微機電系統(tǒng)壓電振動臺遲滯補償方法研究

郝 瑞 彭 倍 周 吳

電子科技大學(xué)機械與電氣工程學(xué)院，成都，611731

0 引言

MEMS加速度傳感器在導(dǎo)航定位[1]、國防安全[2]、智能機器人[3]等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，然而長期存儲和遠距離運輸?shù)募铀俣葌鞲衅鲿霈F(xiàn)零位與標(biāo)度因數(shù)漂移誤差[4]，嚴(yán)重影響傳感器的測量精度。為保障傳感器測量的準(zhǔn)確性，通常需要在加速度傳感器使用前進行一次重新標(biāo)定來修正漂移誤差[5]。這就要求標(biāo)度過程能夠簡單方便且即時有效地在現(xiàn)場實施，而MEMS振動臺作為一種可移動的機械平臺，能夠提供持續(xù)穩(wěn)定的簡諧振動來實現(xiàn)對加速度傳感器的片上物理激勵[6]，以振動加速度[7]作為參考運動來獲取傳感器的零位和標(biāo)度因數(shù)[8]。目前密歇根大學(xué)設(shè)計的最大加速度為0.3g(g為重力加速度)的壓電微振動臺[9]可用于商用微慣性測量單元的現(xiàn)場快速重新標(biāo)定，實現(xiàn)標(biāo)度因數(shù)漂移小于0.02%；康奈爾大學(xué)設(shè)計的采用光學(xué)測距系統(tǒng)進行閉環(huán)控制的壓電微振動臺[10]，其本身的長期穩(wěn)定性可以維持在滿量程的0.01%；中國物理工程研究院設(shè)計的壓電微振動臺[11]，其加速度的輸出范圍可達±16g。然而，壓電振動臺的壓電材料具有明顯的遲滯特性，導(dǎo)致振動臺振動加速度存在誤差，嚴(yán)重影響傳感器的標(biāo)定精度[12]，因此需要對振動臺壓電材料遲滯引起的誤差進行補償。

壓電遲滯補償方法主要包括建立遲滯模型來預(yù)測遲滯量并通過模型逆向求解補償電壓的前饋控制方法，以及觀測當(dāng)前位移輸出預(yù)測下一時刻的遲滯量并進行補償?shù)目刂品椒?。這些方法對遲滯模型的精度要求較高，同時還涉及復(fù)雜的參數(shù)識別過程。如基于雙曲正切函數(shù)的動態(tài)Preisach模型[13]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才能完成動態(tài)Preisach模型的參數(shù)識別；而改進的Maxwell模型[14]可以描述非對稱的遲滯現(xiàn)象，但修改了基礎(chǔ)遲滯單元的特性導(dǎo)致參數(shù)識別過程復(fù)雜；此外，基于Bouc-Wen遲滯模型的前饋線性化控制方法簡化了Bouc-Wen模型的參數(shù)識別過程，但要求遲滯位移在線觀測器對壓電執(zhí)行器的遲滯位移進行精確觀測[15]；而基于最小二乘支持向量機的壓電作動器遲滯非線性模型是利用Preisach模型和最小二乘支持向量機的混合建模法來構(gòu)建，參數(shù)識別過程同樣繁瑣[16]。另一種方法是將系統(tǒng)的遲滯看作隨機擾動，設(shè)計具有反饋的非線性控制器來抑制擾動引起的誤差[17]，這種方法通用性強，易于實現(xiàn)，但不能根據(jù)壓電執(zhí)行器的特點做針對性的補償，控制精度無法滿足傳感器標(biāo)定需求。

本文采用前饋控制和反饋控制相結(jié)合的復(fù)合控制方法[18-19]來實現(xiàn)振動臺的驅(qū)動和復(fù)合控制。前饋控制器采用多項式擬合的遲滯模型，其參數(shù)識別簡單[20]，結(jié)合PID反饋控制器能夠?qū)崿F(xiàn)壓電執(zhí)行器的遲滯補償[21]。

1 MEMS壓電振動臺遲滯模型的建立

MEMS壓電振動臺的制作步驟詳見文獻[22]，它由四個相同的L形壓電梁和中心平臺組成，如圖1所示。其中，L形壓電梁由上層壓電陶瓷和下層硅組成，壓電陶瓷的上下表面為金屬電極，如圖2所示。梁在合理的電壓加載下產(chǎn)生變形，驅(qū)動振動臺做面外平動及定軸轉(zhuǎn)動。加速度傳感器在標(biāo)定過程中固定在中心平臺上，與平臺一起做簡諧振動。

圖1 未封裝的MEMS壓電振動臺照片F(xiàn)ig.1 The unencapsulated MEMS piezoelectric vibratory platform

圖2 MEMS壓電振動臺結(jié)構(gòu)(單位：μm)Fig.2 The structure of MEMS piezoelectric vibratory platform(unit：μm)

振動臺面外振動原理如圖3所示，圖3a為壓電振動臺變形示意圖。當(dāng)給內(nèi)圈壓電梁施加電壓U(U=asinωt)，給外圈壓電梁施加電壓-U時，中心平臺和加速度傳感器沿z軸方向做簡諧振動。提取振動臺中心O點位移發(fā)現(xiàn)，其波形存在遲滯現(xiàn)象，可能是由壓電材料的壓電遲滯特性引起，因此建立基于多項式擬合的遲滯模型對遲滯現(xiàn)象進行分析。Maxwell遲滯模型指出遲滯包含線性部分和遲滯部分[23]，三次模型是描述機械系統(tǒng)遲滯非線性的模型之一，遲滯函數(shù)f(U)[24]如下：

圖3 MEMS壓電振動臺面外振動變形示意圖Fig.3 The out of plane deformation of MEMS piezoelectric vibratory platform

f(U)=KsU-αU3+β(U′)3

(1)

式中，U′為驅(qū)動電壓導(dǎo)數(shù)，遲滯環(huán)線性部分為等式右邊第一項；Ks為線性部分系數(shù)；α、β為遲滯部分待擬合參數(shù)。

繪制量綱一電壓-位移遲滯環(huán)圖像，如圖4、圖5所示。壓電陶瓷電壓-位移遲滯環(huán)[25]表示對壓電陶瓷在極化方向上施加周期變化的電場，壓電陶瓷的變形量隨電場變化周期性改變，交變電場由施加在驅(qū)動電極上的電壓控制，電壓上升段和下降段壓電陶瓷變形量不同導(dǎo)致壓電振動臺的電壓-位移曲線呈環(huán)形。同一電壓下，壓電陶瓷的變形量在電壓上升段和下降段之差為d，如圖4所示，它的大小可以描述壓電陶瓷的遲滯量，通過改變參數(shù)β可以控制壓電陶瓷的遲滯量。同時，根據(jù)壓電陶瓷遲滯成因分析[26]得出壓電陶瓷非180°電疇轉(zhuǎn)向的不完全可逆是造成壓電陶瓷執(zhí)行器遲滯的根本原因，而不同的壓電陶瓷中非180°電疇的數(shù)量、分布不同，影響遲滯環(huán)的形狀，參數(shù)α可以描述遲滯環(huán)的形狀變化[27]，如圖5所示。

圖4 電壓-位移遲滯環(huán)(α不變)Fig.4 Dimensionless hysteresis loop(α unchanged)

圖5 電壓-位移遲滯環(huán)(β不變)Fig.5 Dimensionless hysteresis loop(β unchanged)

通過參數(shù)擬合可以得到參數(shù)α、β，并得到MEMS壓電振動臺的電壓-位移遲滯環(huán)，如圖6所示。圖6為壓電振動臺在10 V(317 Hz)正弦電壓激勵下平穩(wěn)振動后提取一個周期內(nèi)壓電振動臺的電壓和振幅數(shù)據(jù)進行參數(shù)擬合的曲線，擬合結(jié)果為Ks=1.46×10-6，α=0.411×10-6、β=1.19×10-6。

圖6 MEMS壓電振動臺擬合遲滯環(huán)Fig.6 Dimensionless hysteresis loop fitting of MEMS piezoelectric vibratory platform

2 MEMS壓電振動臺復(fù)合控制

根據(jù)振動臺機電耦合模型[22]，等效驅(qū)動力是驅(qū)動電壓的線性函數(shù)，設(shè)比例系數(shù)為Kf，則振動臺的振動方程可寫成

(2)

式中，y(t)為振動臺的位移；M為等效質(zhì)量；C為阻尼系數(shù)；K為剛度系數(shù)，ΔU為驅(qū)動電壓的幅值。

振動微分方程可以寫成離散的狀態(tài)空間形式，即

(3)

式中，X(k)為系統(tǒng)在t=kT時的狀態(tài)向量，k=0，1，2，…；T為采樣周期；u(k)為輸入向量；Y(k)為輸出向量；A、B、C分別為狀態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。

壓電振動臺復(fù)合控制原理如圖7所示。圖7中u(kT)表示復(fù)合控制器的控制量，由前饋控制器的控制量uFF(kT)和反饋控制器的控制量uFB(kT)組成[28]。按照文獻[29]設(shè)計前饋控制器，由于前饋控制器抵抗擾動的能力較弱，其擾動可能引起補償過度使控制效果降低[30]，為此引入函數(shù)G(k)來限制前饋控制器的補償量：

圖7 MEMS壓電振動臺控制原理框圖Fig.7 The control block diagram of MEMS piezoelectric vibratory platform

(4)

式中，δk為k時刻前饋控制器最大補償量。

則復(fù)合控制器的控制量u(kT)可以表示為前饋控制量和反饋控制量的疊加：

u(kT)=G(k)uFF(kT)+uFB(kT)=

G(k)uFF(kT)+uFB(kT-T)+

KP[e(kT)-e(kT-T)]+KIe(kT)+

KD[e(kT)-2e(kT-T)+e(kT-2T)]

(5)

式中，KP、KI、KD分別為PID控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；e(kT)為偏差。

由于k時刻驅(qū)動電壓為u(kT)，則通過位移傳感器得到振動臺位移為y(kT)。采用壓電遲滯模型預(yù)測k+1時刻振動臺的預(yù)測位移yp(kT+T)以及期望位移yr(kT+T)，則位移補償量φ(kT+T)等于期望位移yr(kT+T)減去預(yù)測位移yp(kT+T)，而最大電壓補償量δk與位移補償量φ(kT+T)存在線性關(guān)系：

δk=γφ(kT+T)

(6)

式中，γ為比例系數(shù)。

在有擾動的情況下，前饋控制量uFF(kT)被限制避免過度補償，反饋控制器依然能夠保證在前饋控制量被限制的情況下實現(xiàn)振動臺的連續(xù)控制。采用Simulink來仿真補償結(jié)果，輸入信號為10 V(317 Hz)的正弦電壓，仿真結(jié)果如圖8、圖9所示。仿真結(jié)果表明，函數(shù)G(k)存在時補償效果優(yōu)于不包含限制函數(shù)G(k)的遲滯補償效果。

圖8 不增加G(k)情況下振動平臺電壓-位移曲線Fig.8 The voltage-displacement curve of vibratory platform without G(k)

圖9 增加G(k)情況下振動平臺電壓-位移曲線Fig.9 The voltage-displacement curve of vibratory platform with G(k)

3 實驗驗證

完成電路設(shè)計，搭建振動臺位移檢測實驗平臺如圖10所示。實驗平臺由定位臺、固定架、壓電振動臺、位移傳感器和控制電路組成。振動臺位移檢測原理是：通過垂直腔面發(fā)射激光器(SS85-5U001)向振動臺表面發(fā)射激光束，激光束被振動臺表面的反光層反射后，由若干分布在不同位置的光敏二極管(SP85-4N001)接收并檢測光強，不同位置的光敏二極管接收到的光強不同，通過幾何光學(xué)方法得到振動臺與位移傳感器之間的距離[7]，如圖11所示。

圖10 MEMS振動臺位移檢測實驗平臺Fig.10 MEMS vibratory platform displacement detection experimental platform

圖11 MEMS振動臺位移檢測原理圖Fig.11 The schematic diagram of MEMS vibratory platform displacement detection

光學(xué)位移檢測系統(tǒng)的檢測范圍為0～500 μm，分辨力可以達到0.15 μm。實驗采用10 V(317 Hz)的正弦電壓驅(qū)動，補償前后振動臺時間-位移曲線見圖12。補償前振動臺位移與期望位移的最大誤差為1.8 μm，而補償后振動臺位移與期望位移間最大誤差小于位移傳感器的靈敏度0.15 μm。

圖12 MEMS壓電振動臺時間-位移曲線Fig.12 The displacement curve of MEMS vibratory platform

圖13為補償前后的振動臺時間-加速度曲線，補償前振動臺加速度與期望加速度的最大誤差為1.3g，補償后振動臺加速度與期望加速度的最大誤差為0.05g。

圖13 MEMS壓電振動臺時間-加速度曲線Fig.13 The acceleration curve of MEMS vibratory platform

補償后振動位移誤差為1.8 μm，振幅為14 μm，相對誤差為12.8%，振動加速度誤差為1.3g，振動臺提供的最大加速度為6.5g，相對誤差為21.6%，采用遲滯補償控制后振動臺位移相對誤差為1.07%，加速度相對誤差為0.7%。結(jié)果表明壓電陶瓷遲滯效應(yīng)是引起壓電振動臺振動位移和振動加速度誤差的重要原因之一。

同時增加前饋控制器閾值函數(shù)G(k)可以有效地提高補償效果，圖14為振動臺在補償前后電壓-位移對比曲線，可以看出，增加前饋控制器閾值函數(shù)G(k)后，補償結(jié)果優(yōu)于未增加閾值函數(shù)G(k)的結(jié)果。

圖14 補償前后MEMS壓電振動臺電壓-位移曲線Fig.14 The voltage-displacement curve of MEMS vibratory platform before and after compensation

4 結(jié)論

(1)振動臺時間-位移曲線的遲滯現(xiàn)象主要由壓電材料的遲滯特性引起。

(2)振動臺的振動位移遲滯引起的誤差在微米量級，對振動臺振動加速度的影響較為嚴(yán)重。壓電遲滯引起的振動臺加速度誤差為1.3g，振動臺提供的最大加速度為6.5g，其相對誤差為21.6%。

(3)基于多項式擬合的遲滯建模方法能夠在避免復(fù)雜參數(shù)識別的情況下對壓電振動臺的遲滯進行較準(zhǔn)確的描述。

(4)復(fù)合控制方法適用于MEMS壓電振動臺的控制和遲滯補償，并成功將振動臺振動加速度誤差從1.3g降到0.05g，相對誤差降低到1%以內(nèi)。