回歸法設(shè)定指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)

徐齊利

（江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，江西 南昌330013）

一、引言

指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法（Exponential Smoothing Prediction Method）是一種常用的時(shí)間序列預(yù)測(cè)技術(shù)，主要由三個(gè)預(yù)測(cè)模型組成，即一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型、二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型和三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型。在預(yù)測(cè)實(shí)踐中，指數(shù)平滑法的應(yīng)用面臨兩個(gè)難題，一是平滑次數(shù)的設(shè)定（吳德會(huì)，2007）[1]，二是平滑參數(shù)的設(shè)置（吳德會(huì)，2008）[2]。

關(guān)于平滑次數(shù)的設(shè)定，目前主要憑經(jīng)驗(yàn)判斷。在時(shí)間序列中，若波動(dòng)占優(yōu)，則主要考慮一次指數(shù)平滑模型（王長(zhǎng)江，2006）[3]；若趨勢(shì)占優(yōu)，則主要考慮三次指數(shù)平滑模型（馮金巧等，2007）[4]；若波動(dòng)和趨勢(shì)平分秋色，則主要考慮二次指數(shù)平滑模型（Khairina et al.，2021）[5]。

關(guān)于平滑參數(shù)的設(shè)置，現(xiàn)行的方法主要有經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法。

其一，經(jīng)驗(yàn)法。該方法對(duì)時(shí)間序列的波動(dòng)態(tài)勢(shì)、發(fā)展趨勢(shì)做出經(jīng)驗(yàn)性判斷，據(jù)此給出平滑參數(shù)設(shè)置的參考區(qū)間。（1）當(dāng)時(shí)間序列呈現(xiàn)較穩(wěn)定的水平趨勢(shì)時(shí)，平滑參數(shù)可在0.05～0.20之間取值；（2）當(dāng)時(shí)間序列有波動(dòng)，但長(zhǎng)期趨勢(shì)變化并不大時(shí)，平滑參數(shù)可在0.1～0.4之間取值；（3）當(dāng)時(shí)間序列波動(dòng)很大，長(zhǎng)期趨勢(shì)變化幅度較大，呈現(xiàn)出上升或下降趨勢(shì)時(shí)，平滑參數(shù)可在0.6～0.8之間取值；（4）當(dāng)時(shí)間序列呈明顯上升或下降趨勢(shì)時(shí)，平滑參數(shù)可在0.6～1之間取值。在預(yù)測(cè)操作上，無(wú)論靜態(tài)預(yù)測(cè)還是動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，通常將所給區(qū)間的中間值選為具體的平滑參數(shù)值（崔世杰等，2016；Joseph，2019；Ani，2019）[6-8]。

其二，試算法。該方法在經(jīng)驗(yàn)法給出平滑參數(shù)的參考區(qū)間內(nèi)，選取少量幾個(gè)（通常為3個(gè)）具體數(shù)值作為待選的平滑參數(shù)，對(duì)每個(gè)待選的平滑參數(shù)分別試算其預(yù)測(cè)的均方誤差，選擇使預(yù)測(cè)的均方誤差最小的平滑參數(shù)作為實(shí)際應(yīng)用的預(yù)測(cè)參數(shù)。在預(yù)測(cè)操作上，無(wú)論靜態(tài)預(yù)測(cè)還是動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，通常在經(jīng)驗(yàn)法所選平滑參數(shù)值的左右兩邊再各取一個(gè)數(shù)值做第二輪優(yōu)選，在左中右三個(gè)待選數(shù)值中確定一個(gè)使預(yù)測(cè)的均方誤差最小的數(shù)值。然后，再在該最優(yōu)值的左右兩邊進(jìn)一步各選一個(gè)數(shù)值，做第三輪優(yōu)選。以此類推，循環(huán)下去，直至最優(yōu)的平滑參數(shù)收斂或預(yù)測(cè)的均方誤差收斂為止（高春雷等，2014；Hsieh et al.，2020；Shi et al.，2020）[9-11]。

其三，枚舉法。該方法既放棄經(jīng)驗(yàn)法的先驗(yàn)判斷，又借鑒試算法的基本思路，待選的平滑參數(shù)是一個(gè)區(qū)間更長(zhǎng)的等差數(shù)列，該區(qū)間通常是0～1，對(duì)數(shù)列中的每個(gè)待選參數(shù)分別試算其預(yù)測(cè)的均方誤差，選擇使預(yù)測(cè)的均方誤差最小的平滑參數(shù)為實(shí)際應(yīng)用的預(yù)測(cè)參數(shù)。在預(yù)測(cè)操作上，無(wú)論靜態(tài)預(yù)測(cè)還是動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，根據(jù)業(yè)務(wù)需要，若對(duì)預(yù)測(cè)精度要求并不高，但對(duì)預(yù)測(cè)速度要求很高，則通常枚舉共9個(gè)數(shù)值組成的等差數(shù)列待選；若對(duì)預(yù)測(cè)精度要求較高，且對(duì)預(yù)測(cè)速度要求也較高，則通常枚舉共19個(gè)數(shù)值組成的等差數(shù)列待選；若對(duì)預(yù)測(cè)精度要求很高，但對(duì)預(yù)測(cè)速度要求并不高，則通常枚舉共39個(gè)數(shù)值組成的等差數(shù)列待選（羅辰輝等，2018；Seong，2020；Sulandari，2021）[12-14]。

經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法各有優(yōu)劣（李守金等，2018；黎鎖平、劉坤會(huì)，2004；Gustriansyah，2019）[15-17]，但三者有四個(gè)共同的弊端。（1）弊端1：非全域取值。平滑參數(shù)的取值范圍皆被限定在0～1的區(qū)間內(nèi)。學(xué)界和業(yè)界從沒(méi)有解釋過(guò)平滑參數(shù)為什么必須嚴(yán)格限定在0～1的范圍內(nèi)，選擇0～1區(qū)間取值僅因當(dāng)初的主觀直覺(jué)和方便操作。根據(jù)指數(shù)平滑模型的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，平滑參數(shù)完全可以在1以上取值，也完全可以在0以下取值。（2）弊端2：非連續(xù)取值。平滑參數(shù)本是一個(gè)連續(xù)型變量，三種方法均將其變更為離散型變量來(lái)操作。經(jīng)驗(yàn)法表面上是給出了取值區(qū)間，但在實(shí)踐操作上則是將所給區(qū)間的中間值作為平滑參數(shù)值，試算法和枚舉法則更是直接將連續(xù)變量進(jìn)行了離散化處理。（3）弊端3：非自適應(yīng)取值。平滑參數(shù)皆是人為賦值，預(yù)測(cè)人員自己列示出若干備選答案，然后自己從中挑一個(gè)最合適的答案。經(jīng)驗(yàn)法僅給出四個(gè)備選數(shù)值，試算法也僅是在此基礎(chǔ)上多增加了兩個(gè)備選數(shù)值，枚舉法無(wú)非是再多增加幾個(gè)數(shù)值待選。（4）弊端4：非最優(yōu)取值。平滑參數(shù)的取值皆不是最優(yōu)，肯定不是全局最優(yōu)，充其量是局部最優(yōu)。經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法均按照殘差平方和最小或均方誤差最小的原則確定最優(yōu)平滑參數(shù)，但其可選集皆是可行集的子集的子集，即實(shí)數(shù)集上0～1區(qū)間內(nèi)的若干數(shù)值。

為克服經(jīng)驗(yàn)法、試算法和枚舉法的弊端，本文提出了回歸法。不同于陳武（2016）[18]對(duì)二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型回歸系數(shù)計(jì)算方法的探討，本文將回歸所得的平滑參數(shù)估計(jì)值作為指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)參數(shù)。其理論過(guò)程為：針對(duì)平滑次數(shù)分別為一次、二次、三次的指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型，對(duì)應(yīng)構(gòu)造平滑次數(shù)分別為一次、二次、三次的指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程，以此建立平滑次數(shù)分別為一次、二次、三次的指數(shù)平滑回歸模型，隨之進(jìn)行平滑次數(shù)分別為一次、二次、三次的指數(shù)平滑參數(shù)估計(jì)。

在實(shí)驗(yàn)?zāi)M中，事先設(shè)定平滑參數(shù)的真實(shí)值，由一次、二次、三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程生成對(duì)應(yīng)的指數(shù)平滑時(shí)間序列，采用對(duì)應(yīng)的指數(shù)平滑回歸模型對(duì)相應(yīng)的指數(shù)平滑時(shí)間序列進(jìn)行回歸分析。參數(shù)估計(jì)的結(jié)果說(shuō)明，回歸法設(shè)定指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可行的。假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果證明，回歸法設(shè)定指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可信的。

在實(shí)證應(yīng)用中，將回歸法用于GDP和稅收的年度時(shí)間序列預(yù)測(cè)，并與經(jīng)驗(yàn)法、試算法和枚舉法的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行對(duì)比。在預(yù)測(cè)效果上，回歸法的預(yù)測(cè)效果確實(shí)能夠全面優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)法、試算法和枚舉法。在預(yù)測(cè)技術(shù)上，回歸法確實(shí)能夠有效規(guī)避經(jīng)驗(yàn)法、試算法和枚舉法在平滑參數(shù)設(shè)置上存在的非全域取值、非連續(xù)取值、非自適應(yīng)取值、非最優(yōu)取值等弊端。

二、指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型

（一）一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型

對(duì)時(shí)間序列｛Xt｝t=1，2，…進(jìn)行一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的模型為：

其中，預(yù)測(cè)參數(shù)α需事前設(shè)定。回歸法設(shè)定該一次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程分為三步：第一步，根據(jù)一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型構(gòu)造一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程；第二步，基于一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程建立一次指數(shù)平滑回歸模型；第三步，估計(jì)一次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預(yù)測(cè)參數(shù)。

（二）二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型

對(duì)時(shí)間序列｛Xt｝t=1，2，…進(jìn)行二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的模型為：

其中，預(yù)測(cè)參數(shù)α也需事前設(shè)定?；貧w法設(shè)定該二次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程分為三步：第一步，根據(jù)二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型構(gòu)造二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程；第二步，基于二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程建立二次指數(shù)平滑回歸模型；第三步，估計(jì)二次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預(yù)測(cè)參數(shù)。

（三）三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型

對(duì)時(shí)間序列｛Xt｝t=1，2，…進(jìn)行三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的模型為：

其中，預(yù)測(cè)參數(shù)α仍需事前設(shè)定?；貧w法設(shè)定該三次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程分為三步：第一步，根據(jù)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型構(gòu)造三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程；第二步，基于三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程建立三次指數(shù)平滑回歸模型；第三步，估計(jì)三次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預(yù)測(cè)參數(shù)。

三、指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程

（一）一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程

回歸法設(shè)定一次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第一步：根據(jù)一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型構(gòu)造一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程。為使（1）式一次指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)值X?t+1與該模型的條件期望E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）建立起等價(jià)關(guān)系E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）=X?t+1，特建立如下一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程為：

如此設(shè)置一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程，則預(yù)測(cè)參數(shù)α可以通過(guò)建立回歸模型進(jìn)行估計(jì)。

（二）二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程

回歸法設(shè)定二次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第一步：根據(jù)二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型構(gòu)造二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程。為使（2）式二次指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)值1與該模型的條件期望E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）建立起等價(jià)關(guān)系E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）=X?t+1，特建立如下二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程為：

如此設(shè)置二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程，則預(yù)測(cè)參數(shù)α可以通過(guò)建立回歸模型進(jìn)行估計(jì)。

（三）三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程

回歸法設(shè)定三次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第一步：根據(jù)三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型構(gòu)造三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程。為使（3）式三次指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)值X?t+1與該模型的條件期望E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）建立起等價(jià)關(guān)系E（Xt+1｜Xt，…，X1；α）=X?t+1，特建立如下三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程為：

如此設(shè)置三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程，則預(yù)測(cè)參數(shù)α可以通過(guò)建立回歸模型進(jìn)行估計(jì)。

四、指數(shù)平滑回歸模型

（一）一次指數(shù)平滑回歸模型

回歸法設(shè)定一次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第二步：基于一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程建立一次指數(shù)平滑回歸模型。針對(duì)由（4）式一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列｛X1，X2，…，Xn｝，可建立如下回歸模型來(lái)估計(jì)未知參數(shù)α：

模型中，直接決定可觀測(cè)時(shí)間序列｛X1，X2，…，Xn｝基本走勢(shì)的平滑因子｛S1，S2，…，Sn｝是不可直接觀測(cè)的時(shí)間序列。

（二）二次指數(shù)平滑回歸模型

回歸法設(shè)定二次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第二步：基于二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程建立二次指數(shù)平滑回歸模型。針對(duì)由（5）式二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列｛X1，X2，…，Xn｝，可建立如下回歸模型來(lái)估計(jì)未知參數(shù)α：

模型中，直接決定可觀測(cè)時(shí)間序列｛X1，X2，…，Xn｝基本走勢(shì)的平滑因子是不可直接觀測(cè)的時(shí)間序列。

（三）三次指數(shù)平滑回歸模型

回歸法設(shè)定三次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第二步：基于三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程建立三次指數(shù)平滑回歸模型。針對(duì)由（6）式三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列｛X1，X2，…，Xn｝，可建立如下回歸模型來(lái)估計(jì)未知參數(shù)α：

模型中，直接決定可觀測(cè)時(shí)間序列｛X1，X2，…，Xn｝基本走勢(shì)的平滑因子是不可直接觀測(cè)的時(shí)間序列。

五、指數(shù)平滑參數(shù)估計(jì)

（一）一次指數(shù)平滑參數(shù)估計(jì)

對(duì)時(shí)間序列｛X1，X2，…，Xn｝的一次指數(shù)平滑模型（7）式、二次指數(shù)平滑模型（8）式、三次指數(shù)平滑模型（9）式，皆采取最小二乘的方法進(jìn)行估計(jì)，從而得到最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)α?為：

求解非線性最小二乘，通用的迭代算法可參考Seber和Wild（2003）的研究[19]。

以往n-2期預(yù)測(cè)的均方誤差MSE是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)εt+1～N（0，σ2）方差σ2的估計(jì)值，即：

其中，n-2維雅閣比向量J=（J3，…，Jn）T的分量Jt+1為：

與通常的非線性回歸模型不同，本文所建的回歸模型其雅閣比向量各分量之間存在遞推關(guān)系。

回歸法設(shè)定一次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第三步：估計(jì)一次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預(yù)測(cè)參數(shù)。對(duì)一次指數(shù)平滑回歸模型（7）式的參數(shù)α進(jìn)行最小二乘估計(jì)，算法在迭代過(guò)程中雅閣比向量各分量之間的遞推關(guān)系為：

（二）二次指數(shù)平滑參數(shù)估計(jì)

回歸法設(shè)定二次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第三步：估計(jì)二次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預(yù)測(cè)參數(shù)。對(duì)二次指數(shù)平滑回歸模型（8）式的參數(shù)α進(jìn)行最小二乘估計(jì)，算法在迭代過(guò)程中雅閣比向量各分量之間的遞推關(guān)系為：

（三）三次指數(shù)平滑參數(shù)估計(jì)

回歸法設(shè)定三次指數(shù)平滑模型最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)的邏輯過(guò)程的第三步：估計(jì)三次指數(shù)平滑回歸模型的回歸系數(shù)，以獲得最優(yōu)的預(yù)測(cè)參數(shù)。對(duì)三次指數(shù)平滑回歸模型（9）式的參數(shù)α進(jìn)行最小二乘估計(jì)，算法在迭代過(guò)程中雅閣比向量各分量之間的遞推關(guān)系為：

六、實(shí)驗(yàn)?zāi)M

（一）一次指數(shù)平滑時(shí)間序列

為檢驗(yàn)上述回歸法設(shè)定一次指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是否可行、是否可信，需采用蒙特卡洛方法做模擬實(shí)驗(yàn)。針對(duì)（4）式的一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程，令初值X1=1 000.0，X2=1 025.0，參數(shù)α=0.10，生成兩個(gè)樣本容量n=1 000的一次指數(shù)平滑時(shí)間序列，如圖1所示。

圖1 一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程的實(shí)現(xiàn)

對(duì)這兩個(gè)一次指數(shù)平滑時(shí)間序列，按照（7）式的一次指數(shù)平滑回歸模型，估計(jì)其參數(shù)α，結(jié)果如表1所示。

表1 一次指數(shù)平滑時(shí)間序列的估計(jì)結(jié)果

表1顯示，一次指數(shù)平滑回歸模型的估計(jì)結(jié)果與參數(shù)實(shí)際值非常接近，這從參數(shù)估計(jì)上說(shuō)明，針對(duì)一次指數(shù)平滑時(shí)間序列，通過(guò)回歸的方法設(shè)定其最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可行的。根據(jù)表1的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，構(gòu)造原假設(shè)H0、備擇假設(shè)H1以及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量τ，分別為：

其中，Sα為α的標(biāo)準(zhǔn)誤，以此考察估計(jì)結(jié)果的置信水平。表1顯示，兩序列檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值皆充分接近0，在自由度n-3=997的t分布下以高置信水平支持原假設(shè)H0：α=0.10。這從假設(shè)檢驗(yàn)上證明，針對(duì)一次指數(shù)平滑時(shí)間序列，通過(guò)回歸的方法設(shè)定其最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可信的。

（二）二次指數(shù)平滑時(shí)間序列

為檢驗(yàn)上述回歸法設(shè)定二次指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是否可行、是否可信，也需采用蒙特卡洛方法做模擬實(shí)驗(yàn)。針對(duì)（5）式的二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程，令初值X1=1 000.0，X2=1 025.0，參數(shù)α=0.10，生成兩個(gè)樣本容量n=1 000的二次指數(shù)平滑時(shí)間序列，如圖2所示。

圖2 二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程的實(shí)現(xiàn)

對(duì)這兩個(gè)二次指數(shù)平滑時(shí)間序列，按照（8）式的二次指數(shù)平滑回歸模型，估計(jì)其參數(shù)α，結(jié)果如表2所示。

表2 二次指數(shù)平滑時(shí)間序列的估計(jì)結(jié)果

表2顯示，二次指數(shù)平滑回歸模型的估計(jì)結(jié)果與參數(shù)實(shí)際值非常接近，這從參數(shù)估計(jì)上說(shuō)明，針對(duì)二次指數(shù)平滑時(shí)間序列，通過(guò)回歸的方法設(shè)定其最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可行的。根據(jù)表2的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，按照（10）式進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以此考察估計(jì)結(jié)果的置信水平。表2進(jìn)一步顯示，兩序列檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值皆充分接近0，在自由度n-3=997的t分布下以高置信水平支持原假設(shè)H0：α=0.10。這從假設(shè)檢驗(yàn)上證明，針對(duì)二次指數(shù)平滑時(shí)間序列，通過(guò)回歸的方法設(shè)定其最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可信的。

（三）三次指數(shù)平滑時(shí)間序列

為檢驗(yàn)上述回歸法設(shè)定三次指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是否可行、是否可信，仍需采用蒙特卡洛方法做模擬實(shí)驗(yàn)。針對(duì)（6）式的三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程，令初值X1=1 000.0，X2=1 025.0，參數(shù)α=0.10，生成兩個(gè)樣本容量n=1 000的三次指數(shù)平滑時(shí)間序列，如圖3所示。

對(duì)這兩個(gè)三次指數(shù)平滑時(shí)間序列，按照（9）式的三次指數(shù)平滑回歸模型，估計(jì)其參數(shù)α，結(jié)果如表3所示。

表3顯示，三次指數(shù)平滑回歸模型的估計(jì)結(jié)果與參數(shù)實(shí)際值都非常接近，這從參數(shù)估計(jì)上說(shuō)明，針對(duì)三次指數(shù)平滑時(shí)間序列，通過(guò)回歸的方法設(shè)定其最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可行的。根據(jù)表3中的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，按照（10）式進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以此考察估計(jì)結(jié)果的置信水平。表3進(jìn)一步顯示，兩序列檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值皆充分接近0，在自由度n-3=997的t分布下以高置信水平支持原假設(shè)H0：α=0.10。這從假設(shè)檢驗(yàn)上證明，針對(duì)三次指數(shù)平滑時(shí)間序列，通過(guò)回歸的方法設(shè)定其最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可信的。

圖3 三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程的實(shí)現(xiàn)

表3 三次指數(shù)平滑時(shí)間序列的估計(jì)結(jié)果

七、實(shí)證應(yīng)用

（一）GDP預(yù)測(cè)

既然實(shí)驗(yàn)?zāi)M顯示回歸法設(shè)定指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)參數(shù)是可行和可信的，那么接下來(lái)的工作是實(shí)證檢驗(yàn)在預(yù)測(cè)實(shí)踐中回歸法較之已有的經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法的邊際進(jìn)步性。實(shí)證目標(biāo)之一是：在平滑參數(shù)的設(shè)定上，檢驗(yàn)回歸法是否確實(shí)能夠有效規(guī)避經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法的四個(gè)弊端。實(shí)證目標(biāo)之二是：在指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)效果上，檢驗(yàn)回歸法是否確實(shí)明顯優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法。雖然前面的邏輯過(guò)程已經(jīng)在理論上做了肯定性回答，但現(xiàn)實(shí)應(yīng)用效果到底如何、能否達(dá)到理論所述的預(yù)期效果，需要做出驗(yàn)證性回答。俗話說(shuō)“是騾子是馬，拉出來(lái)遛遛”，哲學(xué)所言“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”，講的就是這個(gè)道理。

以GDP的年度預(yù)測(cè)為例，針對(duì)表4的GDP時(shí)間序列數(shù)據(jù)，分別按照（7）式的一次指數(shù)平滑回歸模型、（8）式的二次指數(shù)平滑回歸模型、（9）式的三次指數(shù)平滑回歸模型，估計(jì)各自的參數(shù)α，結(jié)果如表5所示。

表4 對(duì)GDP進(jìn)行二次指數(shù)平滑和三次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)結(jié)果

（續(xù)表4）

表5顯示，三個(gè)模型的回歸系數(shù)皆顯著非零，說(shuō)明一次平滑模型、二次平滑模型、三次平滑模型均可用于預(yù)測(cè)GDP的時(shí)間序列走勢(shì)。進(jìn)一步考察預(yù)測(cè)效果，利用均方誤差MSE構(gòu)造F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量MSEi/MSEj～F（n-3，n-3），可從邏輯上做出判斷，利用指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)GDP的時(shí)間序列走勢(shì)時(shí)，一次平滑模型的預(yù)測(cè)效果可能較差，二次平滑模型和三次平滑模型的預(yù)測(cè)效果基本相當(dāng)。

利用表5的參數(shù)取值，分別按照（1）式的一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型、（2）式的二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型、（3）式的三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型，對(duì)GDP的走勢(shì)進(jìn)行向前一步預(yù)測(cè)，結(jié)果如表4所示。表4顯示，與回歸分析時(shí)的判斷一致，對(duì)GDP時(shí)間序列進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)時(shí)，一次平滑模型的預(yù)測(cè)效果較差，二次平滑模型和三次平滑模型的預(yù)測(cè)效果基本相當(dāng)。

表5 對(duì)GDP進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的模型參數(shù)設(shè)置

從表5的參數(shù)估計(jì)值可以看出，對(duì)GDP進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)，在平滑參數(shù)的設(shè)定上，回歸法確實(shí)能夠有效規(guī)避經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法的弊端。圖4的黑點(diǎn)顯示回歸法的預(yù)測(cè)效果，白點(diǎn)顯示經(jīng)驗(yàn)法、試算法與枚舉法的預(yù)測(cè)效果，可以看出，對(duì)GDP進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)時(shí)，在預(yù)測(cè)效果的對(duì)比上，平滑參數(shù)即便在0～1區(qū)間內(nèi)取值，經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法也難以達(dá)到最優(yōu)預(yù)測(cè)，而回歸法幾乎是最優(yōu)預(yù)測(cè)。

圖4 回歸法與經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法對(duì)GDP進(jìn)行三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的效果比較

（二）稅收預(yù)測(cè)

以稅收的年度預(yù)測(cè)為例，針對(duì)表6的稅收時(shí)間序列數(shù)據(jù)，分別按照（7）式的一次指數(shù)平滑回歸模型、（8）式的二次指數(shù)平滑回歸模型、（9）式的三次指數(shù)平滑回歸模型，估計(jì)各自的參數(shù)α，結(jié)果如表7所示。

表7顯示，三個(gè)模型的回歸系數(shù)皆顯著非零，說(shuō)明一次平滑模型、二次平滑模型、三次平滑模型均可用于預(yù)測(cè)稅收的時(shí)間序列走勢(shì)。進(jìn)一步考察預(yù)測(cè)效果，利用均方誤差MSE，構(gòu)造F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量MSEi/MSEj～F（n-3，n-3），可從邏輯上做出判斷，利用指數(shù)平滑模型用于預(yù)測(cè)稅收的時(shí)間序列走勢(shì)時(shí)，一次平滑模型的預(yù)測(cè)效果可能較差，二次平滑模型和三次平滑模型的預(yù)測(cè)效果基本相當(dāng)。

表6 對(duì)稅收進(jìn)行二次指數(shù)平滑和三次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)結(jié)果

（續(xù)表6）

表7 對(duì)稅收進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的模型參數(shù)設(shè)置

利用表7的參數(shù)取值，分別按照（1）式的一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型、（2）式的二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型、（3）式的三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型，對(duì)稅收的走勢(shì)進(jìn)行向前一步預(yù)測(cè)，結(jié)果如表6所示。表6顯示，與回歸分析時(shí)的判斷一致，在對(duì)稅收時(shí)間序列進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)時(shí)，一次平滑模型的預(yù)測(cè)效果較差，二次平滑模型和三次平滑模型的預(yù)測(cè)效果基本相當(dāng)。

圖5 回歸法與經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法對(duì)稅收進(jìn)行三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的效果比較

從表7的參數(shù)估計(jì)值可以看出，對(duì)稅收進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)，在平滑參數(shù)的設(shè)定上，回歸法確實(shí)能夠有效規(guī)避經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法的弊端。圖5的黑點(diǎn)顯示回歸法的預(yù)測(cè)效果，白點(diǎn)顯示經(jīng)驗(yàn)法、試算法與枚舉法的預(yù)測(cè)效果，可以看出，對(duì)稅收進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測(cè)時(shí)，在預(yù)測(cè)效果的對(duì)比上，平滑參數(shù)即便在0～1區(qū)間內(nèi)取值，經(jīng)驗(yàn)法、試算法、枚舉法也難以達(dá)到最優(yōu)預(yù)測(cè)，而回歸法幾乎是最優(yōu)預(yù)測(cè)。

八、結(jié)論

對(duì)于指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型的參數(shù)設(shè)置方法，為克服現(xiàn)行的經(jīng)驗(yàn)法、試算法和枚舉法的弊端，本文提出了回歸法。將回歸所得的平滑參數(shù)估計(jì)值作為指數(shù)平滑預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)參數(shù)，其理論過(guò)程為：針對(duì)一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型、二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型、三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型，對(duì)應(yīng)構(gòu)造一次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程、二次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程、三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程，以此建立一次指數(shù)平滑回歸模型、二次指數(shù)平滑回歸模型、三次指數(shù)平滑回歸模型，隨之進(jìn)行一次指數(shù)平滑參數(shù)估計(jì)、二次指數(shù)平滑參數(shù)估計(jì)、三次指數(shù)平滑參數(shù)估計(jì)。

實(shí)驗(yàn)?zāi)M中，事先給定平滑參數(shù)真實(shí)值，由一次、二次、三次指數(shù)平滑隨機(jī)過(guò)程的一次、二次、三次指數(shù)平滑時(shí)間序列進(jìn)行回歸分析。參數(shù)估計(jì)結(jié)果皆說(shuō)明，回歸法設(shè)定指數(shù)平滑模型對(duì)應(yīng)生成一次、二次、三次指數(shù)平滑時(shí)間序列，利用一次、二次、三次指數(shù)平滑回歸模型估計(jì)相應(yīng)的最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可行的。假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果證明，回歸法設(shè)定指數(shù)平滑模型的最優(yōu)預(yù)測(cè)參數(shù)是可信的。

實(shí)證應(yīng)用中，將回歸法用于GDP和稅收年度時(shí)間序列的一次、二次、三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)，并與經(jīng)驗(yàn)法、試算法和枚舉法的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果顯示，在預(yù)測(cè)效果上，回歸法的預(yù)測(cè)效果確實(shí)能夠全面優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)法、試算法和枚舉法。在預(yù)測(cè)技術(shù)上，回歸法確實(shí)能夠有效規(guī)避經(jīng)驗(yàn)法、試算法和枚舉法在平滑參數(shù)設(shè)置上存在的非全域取值、非連續(xù)取值、非自適應(yīng)取值、非最優(yōu)取值等弊端。