùn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)角。

圖1 蝸桿加工的坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate System for Worm Machining

右旋蝸桿的數(shù)學(xué)方程為：

式中：α—車刀的齒形角，即蝸桿的齒形角；u—車刀刃口上點(diǎn)的位置參數(shù)；sp—設(shè)計(jì)參數(shù)，等于蝸桿齒槽在軸截面內(nèi)的軸向?qū)挾?；rp—蝸桿的節(jié)圓半徑，p—螺旋參數(shù)，p=H/2π，H—導(dǎo)程。

2.2 ZA蝸輪的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)齒輪嚙合原理，建立蝸桿副嚙合過(guò)程的坐標(biāo)系如圖2所示。

圖2 蝸輪蝸桿嚙合坐標(biāo)系Fig.2 Worm Gear Meshing Coordinate System

其中S為固定坐標(biāo)系，SP為輔助的固定坐標(biāo)系，S1、S2分別為蝸桿、蝸輪固接的動(dòng)坐標(biāo)系，蝸桿以定角速度繞z1軸回轉(zhuǎn)，蝸輪以定角速度繞z2軸回轉(zhuǎn)。

蝸桿副為共軛齒面，通過(guò)推導(dǎo)得到蝸桿副的嚙合方程，與蝸桿齒面方程聯(lián)立并進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，可以得到ZA蝸輪的齒面方程為：

式中：x1、y1、z1—接觸點(diǎn)P在坐標(biāo)系S中的坐標(biāo)；x2、y2、z2—接觸點(diǎn)P在坐標(biāo)系Sp中的坐標(biāo)；φ1—蝸桿在坐標(biāo)系S中的轉(zhuǎn)角；φ2—蝸輪在坐標(biāo)系Sp中的轉(zhuǎn)角；A0—中心距；i12為傳動(dòng)比。

3 建立ZA型蝸桿副的三維模型

通過(guò)上述對(duì)蝸桿副齒面數(shù)學(xué)方程的推導(dǎo)，在Matlab中對(duì)蝸桿副的齒面點(diǎn)進(jìn)行編程求解，文中采用ZA型蝸桿副的基本參數(shù)，如表1所示。

表1 ZA蝸桿副的基本幾何參數(shù)Tab.1 Basic Geometric Parameters of ZA Worm Gear

將Matlab中得到的齒面點(diǎn)導(dǎo)入U(xiǎn)G，在UG中實(shí)現(xiàn)齒面的構(gòu)建，并對(duì)齒面進(jìn)行縫合、剪切、布爾等操作，完成對(duì)蝸桿副實(shí)體模型的建立，如圖3所示。

圖3 ZA型蝸桿副的三維模型Fig.3 Three Dimensional Model of ZA Worm Pair

4 蝸桿副的動(dòng)力學(xué)仿真分析

4.1 蝸桿副的動(dòng)力學(xué)模型建立

文中采用的RecurDyn是韓國(guó)FunctionBay公司利用最新的多體動(dòng)力學(xué)理論，基于相對(duì)坐標(biāo)系建模和遞歸求解算法開發(fā)的動(dòng)力學(xué)軟件，可以實(shí)現(xiàn)快速穩(wěn)定求解機(jī)構(gòu)碰撞問(wèn)題。

將UG中蝸桿副的裝配模型以parasolid格式導(dǎo)入RecurDyn中，分別添加蝸桿和蝸輪與大地的旋轉(zhuǎn)副，建立蝸桿齒面與蝸輪齒面的擴(kuò)展面接觸（Extended Surface to Surface Contact）。蝸桿上添加旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，蝸輪上添加負(fù)載轉(zhuǎn)矩，完成對(duì)蝸桿副的動(dòng)力學(xué)模型建立，如圖4所示。

圖4 ZA蝸桿副的動(dòng)力學(xué)模型Fig.4 Dynamic Model of ZA Worm Pair

4.2 動(dòng)力學(xué)仿真分析

根據(jù)RecurDyn的接觸算法［9］，對(duì)接觸參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，蝸桿采用碳鋼材料，彈性模量為2.06x105MPa，泊松比為0.3；蝸輪采用鑄造錫青銅材料，彈性模量為8.83x104MPa，泊松比為0.3。經(jīng)計(jì)算的接觸剛度系數(shù)為3.63x105N/mm3/2，阻尼系數(shù)為50N·s/mm，非線性指數(shù)為1.5，最大穿透深度為0.1mm；動(dòng)態(tài)摩擦系數(shù)為0.05，靜態(tài)摩擦系數(shù)為0.08。蝸桿采用step階躍函數(shù)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，在0到0.5s內(nèi)加速到45rad/s，即step（time，0，0，0.5，45），蝸輪上施加一個(gè)為50N·m的轉(zhuǎn)矩負(fù)載，即step（time，0，0，0.5，50000），仿真時(shí)間為3s，仿真采樣步數(shù)為300步。

經(jīng)上述參數(shù)設(shè)置，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，蝸桿的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速為45rad/s，蝸桿副的傳動(dòng)比為20.5，圖5可以看出0到0.5s是個(gè)加速過(guò)程，0.5s后蝸輪的角速度穩(wěn)定在2.20rad/s上下，與理論值2.195rad/s非常接近，驗(yàn)證模型建立的正確性。

圖5 蝸輪輸出角速度Fig.5 Worm Gear Output Angular Velocity

5 蝸桿副的傳動(dòng)誤差分析

根據(jù)齒輪傳動(dòng)誤差定義，當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)一定角度時(shí)，從動(dòng)輪的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)角度與理論轉(zhuǎn)動(dòng)角度的差值，表達(dá)式為：

式中：φ1、φ2—主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的初始位置；N1、N2—主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒數(shù)。

在不同負(fù)載、轉(zhuǎn)速下，對(duì)蝸桿副傳動(dòng)模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析，將RecurDyn中的仿真數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Matlab中，根據(jù)傳動(dòng)誤差的公式，完成對(duì)蝸桿副的傳動(dòng)誤差分析。

5.1 負(fù)載對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

將蝸桿的轉(zhuǎn)速恒定為45rad/s，分別對(duì)蝸輪施加50N·m、150N·m、250N·m三種情況進(jìn)行仿真分析，得到定轉(zhuǎn)速變轉(zhuǎn)矩的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差曲線圖，分別如圖6（a）、（b）、（c）所示。

圖6 轉(zhuǎn)速為45rad/s不同負(fù)載傳動(dòng)誤差圖Fig.6 Transmission Error Diagram for Different Loads at 45 rad/s

通過(guò)對(duì)上述三種情況進(jìn)行對(duì)比分析可知，在0到0.5s初始加速階段，蝸桿副的傳動(dòng)誤差依次增大，0.5s后蝸桿的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定，齒面?zhèn)鲃?dòng)誤差呈周期性，在一定范圍內(nèi)上下波動(dòng)。蝸桿轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，傳動(dòng)誤差的均值隨著負(fù)載的增大而增大，且負(fù)載越大傳動(dòng)誤差的波動(dòng)范圍越大。根據(jù)傳動(dòng)誤差的嚙合信息可以反映出，轉(zhuǎn)速恒定時(shí)，隨著負(fù)載的不斷增大，蝸桿副的嚙合振動(dòng)和噪聲也在增大。

5.2 轉(zhuǎn)速對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

將蝸輪的轉(zhuǎn)矩恒定為150N·m，分別對(duì)蝸桿的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速為45rad/s、65rad/s、85rad/s三種情況進(jìn)行仿真分析，得到定轉(zhuǎn)矩變轉(zhuǎn)速的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差曲線圖，分別如圖7（a）、（b）、（c）所示。

通過(guò)分析定轉(zhuǎn)矩變轉(zhuǎn)速的傳動(dòng)誤差圖可知，在蝸輪施加恒定負(fù)載的情況下，隨著蝸桿轉(zhuǎn)速的增大，蝸桿副傳動(dòng)誤差的均值和波動(dòng)幅值基本一致?？梢苑从吵鑫仐U副嚙合傳動(dòng)產(chǎn)生的振動(dòng)和噪聲，受蝸桿轉(zhuǎn)速的增大影響較小。

6 結(jié)論

基于齒輪嚙合原理，對(duì)ZA型蝸桿副的齒面方程進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)，得到ZA型蝸桿副的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

完成對(duì)ZA型蝸桿副三維模型的建立。根據(jù)蝸桿副的數(shù)學(xué)模型，在Matlab中進(jìn)行編程得到齒面點(diǎn)，將點(diǎn)云數(shù)據(jù)導(dǎo)入到UG中，完成蝸輪蝸桿的模型建立。

在RecurDyn中建立蝸桿副的動(dòng)力學(xué)模型，驗(yàn)證了三維模型和動(dòng)力學(xué)模型建立的正確性。通過(guò)對(duì)蝸桿副傳動(dòng)誤差的分析，發(fā)現(xiàn)恒定轉(zhuǎn)速情況下，負(fù)載增大對(duì)傳動(dòng)誤差的影響明顯增大；在恒定負(fù)載情況下，轉(zhuǎn)速增大對(duì)傳動(dòng)誤差影響基本一致。通過(guò)對(duì)蝸桿副傳動(dòng)誤差的仿真對(duì)比分析，為蝸桿副的設(shè)計(jì)提供評(píng)價(jià)依據(jù)，為齒輪嚙合的振動(dòng)和噪聲研究提供參考。