一種改進(jìn)的基于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)的α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型?

邱安洪（清華大學(xué)微納電子系，北京100084）

一種改進(jìn)的基于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)的α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型?

邱安洪
（清華大學(xué)微納電子系，北京100084）

提出了一種改進(jìn)的基于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)的α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型，它假設(shè)當(dāng)目標(biāo)在某一時(shí)刻發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，其下一時(shí)刻發(fā)生機(jī)動(dòng)的取值是有限的。因此它在建立目標(biāo)機(jī)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模型時(shí)，就沒有必要考慮機(jī)動(dòng)的所有值。為提高對機(jī)動(dòng)目標(biāo)的位置跟蹤精度，采取了在傳統(tǒng)α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的均值，即對目標(biāo)急動(dòng)進(jìn)行非零均值建模，并和α-jerk目標(biāo)模型仿真對比，仿真結(jié)果表明，新算法不僅能夠?qū)崟r(shí)估計(jì)參數(shù)α的值，而且與α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型相比，其收斂速度更快，對目標(biāo)位置的狀態(tài)估計(jì)更精確

機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤；當(dāng)前統(tǒng)計(jì)α-jerk模型；α-jerk模型；收斂速度；狀態(tài)估計(jì)

1 引言

1960年，Kalman對線性系統(tǒng)的估值問題提出了經(jīng)典的濾波算法，即Kalman濾波，隨后，Kalman濾波在雷達(dá)目標(biāo)跟蹤、導(dǎo)航和測繪中得到了廣泛的應(yīng)用。建立目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)Kalman濾波的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是實(shí)現(xiàn)目標(biāo)精確跟蹤的基礎(chǔ)。自20世紀(jì)70年代后，國內(nèi)外學(xué)者就機(jī)動(dòng)目標(biāo)建模上提出很多富有效果的模型。如1970年Singer［1］提出的一階加速度時(shí)間相關(guān)的Singer模型，1982年Bar-shalom和Birmiwal提出的的含機(jī)動(dòng)檢測的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤模型［2］，以及1984年我國學(xué)者周宏仁在Singer模型基礎(chǔ)上提出的目標(biāo)機(jī)動(dòng)的當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型［3］。上述文獻(xiàn)是在目標(biāo)的加速度級進(jìn)行建模。1997年，Mehrotra提出了機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的jerk模型［4］，首次對目標(biāo)加速度的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行建模，擴(kuò)大了目標(biāo)建模的階數(shù)，并具有良好的跟蹤效果。在這些模型中，對機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)α的取值是預(yù)先人為設(shè)定的，在缺乏對目標(biāo)的了解下，會造成誤差，而且α可能是時(shí)變的。所以文獻(xiàn)［5］在jerk模型的基礎(chǔ)上對α進(jìn)行建模，實(shí)現(xiàn)α的自適應(yīng)。

傳統(tǒng)的α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型對目標(biāo)jerk的建模是基于零均值模型，該模型假設(shè)當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)jerk的值和上一時(shí)刻目標(biāo)jerk的值不相關(guān)，這也就考慮了當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)jerk取值的所有可能性，而在實(shí)際中，常?？紤]目標(biāo)jerk的當(dāng)前可能性，即當(dāng)目標(biāo)現(xiàn)時(shí)以某一jerk機(jī)動(dòng)時(shí)，其在下一瞬時(shí)jerk的取值是有限的，而且只能在“當(dāng)前”jerk的鄰域內(nèi)，因此，在描述目標(biāo)jerk的概率密度時(shí)，完全沒有必要考慮目標(biāo)jerk的所有可能性。基于上述考慮，本文結(jié)合jerk模型對距離的三階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行建模，同時(shí)考慮到αjerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型［5］采用零均值的缺陷，對目標(biāo)機(jī)動(dòng)采用非零均值時(shí)間相關(guān)模型，在α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上增加目標(biāo)jerk的均值，對改進(jìn)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型和傳統(tǒng)α-jerk目標(biāo)模型進(jìn)行仿真對比，并結(jié)合仿真結(jié)果，重點(diǎn)分析兩種模型對運(yùn)動(dòng)目標(biāo)位置的跟蹤性能。

2 目標(biāo)機(jī)動(dòng)的非零均值時(shí)間相關(guān)模型

在文獻(xiàn)［4］中，Mehrotra對距離的三階導(dǎo)數(shù)·x·定義為目標(biāo)的急動(dòng)（即jerk），并根據(jù)Singer的加速度時(shí)間相關(guān)模型［1］，假設(shè)目標(biāo)的jerk變化是相關(guān)的，并且定義目標(biāo)jerk的相關(guān)函數(shù)為

根據(jù)Wiener-Kolmogorov白化過程，對式（1）中的機(jī)動(dòng)時(shí)間相關(guān)函數(shù)rj（τ）進(jìn)行Laplace變換，可得

根據(jù)成形濾波器理論可知，H（s）是目標(biāo)機(jī)動(dòng)j（t）的傳遞函數(shù)，W（s）是白噪聲W（t）的傳遞函數(shù)。由式（3）和式（4）可得如下方程：

式中，w（t）是零均值白噪聲，其相關(guān)函數(shù)為

由式（5）可知，j（t）表示的是零均值時(shí)間相關(guān)模型，即為傳統(tǒng)α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型，然而在實(shí)際中，當(dāng)目標(biāo)正以某一jerk進(jìn)行狀態(tài)變化時(shí)，它在下一瞬時(shí)的jerk取值范圍是有限的，它只能在“當(dāng)前”jerk的鄰域內(nèi)，因此在描述目標(biāo)jerk的概率密度時(shí)，完全沒有必要考慮目標(biāo)jerk的所有可能性，可以采用修正的機(jī)動(dòng)瑞利密度函數(shù)，其均值是“當(dāng)前”jerk，即jerk的非零均值時(shí)間相關(guān)模型。其修正的瑞利密度分布函數(shù)為

式中，jmax為目標(biāo)jerk的最大值，j為目標(biāo)的jerk，u＞0為一常數(shù)。在瑞利分布概率密度下，目標(biāo)jerk的均值為

一般來說，可以預(yù)知目標(biāo)機(jī)動(dòng)的最大值jmax。因此當(dāng)測得目標(biāo)jerk的均值時(shí)，可以求出

而目標(biāo)jerk的方差為

可以看出，只要求出目標(biāo)jerk的均值，就可以相應(yīng)的獲得目標(biāo)jerk的方差，將此方差代入卡爾曼濾波方程中，即可獲得方差自適應(yīng)濾波算法。

根據(jù)估值理論，在所關(guān)心的每一目標(biāo)當(dāng)前模型情況下，目標(biāo)jerk的均值ˉj就是在觀察量y（t）下的條件均值，即狀態(tài)變量j（t）的最佳線性估計(jì)值，所以

由上述可知，機(jī)動(dòng)目標(biāo)的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的采用使我們只需要考慮當(dāng)前具體的目標(biāo)jerk的概率分布，因此模型會比較準(zhǔn)確。而采用修正的瑞利分布則在目標(biāo)jerk和其均值之間建立了適當(dāng)?shù)穆?lián)系，使得自適應(yīng)濾波算法易于實(shí)現(xiàn)。

同時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)參數(shù)α的自適應(yīng)，α可以表示為非零均值白噪聲。又有白噪聲的導(dǎo)數(shù)仍為白噪聲，于是˙α可以表示為一零均值白噪聲。對α進(jìn)行建模為˙α=ε（t），其中ε（t）為零均值白噪聲。同時(shí)ε（t）和w（t）互不相關(guān)。則根據(jù)式（14）可以得出目標(biāo)的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程為

K時(shí)刻的量測方程為

其中，中，H = [ 10000]；V（K）為零均值白噪聲，并且與狀態(tài)噪聲W（t）互不相關(guān)。

3 當(dāng)前統(tǒng)計(jì)的α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型

對式（16）的連續(xù)時(shí)間方程進(jìn)行離散化處理后可得X（k+1）=F（k+1，k）X（k）+U（k）ˉj+W（k）（19）

其中：

F（k+1，k）是從tk到tk+1時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。U（k）是輸入矩陣，W（k）是離散后的白噪聲向量?！為目標(biāo)狀態(tài)的預(yù)測，其值為ˉj=｜k）。

其中：

狀態(tài)噪聲W（K）的協(xié)方差為

對于式（21）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，當(dāng)α→0時(shí)，說明目標(biāo)作高速機(jī)動(dòng)，則有

4 仿真分析

為簡單起見，在仿真中，我們考慮一維直角坐標(biāo)的情況。同時(shí)，考慮到改進(jìn)的算法涉及到非線性處理，為提高非線性處理精度，采用UKF（無跡卡爾曼濾波）算法［6］進(jìn)行濾波。其參數(shù)為，采樣周期T= 1 s，采樣點(diǎn)數(shù)為200，量測噪聲方差R=10 000m2，輸入白噪聲ε（t）的標(biāo)準(zhǔn)差為1，目標(biāo)機(jī)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差為σj=0.4，目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示。

圖2和圖3中，點(diǎn)劃線表示采用傳統(tǒng)α-jerk模型的位置估計(jì)誤差，實(shí)線表示本文提出的基于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)α-jerk模型的位置估計(jì)誤差。圖2和圖3分別為取α=0.1和α=100兩種情況，分別對應(yīng)目標(biāo)強(qiáng)機(jī)動(dòng)和弱機(jī)動(dòng)情況，從圖中可以看出由于兩種算法都實(shí)現(xiàn)了α的自適應(yīng)，能夠比較精確地跟蹤目標(biāo)的位置。相比于α-jerk目標(biāo)模型，采用當(dāng)前統(tǒng)計(jì)α-jerk模型的跟蹤算法對目標(biāo)的位置跟蹤更加精確，相比于α-jerk目標(biāo)模型的誤差要小，也更加小，收斂速度要快。這是因?yàn)楦倪M(jìn)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型。采用了對目標(biāo)機(jī)動(dòng)的均值估計(jì)，使其對目標(biāo)機(jī)動(dòng)的取值在有限范圍內(nèi)進(jìn)行預(yù)測，濾波誤差比α-jerk模型的濾波誤差小。仿真結(jié)果表明基于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)的α-jerk目標(biāo)模型對目標(biāo)跟蹤更穩(wěn)定。

5 結(jié)論

由于目標(biāo)在發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，其急動(dòng)值j（t）的取值范圍是一定的，本文采用目標(biāo)jerk的非零均值時(shí)間相關(guān)模型，將目標(biāo)的jerk表示為修正的瑞利-馬爾科夫過程，并以此為基礎(chǔ)對機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行建模，仿真結(jié)果表明，基于當(dāng)前統(tǒng)計(jì)的α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型在強(qiáng)機(jī)動(dòng)（α=0.1）和弱機(jī)動(dòng)（α=100）情況下的自適應(yīng)跟蹤性能比α-jerk目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型好，濾波誤差小，跟蹤精確度高。實(shí)際目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)是在二維或者是三維場景中，往往各維之間相互關(guān)聯(lián)，在進(jìn)行濾波處理時(shí)，需對各維進(jìn)行解耦合操作，然后在各維分別運(yùn)用改進(jìn)的算法進(jìn)行濾波處理。對高維的目標(biāo)解耦合是需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

［1］Singer R A.Estimating Optimal Tracking Filter Performance for Manned Maneuvering Targets［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1970，6（7）：473-483.

［2］Bar-ShaloMY，Birmiwal K.Variable Dimension Filter for Maneuvering Target Tracking［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1982，18（9）：621-630.

［3］Zhou H，Kumar K SP.A“Current”Statistical Model and Adaptive AlgorithMfor Estimating maneuvering Targets［J］. AIAA Journal of Guidance，1984，7（5）：596-602.

［4］Mehrotra K，Mahapatra PR.A Jerk Model for Tracking Highly Maneuvering Targets［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1997，33（4）：1094-1105.

［5］Luo X B，Wang H Q，LiX.Anα-jerk Model for Tracking Maneuvering Targets［J］.Signal Processing，2007，23（4）：481-484.

［6］朱安福，景占榮，羊彥，等.UKF及其在目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用［J］.火力與指揮控制，2008，33（8）：27-29. ZHU An-fu，JING Zhan-rong，YANG Yan，et al.UKF and Its Application to Target Tracking［J］.Fire Control＆Command Control，2008，33（8）：27-29.（in Chinese）

An Improved Target Maneuver Model Based on Current-Staticalα-jerk

QIU An-hong
（Institute of Micro-Electronics，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

An improved current-staticalα-jerkmaneuvering targetmodel is proposed.It assumes thatwhen a target ismaneuveringwith a certain jerk atpresent，the region of jerk which can be taken in the next instant is limited.Therefore，it is unnecessary to take all of the jerk values of targets into account during the establishment of statisticalmodel ofmaneuvering.To improve the position accurancy in trackingmaneuvering targets，amean value of jerk is added compared withα-jerk model，that is，modeling the jerk based on the none zero-mean value. The simulation result shows that the proposed algorithMcan adaptively estimate the value of parameterαand convergesmore quickly and has lower estimation error in position compared withα-jerkmaneuvermodel.

maneuvering target tracking；current-staticalα-jerk model；α-jerk model；convergency speed；state estimation

the B.S.degree in 2009.He isnoWa graduate student.His research concerns radar signal processing and embedded system.

1001-893X（2012）11-1832-05

2012-04-26；

2012-06-04

TN953

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.11.025

邱安洪（1986—），男，江西贛州人，2009年獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)信號處理及嵌入式系統(tǒng)。

Email：myqiu1986＠163.com

QIU An-hong was born in Ganzhou，Jiangxi Province，in 1986.He