一種自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全方法

萬 星, 周水生

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西安 710126)

1 引言與預(yù)備知識

當(dāng)矩陣元素存在未知或缺失時(shí), 可采用矩陣補(bǔ)全方法[1-2]根據(jù)已知元素估計(jì)未知元素, 找到與原始矩陣盡可能相似的矩陣. 目前, 矩陣補(bǔ)全已在圖像恢復(fù)[3-4]與去噪[5]、 人體運(yùn)動捕捉[6-7]和推薦系統(tǒng)[8-9]等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用. 矩陣補(bǔ)全可通過求解秩最小化問題實(shí)現(xiàn)對未知元素的補(bǔ)全, 但由于秩函數(shù)的非凸性和不連續(xù)性, 因此求解秩最小化問題是NP難問題. Fazel[10]提出了使用核范數(shù)對秩函數(shù)做凸松弛, 但基于核范數(shù)最小化方法的一個(gè)主要缺陷是所有奇異值同時(shí)被最小化, 因此在實(shí)際應(yīng)用中不能很好地逼近秩. 為更精確刻畫低秩部分, Zhang等[11]提出了截?cái)嗪朔稊?shù)正則化(truncated nuclear norm regularization, TNNR)方法, 不同于基于核范數(shù)方法最小化所有奇異值的求和, 而是由核范數(shù)減去最大的幾個(gè)奇異值之和得到截?cái)嗪朔稊?shù), 該方法可更好近似原始矩陣的精確解. Hu等[12]將原始矩陣補(bǔ)全問題進(jìn)行松弛, 采用平方F(Frobenius)范數(shù)將約束項(xiàng)以懲罰函數(shù)的方式轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題, 該模型可較好地處理高斯噪聲, 但由于模型中的平方損失是光滑的, 當(dāng)預(yù)測值與真實(shí)值差異較大時(shí), 平方項(xiàng)的懲罰力度較大, 因此對異常值較敏感, 所以該算法無法精確處理奇異噪聲損壞的數(shù)據(jù). Hu等[13]對具有固定秩的矩陣補(bǔ)全模型進(jìn)行了改進(jìn), 由于L1損失對異常值更魯棒, 提出了將目標(biāo)函數(shù)中的平方F范數(shù)替換為L1范數(shù), 得到一個(gè)具有魯棒性的低秩矩陣補(bǔ)全模型, 但L1損失的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的, 所以對其求解較困難. Gao等[14]對二維主成分分析(2-dimensional principal component analysis, 2DPCA)模型進(jìn)行了改進(jìn), 由于2DPCA在目標(biāo)函數(shù)中采用平方F范數(shù)作為距離度量, 這種距離度量會增加重構(gòu)誤差, 尤其在存在異常值的情形下, 為解決平方F范數(shù)對異常值敏感的問題, 提出了采用F范數(shù)作為距離度量的角度-二維主成分分析(angle-2-dimensional principal component analysis, Angle-2DPCA)方法, 因?yàn)榕c平方F范數(shù)相比, F范數(shù)能減弱大距離的影響. 本文基于F范數(shù)對異常值魯棒的優(yōu)勢, 結(jié)合上述分析, 提出一種自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全方法.

在矩陣補(bǔ)全問題中, 為增加矩陣補(bǔ)全算法的魯棒性, 本文對文獻(xiàn)[12]的模型進(jìn)行改進(jìn), 主要針對被奇異噪聲損壞的缺失矩陣, 在目標(biāo)函數(shù)中采用對奇異噪聲魯棒的F范數(shù)作為損失項(xiàng)恢復(fù)矩陣中的缺失值, 以降低異常值對算法的影響, 提高恢復(fù)精確度. 在求解該模型過程中, 先采用凸優(yōu)化技巧引入一個(gè)動態(tài)權(quán)重參數(shù), 使其在更新恢復(fù)值時(shí)可根據(jù)當(dāng)前恢復(fù)誤差大小自適應(yīng)地調(diào)節(jié)下一次的迭代更新, 以便快速精確地進(jìn)行補(bǔ)全, 再進(jìn)一步建立求解優(yōu)化問題的有效迭代方法. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 本文算法相比于傳統(tǒng)算法恢復(fù)性能得到較大提升, 不僅提高了缺失矩陣的重建精確性, 對截?cái)嘀鹊碾S機(jī)選取恢復(fù)效果也較穩(wěn)定.

低秩矩陣補(bǔ)全可通過求解秩最小化問題實(shí)現(xiàn)對未知元素的補(bǔ)全. 給定一個(gè)只有部分觀測元的矩陣M∈m×n, 設(shè)X為想要恢復(fù)的矩陣,Ω是矩陣M中已觀測到元素的下標(biāo)集合,PΩ是正交投影算子, rank(·)為秩函數(shù), 則求解秩最小化問題可表示為

(1)

由于秩函數(shù)的非凸性和不連續(xù)性, 因此求解問題(1)是NP難問題. Fazel[10]首先使用了核范數(shù)對秩函數(shù)做凸松弛, 核范數(shù)與矩陣秩的關(guān)系類似于向量的L1范數(shù)與L0范數(shù)之間的關(guān)系[15]. 目前, 基于核范數(shù)的求解方法有奇異值閾值法(singular value threshold, SVT)[16]、 核范數(shù)正則最小二乘法(nuclear norm regularized least squares, NNLS)[17]和魯棒主成分分析法(robust principal component analysis, Robust PCA)[18]等. 矩陣核范數(shù)最小化模型可表示為

(2)

基于核范數(shù)最小化方法的主要缺點(diǎn)是所有奇異值同時(shí)被最小化, 在實(shí)際應(yīng)用中可能不能很好地逼近秩函數(shù). Zhang等[11]提出了截?cái)嗪朔稊?shù)正則化方法, 與基于核范數(shù)方法最小化所有奇異值的求和不同, 其不改變前r個(gè)最大奇異值大小, 通過最小化奇異值序列中剩余的(min{m,n}-r)個(gè)奇異值之和, 得到一個(gè)更精確的函數(shù), 即截?cái)嗪朔稊?shù)逼近秩函數(shù)：

(3)

與傳統(tǒng)核范數(shù)極小化問題不同, 截?cái)嗪朔稊?shù)極小問題不是凸問題, 所以凸優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)方法不能直接用于解決該問題.文獻(xiàn)[12]將非凸優(yōu)化問題(3)改寫為如下凸問題求解：

(4)

其中X∈m×n,A∈r×m,B∈r×n,AAT=BBT=Ir×r,I是單位矩陣.

(5)

ADMM方法可較好地處理各種噪聲, 但對于截?cái)嘀葏?shù)r的隨機(jī)選取易得到不穩(wěn)定的恢復(fù)效果, 且ADMM方法解決問題(5)是一個(gè)硬約束問題, 算法復(fù)雜度較高. 文獻(xiàn)[12]提出了APGL優(yōu)化方法, 將原始的矩陣補(bǔ)全問題進(jìn)行松弛, 采用平方F范數(shù)將約束項(xiàng)以懲罰函數(shù)的方式轉(zhuǎn)換為下列無約束優(yōu)化問題, 降低了求解的復(fù)雜度:

(6)

APGL方法可較好地處理高斯噪聲, 但由于模型(6)中平方損失是光滑的, 當(dāng)預(yù)測值與真實(shí)值差異較大時(shí), 平方項(xiàng)的懲罰力度較大, 因此對異常值較敏感, 所以該算法無法精確處理奇異噪聲損壞的數(shù)據(jù). 為更好地補(bǔ)全被奇異噪聲損壞的缺失矩陣, 本文提出一種改進(jìn)的模型, 并給出其求解算法.

2 模型與求解

2.1 建立模型

文獻(xiàn)[14]中, 2DPCA在目標(biāo)函數(shù)中采用平方F范數(shù)作為距離度量, 這種距離度量不僅會增加重構(gòu)誤差, 而且在有異常值的情形下, 會使實(shí)際投影方向與理想解的偏離明顯, 從而影響算法的魯棒性. 為解決平方F范數(shù)對異常值敏感的問題, Gao等[14]提出了采用F范數(shù)作為距離度量的Angle-2DPCA方法. 該方法通過最小化重建誤差與方差的比值獲得最優(yōu)投影矩陣, 其不僅對異常值具有魯棒性, 還具有旋轉(zhuǎn)不變性. 在矩陣補(bǔ)全問題中, 式(6)采用了平方F范數(shù)作為損失項(xiàng)恢復(fù)矩陣中的缺失值, 但由于平方F范數(shù)對異常值較敏感, 因此在恢復(fù)被奇異噪聲損壞的缺失矩陣時(shí), 其魯棒性并不理想. 根據(jù)文獻(xiàn)[14], 將平方F范數(shù)替換為F范數(shù), 可增強(qiáng)算法的魯棒性. 基于此, 本文提出下列魯棒性矩陣：

(7)

2.2 求解模型

對于模型(7), 由于F范數(shù)項(xiàng)不易求導(dǎo), 因此一般的求解方法較困難.為精確和快速地求解模型(7), 本文基于凸優(yōu)化技巧[19], 給出其等價(jià)式：

(8)

其中τ是一個(gè)動態(tài)權(quán)重參數(shù), 該權(quán)重參數(shù)可在更新恢復(fù)值時(shí)根據(jù)當(dāng)次恢復(fù)誤差大小自適應(yīng)地調(diào)整恢復(fù)值的下次迭代更新, 使恢復(fù)值與真實(shí)值的差異越來越小, 從而提高算法的恢復(fù)性能.參數(shù)τ根據(jù)式(8)一階導(dǎo)數(shù)為0解得：

(9)

此外, 對于λ>0, 式(8)是一個(gè)無約束非光滑凸優(yōu)化問題, 這類問題近年已在機(jī)器學(xué)習(xí)和計(jì)算機(jī)視覺中得到廣泛關(guān)注.考慮到經(jīng)典梯度算法不能解決非光滑問題, 文獻(xiàn)[20]提出了許多加速梯度方法, 這些方法都具有處理大規(guī)模、 非光滑問題的能力.

Beck等[20]提出了加速近鄰梯度線搜索APGL方法, 該方法是一種特殊的梯度下降方法, 主要用于求解目標(biāo)函數(shù)不可微的最優(yōu)化問題. 如果目標(biāo)函數(shù)在某些點(diǎn)是不可微的, 則該點(diǎn)的梯度無法求解, 也無法使用傳統(tǒng)梯度下降法. APGL方法的思想是使用鄰近算子作為近似梯度進(jìn)行梯度下降. 因此, 本文利用加速近鄰梯度線搜索APGL方法求解式(8), 即解決下列形式的問題:

(10)

其中g(shù)(X)是一個(gè)非可微的凸函數(shù),f(X)是一個(gè)光滑且Lipschitz連續(xù)的函數(shù).

對于?t>0, 用加速近鄰梯度APGL算法首先在已知的點(diǎn)Y對f(X)進(jìn)行下列逼近：

(11)

然后, 用改進(jìn)后的方法通過交替迭代更新X,Y,t和τ解決優(yōu)化問題.在第k次迭代中, 更新作為Q(X,Yk)的唯一極小值Xk+1：

(12)

本文引入加速近鄰梯度線搜索APGL方法.對于無約束非光滑凸優(yōu)化問題(8), 選擇

根據(jù)式(9)得到參數(shù)τk+1更新公式為

τk+1=‖PΩ(Xk+1)-PΩ(M)‖F(xiàn).

(13)

當(dāng)預(yù)測值與真實(shí)值差異較大時(shí), 作為動態(tài)加權(quán)參數(shù)的τk+1值變大可以自適應(yīng)地調(diào)整恢復(fù)值的下次迭代更新, 使預(yù)測值與真實(shí)值的差異越來越小, 從而提高算法的恢復(fù)性能.由式(12)可得Xk+1的更新公式為

最后, 用與文獻(xiàn)[21]相同的方式進(jìn)行τk+1和Yk+1的更新：

(15)

本文通過凸優(yōu)化理論, 將式(7)巧妙地轉(zhuǎn)換為式(8), 即將不易求解的式(7)轉(zhuǎn)化為非光滑凸優(yōu)化問題.同時(shí)引入一個(gè)權(quán)重參數(shù), 該參數(shù)可根據(jù)當(dāng)前恢復(fù)誤差大小自適應(yīng)地調(diào)節(jié)下一次的迭代更新, 再基于加速近鄰梯度線搜索APGL方法, 給出求解模型對應(yīng)的迭代公式.

2.3 算法框架

本文主要針對被奇異噪聲損壞的缺失矩陣, 給出一個(gè)魯棒性矩陣補(bǔ)全模型, 并引入動態(tài)權(quán)重參數(shù)τ和加速近鄰梯度線搜索APGL方法, 給出一種精確和快速的求解方法. 算法描述如下.

算法1

迭代更新:

直到‖Xk+1-Xk‖F(xiàn)≤ε.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

人類所能感知的外界信息中, 大部分都來自于視覺信息, 如圖像、 視頻等.因此, 數(shù)字圖像處理技術(shù)受到廣泛關(guān)注.但在許多情形下, 數(shù)字圖像可能由于編碼和傳輸問題而部分損壞, 也可能被一些文字或徽標(biāo)覆蓋而部分損壞, 矩陣補(bǔ)全算法可用于補(bǔ)全這些圖像的缺失信息.因此在本文實(shí)驗(yàn)中, 首先分別處理彩色圖像3個(gè)通道(紅、 綠和藍(lán))的每個(gè)分量, 然后將每個(gè)通道的處理結(jié)果合成為最后的恢復(fù)結(jié)果.為證明本文方法恢復(fù)性能的優(yōu)越性, 在圖像上添加了不同種類的奇異噪聲, 其中包含文本噪聲和各種奇異塊噪聲, 分別用不同的矩陣補(bǔ)全方法對缺失圖像進(jìn)行恢復(fù), 并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果的主觀視覺效果和客觀數(shù)據(jù)結(jié)果(峰值信噪比及恢復(fù)誤差)與其他的矩陣補(bǔ)全算法進(jìn)行對比.

3.1 評價(jià)方法與參數(shù)設(shè)置

峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio, PSNR)是評價(jià)圖像質(zhì)量的一種常用標(biāo)準(zhǔn), 本文使用恢復(fù)圖像的PSNR值評估不同方法的性能, 其值越高表示圖像的恢復(fù)效果越好. 假設(shè)圖像缺失像素的總數(shù)為T, 則總平方誤差

總均方誤差

峰值信噪比

恢復(fù)誤差

Erec=‖X-Xrec‖2.

在實(shí)驗(yàn)中對參數(shù)進(jìn)行調(diào)整以獲得最佳的性能.對于ADMM方法, 經(jīng)驗(yàn)性地設(shè)β=0.05; 對于APGL方法, 經(jīng)驗(yàn)性地設(shè)參數(shù)λ=0.01; 對于本文方法, 設(shè)參數(shù)λ=16; 對于停止條件, 本文將外部迭代的精度設(shè)為10-4, 內(nèi)部迭代的精度設(shè)為3e-4.

3.2 奇異塊噪聲

在某些情形下, 由于被較大且分散的奇異塊污染, 只能得到損壞的缺失圖像, 并且恢復(fù)這些缺失數(shù)據(jù)可能有一定難度. 本文主要對被兩種奇異塊噪聲損壞的圖像進(jìn)行恢復(fù), 分別為墨水塊噪聲和菱形塊噪聲.

3.2.1 墨水塊噪聲

任取6張大小為300×300的圖像作為原始圖像, 對其添加墨水塊噪聲, 可以看到原始圖像中有部分像素被損壞, 將該被部分損壞的圖像作為缺失圖像, 用本文算法恢復(fù)缺失圖像, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示, 其中第一行為原始圖像, 第二行為缺失圖像, 第三行為本文算法恢復(fù)后圖像的最優(yōu)可視化效果. 由于一般情形下無法得知缺失矩陣的真實(shí)秩, 也無法獲得先驗(yàn)信息應(yīng)該如何選擇截?cái)嗥娈愔档臄?shù)目r, 所以對r值(截?cái)嗥娈愔档臄?shù)目)選取[1,10], 任選圖1中的3張圖像(A)、 (D)和(E)利用不同的補(bǔ)全算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 圖2為ADMM算法、 APGL算法及本文算法在取不同秩r時(shí)的峰值信噪比PSNR值和恢復(fù)誤差值對比結(jié)果.

圖1 自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全恢復(fù)效果Fig.1 Effect of adaptive robust matrix completion restoration

圖像的秩可以簡單理解為圖像所含信息的豐富程度, 圖像由于局部分塊之間的相似性和重復(fù)性, 通常具有低秩的屬性. 圖像的秩較高可能是因?yàn)閳D像噪聲的影響, 隨著秩的增大, 矩陣的結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜, 不完全矩陣的恢復(fù)也變得困難.

由圖1可見, 恢復(fù)圖與原始圖像的相似性較高, 主觀視覺上幾乎看不出原來噪聲污染過的痕跡. 此外, 本文算法恢復(fù)的數(shù)值結(jié)果也較好, 其中圖1(A)～(F)恢復(fù)的PSNR值分別為26.29,21.10,23.25,28.30,21.58,38.55 dB.

圖2為不同算法處理圖1(C)～(E)的數(shù)值結(jié)果. 由圖2可見, 對于該奇異噪聲, 在取不同秩r的情形下, 相比于APGL算法, 本文算法恢復(fù)的峰值信噪比值PSNR存在一定程度上的增大, 恢復(fù)誤差存在一定程度上的變小, 表明了對于處理該奇異噪聲本文方法恢復(fù)性能的優(yōu)越性. 此外, 相比于ADMM算法, 當(dāng)秩r=1～4時(shí), 兩種算法的峰值信噪比值PSNR相差較小, 即當(dāng)矩陣具有很好的低秩性時(shí), 兩種算法都取得了較理想的補(bǔ)全效果. 但自然圖像多數(shù)為低秩或者近似低秩的, 當(dāng)秩r>4時(shí), ADMM算法恢復(fù)效果驟然變差, 即峰值信噪比值PSNR突然下降， 恢復(fù)誤差突然增大, 表明若將ADMM算法應(yīng)用到結(jié)構(gòu)較復(fù)雜并且近似低秩的自然圖像恢復(fù)時(shí), 恢復(fù)效果并不理想. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, ADMM算法對于隨機(jī)選取的秩r值較敏感, 所以易得到不穩(wěn)定的恢復(fù)效果. 因此, 對于該奇異噪聲, 本文提出的自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全方法不僅具有更精確的恢復(fù)效果, 而且對于截?cái)嘀萺的選取也具有魯棒性.

圖2 不同算法處理圖1(C)～(E)的數(shù)值結(jié)果對比Fig.2 Comparison of numerical results of Fig.1(C)—(E) processed by different algorithms

3.2.2 菱形塊噪聲

先任取大小為300×300的兩張圖像圖1(D)和圖1(F)作為原始圖像, 對其添加菱形塊噪聲得到一張缺失圖像, 然后用ADMM算法、 APGL算法及本文算法進(jìn)行恢復(fù)實(shí)驗(yàn). 圖3和圖4分別為圖1(D)和圖1(F)恢復(fù)后圖像的可視化效果和數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖3從左到右分別為圖1(D)和圖1(F)的原始圖像、 菱形塊奇異噪聲損壞的缺失圖像以及3種矩陣補(bǔ)全算法恢復(fù)的圖像. 由圖3可見： 在ADMM算法和APGL算法的恢復(fù)圖像上可以不同程度地看到未處理干凈的噪聲, 恢復(fù)效果較差； 與這兩種算法相比, 本文算法恢復(fù)的圖像在視覺效果上更近似于原始圖像, 并且?guī)缀蹩床怀鲈肼曃廴具^的痕跡, 表明本文提出的自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全方法可以有效恢復(fù)該奇異噪聲污染的缺失圖像.

圖4從上到下依次為不同矩陣補(bǔ)全方法恢復(fù)圖1(D)和圖1(F)的數(shù)值結(jié)果. 由圖4可見, 在取不同秩r值時(shí), 相比ADMM算法和APGL算法, 本文算法恢復(fù)的峰值信噪比值PSNR最大, 恢復(fù)誤差值最小. 當(dāng)圖1(D)的秩r>4時(shí), ADMM算法和APGL算法的峰值信噪比值PSNR突然下降到12 dB以下, 本文算法的PSNR值隨著秩r的增大并未驟然變小, 而是逐漸穩(wěn)定地減小. 當(dāng)圖1(F)的秩r>6時(shí), ADMM算法和APGL算法的峰值信噪比值PSNR突然下降到14 dB以下, 本文算法的PSNR值隨著秩r的增大不但未驟然變小, 反而逐漸穩(wěn)定地增大. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 對于該奇異噪聲, 本文提出的自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全方法恢復(fù)性能得到了較大提升, 不僅在視覺效果, 而且在數(shù)值結(jié)果上均取得了較好的恢復(fù)效果.

圖3 不同算法處理圖像的視覺效果對比Fig.3 Comparison of visual effects of images processed by different algorithms

圖4 不同算法處理圖1(D),(F)的數(shù)值結(jié)果對比Fig.4 Comparison of numerical results of Fig.1(D),(F) processed by different algorithms

3.3 文本噪聲

在某些情形下, 由于缺失的圖像上文本字符損壞的位置不是隨機(jī)分布的, 文本噪聲可能會破壞矩陣重要的低秩信息, 因此, 數(shù)字圖像上文本噪聲的去除有一定難度. 將文本覆蓋的位置視為矩陣補(bǔ)全問題中的缺失項(xiàng), 對其利用不同的補(bǔ)全方法進(jìn)行恢復(fù). 對6張大小為300×300的原始圖像(圖1(A)～(F))添加文本噪聲, 由于一般情形下, 無法得知缺失矩陣的真實(shí)秩, 也無法獲得先驗(yàn)信息應(yīng)該如何選擇截?cái)嗥娈愔档臄?shù)目r, 本文分別選取r=10和r=15, 利用不同補(bǔ)全算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果列于表1. 圖5為圖1(C)和圖1(F)的原始圖像、 缺失圖像以及不同矩陣補(bǔ)全方法恢復(fù)的結(jié)果(r=10). 由表1可見, 對于6張不同的圖像, 選取截?cái)嘀萺=10和r=15時(shí), 相比于ADMM算法和APGL算法, 本文算法取得了最大的峰值信噪比值PSNR, 驗(yàn)證了本文提出的自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全方法具有較好的恢復(fù)性能.

表1 不同算法處理圖像的PSNR值(dB)

圖5為不同矩陣補(bǔ)全算法恢復(fù)后的圖像可視化效果對比結(jié)果. 由圖5可見, 本文算法能很好地恢復(fù)由于文本噪聲而導(dǎo)致的缺失像素, 并且取得了比ADMM算法和APGL算法更好的主觀視覺效果. 此外, 在客觀數(shù)值結(jié)果上, 本文算法也獲得了較高的峰值信噪比值PSNR. 其中: 對于圖1(C), ADMM算法、 APGL算法以及本文算法得到的PSNR值分別為21.95,26.15,28.81 dB; 對于圖1(F), ADMM算法、 APGL算法以及本文算法得到的PSNR值分別為21.71,38.25,45.02 dB. 因此, 針對文本噪聲損壞的缺失矩陣, 本文提出的自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全方法不僅提高了缺失矩陣的重建精確性, 在秩的隨機(jī)選取下也具有較穩(wěn)定的恢復(fù)效果.

圖5 不同算法作用于不同圖像的視覺效果對比Fig.5 Visual effect comparison of different algorithms act on different images

綜上所述, 本文基于截?cái)嗪朔稊?shù)進(jìn)行低秩約束補(bǔ)全矩陣中的缺失值, 為增加矩陣補(bǔ)全算法的魯棒性, 提出了一種自適應(yīng)的魯棒性矩陣補(bǔ)全方法. 主要針對被奇異噪聲損壞的缺失矩陣, 在目標(biāo)函數(shù)中采用對奇異噪聲魯棒的F范數(shù), 降低了異常值對算法的影響. 為快速求解模型, 本文基于凸優(yōu)化理論, 通過引入一個(gè)動態(tài)權(quán)重參數(shù), 將問題轉(zhuǎn)化為更易求解的無約束非光滑凸優(yōu)化問題. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 本文方法較對比算法恢復(fù)性能得到較大提升, 不僅提高了缺失矩陣的重建精確性, 在秩的隨機(jī)選取方面也具有較穩(wěn)定的恢復(fù)效果, 不僅彌補(bǔ)了ADMM算法對于截?cái)嘀萺選取魯棒性差的缺陷, 還解決了APGL算法對被奇異噪聲破壞的缺失矩陣無法穩(wěn)定恢復(fù)的問題.