基于多子網(wǎng)復合復雜網(wǎng)絡模型的級聯(lián)失效研究

賈寧 賓晟 孫更新

摘要：針對目前耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效的研究方法僅限于單個關系的問題，根據(jù)多子網(wǎng)復合復雜網(wǎng)絡模型構建復合網(wǎng)絡，結合多種關系研究了復合網(wǎng)絡級聯(lián)失效問題，考察在不同影響因素下，網(wǎng)內關系和加載關系對網(wǎng)絡魯棒性的影響。研究結果表明，網(wǎng)內關系和加載關系共同影響著網(wǎng)絡級聯(lián)失效的過程及規(guī)模，復合網(wǎng)絡中兩子網(wǎng)拓撲結構不同，網(wǎng)內關系對網(wǎng)絡的影響不同;加載關系強度占比越大，網(wǎng)絡魯棒性越強。關系強度比例對網(wǎng)絡故障規(guī)模存在決定性影響。

關鍵詞：級聯(lián)失效，耦合網(wǎng)絡，多關系網(wǎng)絡，多子網(wǎng)復合復雜網(wǎng)絡模型，魯棒性

中圖分類號：TP391

文獻標志碼：A

文章編號：1006-1037（2021）03-0028-10

隨著科學技術的進步，系統(tǒng)科學[1-3]蓬勃發(fā)展，給人們帶來了巨大便利。由于網(wǎng)絡自身存在脆弱性，在蓄意攻擊和隨機失效的打擊下很容易發(fā)生級聯(lián)失效事故。例如2003年意大利全國大停電事故[4]，2008年中國南方電力網(wǎng)絡崩潰事故[5]和因擁堵造成的互聯(lián)網(wǎng)崩潰事故[6]等，研究發(fā)現(xiàn)這類事故都是由故障通過耦合關系在網(wǎng)絡之間反復傳播，導致網(wǎng)絡大面積癱瘓，所以耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效的研究對于維持網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定具有重要意義。Buldyrev等[7]以雙層一對一耦合的網(wǎng)絡為例，發(fā)現(xiàn)耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效現(xiàn)象不同于單個網(wǎng)絡，開啟了耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效研究的先河。目前耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效的研究主要分為三類：基于兩側節(jié)點一對一耦合的網(wǎng)絡[7-19]、一對多和多對多耦合的網(wǎng)絡[20-25]。對于兩側節(jié)點一對一耦合的網(wǎng)絡，Chen等[8]研究了不同的耦合方式對耦合網(wǎng)絡魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)異配耦合方式下網(wǎng)絡魯棒性最優(yōu);李甍娜等[9]研究了在負載作用下不同耦合方式的相依網(wǎng)絡魯棒性，發(fā)現(xiàn)同配耦合方式下網(wǎng)絡魯棒性最強;陳世明等[10]研究了不同耦合比例和耦合強度對耦合網(wǎng)絡的魯棒性影響，提出了構建全局同質化的耦合模式，有效改善了耦合網(wǎng)絡魯棒性;楊程成等[11]研究了耦合網(wǎng)絡在耦合關系變化下的魯棒性，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡之間度數(shù)相似的節(jié)點耦合概率越大，網(wǎng)絡魯棒性越高;陳世明等[12]以一對一全耦合和部分耦合的網(wǎng)絡模型為例，分別提出了低相對介數(shù)內加邊策略和低相對介數(shù)耦合加邊策略，顯著提升了耦合網(wǎng)絡的魯棒性。關于兩側節(jié)點一對多和多對多耦合的網(wǎng)絡，Shao等[20]提出了具有多個支持依賴關系的耦合網(wǎng)絡模型，發(fā)現(xiàn)與一對一相互依存關系相比具有更高的魯棒性;Fu等[21]研究了耦合網(wǎng)絡中依賴關系的方向性、冗余性和依賴程度對魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)基于有向依賴的網(wǎng)絡魯棒性要低于無向依賴的網(wǎng)絡魯棒性。陳世明等[22]基于典型的復雜網(wǎng)絡拓撲模型，建立了對稱和非對稱的耦合網(wǎng)絡模型，研究了網(wǎng)絡魯棒性與耦合強度之間的關系，發(fā)現(xiàn)提高或減小耦合強度，網(wǎng)絡魯棒性不會單調地增強或下降。彭興釗等[23]，提出了耦合邊和內部邊與初始負載相關聯(lián)的級聯(lián)失效模型，發(fā)現(xiàn)當外部度和內部度對負荷貢獻比達到一定值時， 網(wǎng)絡魯棒性最強。綜上所述，目前耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效的研究都基于層次網(wǎng)絡模型，描述了多類個體及其層間的相互關系，僅能描述具有層次關系的對象問題，無法描述處于同一層次且彼此具有多種關系的個體，在現(xiàn)實中，系統(tǒng)的個體之間不只存在層次關系，而多子網(wǎng)復合復雜網(wǎng)絡模型可以描述不同類個體間的關系以及同類個體間的多種關系，基于該模型，結合多種關系提出了復合網(wǎng)絡級聯(lián)失效的研究，重點考察在不同影響因素下，網(wǎng)內關系和加載關系對網(wǎng)絡魯棒性的影響。

1 模型構建

1.1 復合網(wǎng)模型

根據(jù)多子網(wǎng)復合復雜網(wǎng)絡模型[26]初始構建的兩個向量復合網(wǎng)分別用ΣA=（GA，SA，MA）和ΣB=（GB，SB，MB）表示，其中GA=（VA，EA，RA，F(xiàn)A），GB=（VB，EB，RB，F(xiàn)B），GA和GB表示復合網(wǎng)A和B，VA和VB表示節(jié)點集合，EA和EB表示連邊集合，RA和RB表示復合網(wǎng)內的節(jié)點之間相互作用關系的集合，F(xiàn)A和FB表示連邊和關系的映射，其中，F(xiàn)A∶EA→RA，SA和SB表示復合網(wǎng)A和B的關系強度向量空間，MA和MB表示連邊和關系強度向量空間的映射，其中MA∶EA→SA。

1.2 耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型

本文以容量—負載模型及兩側節(jié)點一對一耦合的網(wǎng)絡為例，構建典型的耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型。

首先構建兩個子網(wǎng)絡，分別記為網(wǎng)絡A和網(wǎng)絡B，節(jié)點總數(shù)分別為NA和NB，每個子網(wǎng)絡中節(jié)點的內部連接定義為連接邊，網(wǎng)絡A與網(wǎng)絡B之間的節(jié)點連接定義為耦合邊，令網(wǎng)絡A和B之間的節(jié)點一對一隨機耦合且相互依賴。

節(jié)點度衡量了節(jié)點在網(wǎng)絡中的重要程度，度大的節(jié)點往往承載大量的負載，節(jié)點vh的初始負載根據(jù)度函數(shù)來定義

其中，Lvh（0）表示節(jié)點vh的初始負載，kvh為節(jié)點的度，α，β（α，β1）是可調參數(shù)，控制初始負載的強度。

節(jié)點容量衡量了每個節(jié)點可承受負載的大小，節(jié)點容量越大，越不容易過載失效，整個網(wǎng)絡抵御級聯(lián)失效的能力越強。節(jié)點容量定義與初始負載呈正相關

其中，λ（λ>0）表示容限系數(shù)，λ越大節(jié)點容量越大，其抵御級聯(lián)失效的能力越強，但相應的成本也越高。

假設網(wǎng)絡A中節(jié)點遭受攻擊而失效后，其自身負載會根據(jù)一定的比例分配給鄰居節(jié)點，節(jié)點vh為失效節(jié)點，節(jié)點vl為該節(jié)點的一個鄰居，本文以局部擇優(yōu)分配方式為例，令失效節(jié)點分配給鄰居節(jié)點的負載為

其中，Γvh表示節(jié)點vh鄰居節(jié)點的集合，△Lvhvl表示節(jié)點vh分配給節(jié)點vl的負載量。

當節(jié)點vl所接收的負載加上它的初始負載大于自身容量

節(jié)點vl失效，負荷進一步重新分配，將負載重分配給鄰居節(jié)點，節(jié)點vl接收到分配過來的負載后過載失效，其負載繼續(xù)分配給它的鄰居節(jié)點，故障在網(wǎng)絡A中傳播開來。節(jié)點失效后將失去全部耦合邊，由于網(wǎng)絡A與B相互依賴，如果網(wǎng)絡B中節(jié)點在網(wǎng)絡A中的耦合節(jié)點全部故障，則節(jié)點失效，根據(jù)式（3）將自身負載傳遞給鄰居節(jié)點，如果鄰居節(jié)點過載失效，則故障從網(wǎng)絡A傳播到網(wǎng)絡B中，反過來，當網(wǎng)絡A中節(jié)點在網(wǎng)絡B中的耦合節(jié)點全部失效時，節(jié)點故障，其自身負載傳遞給鄰居節(jié)點，故障從網(wǎng)絡B傳回網(wǎng)絡A中，該過程循環(huán)，當整個網(wǎng)絡沒有節(jié)點故障時，級聯(lián)失效過程結束，如圖2所示。

在圖2中，左側為網(wǎng)絡A的節(jié)點，右側為網(wǎng)絡B的節(jié)點，網(wǎng)絡內部的節(jié)點之間都存在連邊，網(wǎng)絡A和B的節(jié)點之間只存在一條耦合邊。圖2（a）在初始狀態(tài)下，整個網(wǎng)絡處于穩(wěn)定狀態(tài);圖2（b）網(wǎng)絡A中的節(jié)點A4遭受攻擊，移除節(jié)點A4所有的連邊，網(wǎng)絡B中的節(jié)點B4失去所有耦合邊后失效。將節(jié)點A4與B4的負荷沿著虛線以及根據(jù)式（3）的負荷分配規(guī)則分別分配到各自的鄰居節(jié)點中。圖2（c），假設只有節(jié)點B5過載失效，移除該節(jié)點的全部連邊，節(jié)點A5因失去節(jié)點B5的耦合邊而失效。圖2（d）所有節(jié)點均有耦合邊，且承受負荷均小于容量，級聯(lián)失效停止，耦合網(wǎng)絡達到穩(wěn)定狀態(tài)。

1.3 復合網(wǎng)級聯(lián)失效建模

與基于層次網(wǎng)絡模型的級聯(lián)失效建模不同，復合網(wǎng)級聯(lián)失效建模不光要考慮不同類個體間的關系，還要考慮到同類個體間的多種關系。如果把節(jié)點間的關系看作線路，則負載的傳輸會經(jīng)過不同的線路，其中，每條線路都存在流量限制，表示單位時間內負載通過該線路的負載量，通常流量與連邊兩端節(jié)點的度呈正相關，設連邊vhvl關于關系ri的流量為

節(jié)點承載負荷的大小受網(wǎng)內關系的影響，與流量呈正相關，由于存在加載關系的影響，只考慮網(wǎng)內關系不合適。通常情況下，當與節(jié)點帶有加載關系的連邊數(shù)量越多，且這些節(jié)點的網(wǎng)內關系度越大，節(jié)點承擔的負載越大，所以定義子網(wǎng)A內節(jié)點vh的初始負載

節(jié)點容量的大小受節(jié)點間多種關系的影響，初始負載的定義通過流量描述了關系對節(jié)點的影響，所以節(jié)點容量仍與初始負載相關聯(lián)，故采用式（2）定義。相關文獻的負載重分配策略普遍使用局域擇優(yōu)重分配，由于該方法不能識別關鍵節(jié)點，很容易導致橋節(jié)點失效，產(chǎn)生更嚴重的損壞，所以本文提出根據(jù)節(jié)點重要性來分配負載，節(jié)點越重要，分配的負載越少，反之越多，首先定義連邊vhvl關于關系ri的重要性

其中，privhvl表示由連邊vhvl根據(jù)關系ri組成的三角形數(shù)量。

如果要判斷節(jié)點vh關于關系ri重要性，不僅要考慮連邊的重要程度，也要考慮節(jié)點vl對連邊vhvl的重要程度，定義erivhvl（vl）

假設子網(wǎng)A中節(jié)點vh因遭受攻擊而失效，設節(jié)點vl為其在子網(wǎng)A中的一個鄰居，則失效節(jié)點分配給節(jié)點vl的負載

則節(jié)點故障，其自身負載根據(jù)上述方式分配給它的鄰居節(jié)點，故障在子網(wǎng)A中傳播開來。如果向量復合網(wǎng)中只存在子網(wǎng)絡A和B，且加載關系為子網(wǎng)絡B單向依賴于A，則當子網(wǎng)B中節(jié)點在子網(wǎng)A中與加載關系相連的節(jié)點全部故障時，則該節(jié)點失效，同理，其自身負載根據(jù)式（9）傳遞給它的鄰居節(jié)點，故障從子網(wǎng)A傳播到子網(wǎng)B中，直到子網(wǎng)B中沒有節(jié)點失效為止，該過程如圖3所示。

子網(wǎng)A中節(jié)點A5遭受攻擊而失效，其自身負載根據(jù)網(wǎng)內關系分配給它的鄰居節(jié)點，同時斷開與該節(jié)點相連的帶有加載關系的連邊，子網(wǎng)B中節(jié)點B4因失去全部帶有加載關系的連邊而失效，其自身負載根據(jù)網(wǎng)內關系分配給它的鄰居節(jié)點。

綜上所述，可以看出一個節(jié)點發(fā)生故障的原因：網(wǎng)內關系導致的傳播故障以及加載關系導致的故障。

為了更好的描述整個網(wǎng)絡中每個節(jié)點的狀態(tài)，本文對每個節(jié)點定義一個過載函數(shù)值Gk，相當于對每個節(jié)點分配一個動態(tài)權重，表示節(jié)點過載的難度，假設網(wǎng)絡中每個節(jié)點只有‘正?！汀А瘍煞N狀態(tài)，1表示所有節(jié)點處于正常狀態(tài)，0表示節(jié)點處于失效狀態(tài)，所以節(jié)點v的過載函數(shù)設為

即不用移除節(jié)點就能顯示整個網(wǎng)絡的狀態(tài)。

初始僅僅攻擊子網(wǎng)A中的一個節(jié)點，并在級聯(lián)失效結束后計算CFv（這里的CFv表示為由節(jié)點v所導致的失效節(jié)點數(shù)量），顯然，0≤CFv≤N-1，為了量化整個網(wǎng)絡的魯棒性，攻擊子網(wǎng)絡A中全部節(jié)點，再將失效節(jié)點數(shù)量進行歸一化處理

其中，CFv=FA+FB，F(xiàn)A表示級聯(lián)失效結束后子網(wǎng)A失效節(jié)點總和，F(xiàn)B表示子網(wǎng)B失效節(jié)點總和，S為移除子網(wǎng)A中所有節(jié)點導致的整個網(wǎng)絡失效節(jié)點總和的歸一化處理值，即網(wǎng)絡損壞規(guī)模。S越大網(wǎng)絡抵御級聯(lián)失效的能力越弱，S越小網(wǎng)絡抵御級聯(lián)失效的能力越強，網(wǎng)絡魯棒性越強。

2 仿真分析

在實驗中，首先構建復合網(wǎng)絡A和B，網(wǎng)內關系分別設為r1和r2，以復合網(wǎng)A為基底網(wǎng)，在加載關系r3下，將復合網(wǎng)A加載到B中，其加載關系為子網(wǎng)絡B單向依賴于A，構建新的向量復合網(wǎng)，以該網(wǎng)絡為例，攻擊子網(wǎng)絡A中每一個節(jié)點，將失效節(jié)點數(shù)量進行歸一化處理得出S值，如式（13），通過調節(jié)節(jié)點的容忍系數(shù)λ和選取不同的關系強度比例參數(shù)sf1：sf2：sf3來進行仿真實驗，重點考察在不同影響因素下，關系強度對復合網(wǎng)的影響，本文根據(jù)上述建立的級聯(lián)失效模型，考慮過載失效和加載關系失效兩種模式，制定了模擬復合網(wǎng)級聯(lián)失效過程的算法：

a）攻擊子網(wǎng)A中的節(jié)點v使其失效，將該節(jié)點的過載函數(shù)值記為“0”，并找出與v相連的鄰居節(jié)點;

b）對節(jié)點v和其鄰居節(jié)點的負荷進行重分配，有節(jié)點過載則將其過載函數(shù)記為“0”;

c）找出子網(wǎng)A中的失效節(jié)點;

d）找出其中一個失效節(jié)點的全部鄰居節(jié)點，對失效節(jié)點和其鄰居節(jié)點進行負載重分配，其中，過載函數(shù)值為“0”的節(jié)點不再接受外來負荷，有節(jié)點過載則將其記為“0”;

e）重復步驟c）～d），直到?jīng)]有節(jié)點失效;

f）計算整個網(wǎng)絡中失效節(jié)點的數(shù)目記為FA;

g）找出子網(wǎng)B中與子網(wǎng)A有加載關系連接的節(jié)點，如果該節(jié)點在子網(wǎng)A中帶有加載關系相連的節(jié)點全部失效，則將其過載函數(shù)記為“0”;

h）找出子網(wǎng)B中的失效節(jié)點;

i）對子網(wǎng)B中的一個失效節(jié)點及其鄰居節(jié)點進行負載重分配，其中，過載函數(shù)值為“0”的節(jié)點不再接受外來負荷，節(jié)點失效后將其記為“0”;

j）重復步驟h）～i），直到?jīng)]有節(jié)點失效;

k）計算整個網(wǎng)絡中失效節(jié)點的數(shù)目記為FB;

l）重復步驟a）～k），直到完成對子網(wǎng)A中每個節(jié)點進行一次攻擊，計算復合網(wǎng)的故障規(guī)模S。

2.1 拓撲結構不同條件下網(wǎng)內關系對網(wǎng)絡的影響

在網(wǎng)絡中，如果每個子網(wǎng)的拓撲結構不同，在節(jié)點間關系強度作用下，網(wǎng)絡中發(fā)生的故障現(xiàn)象不同于以往的研究，由于實際網(wǎng)絡系統(tǒng)傾向于WS小世界網(wǎng)絡和BA無標度網(wǎng)絡，因此為了探究在網(wǎng)內關系拓撲結構不同條件下，關系強度對網(wǎng)絡級聯(lián)失效的影響，本文根據(jù)上述網(wǎng)絡拓撲分別進行對比實驗。

首先，構建節(jié)點總數(shù)為200，子網(wǎng)絡A和B平均度為2的復合網(wǎng)，令兩子網(wǎng)節(jié)點之間隨機建立加載關系，加載關系平均度為2，設參數(shù)α=β=1。S代表魯棒性測度，如式（13），λ表示節(jié)點的容忍系數(shù)，如式（2），當關系強度比例參數(shù)取不同值時，得出的S-λ曲線如圖4所示。

在圖4（a）中，隨著網(wǎng)內關系r1，r2關系強度占比的縮小，網(wǎng)絡魯棒性隨之增強;反之，二者關系強度占比增大時，網(wǎng)絡魯棒性下降;其中，關系r1對網(wǎng)絡作用明顯，當關系強度占比足夠小時，網(wǎng)絡魯棒性最強。在圖4（b）中，調節(jié)網(wǎng)內關系r1，r2強度占比，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡故障規(guī)模變化微小，說明在拓撲結構為BA-BA的網(wǎng)絡中，網(wǎng)內關系對網(wǎng)絡沒有影響。在圖4（c）中，減小網(wǎng)內關系r1強度占比，網(wǎng)絡魯棒性明顯增強;而關系強度比為1∶1∶1、1∶0.1∶1、1∶10∶1的曲線相互重合，關系r2對網(wǎng)絡沒有影響。說明在WS-BA的網(wǎng)絡中，除加載關系外，網(wǎng)絡故障規(guī)模受提供依賴關系的子網(wǎng)影響。在圖4（d）中，增大網(wǎng)內關系r2強度占比，網(wǎng)絡魯棒性明顯增強;而增大和減小關系r1的強度占比，其曲線和關系強度比例為1∶1∶1的曲線重合。說明在BA-WS的網(wǎng)絡中，除加載關系外，網(wǎng)絡故障規(guī)模受被提供依賴關系的子網(wǎng)影響。

2.2 拓撲結構不同條件下加載關系對網(wǎng)絡的影響

上述實驗主要探究了網(wǎng)內關系對網(wǎng)絡的影響，與此同時，子網(wǎng)之間存在加載關系，加載關系強度越強，節(jié)點受其它子網(wǎng)的影響越大，網(wǎng)絡中發(fā)生的故障現(xiàn)象會有所不同。因此為了探究在拓撲結構不同條件下，加載關系對網(wǎng)絡級聯(lián)失效的影響，本文根據(jù)WS，BA的網(wǎng)絡拓撲結構，以不同的組合分別進行實驗。

首先，構建節(jié)點總數(shù)為200，子網(wǎng)絡A和B平均度為2的復合網(wǎng)，令兩子網(wǎng)節(jié)點之間隨機建立加載關系，加載關系平均度為2，設參數(shù)α=β=1，當加載關系強度占比取不同值時，得出的S-λ曲線如圖5所示。

在圖5（a），（c），（d）中，隨著加載關系r3強度占比的增大，網(wǎng)絡魯棒性隨之增強，說明加載關系有利于網(wǎng)絡魯棒性的提高;在，5（b）中，增大加載關系強度占比，網(wǎng)絡變化微小，說明在BA-BA的網(wǎng)絡中，加載關系對網(wǎng)絡沒有影響。因此在現(xiàn)實中，為了提高網(wǎng)絡抵御級聯(lián)失效的能力，要盡可能地增強子網(wǎng)間的影響力。

2.3 網(wǎng)內關系平均度不同條件下網(wǎng)內關系和加載關系對網(wǎng)絡的影響

網(wǎng)絡平均度越大，網(wǎng)絡魯棒性越強。復合網(wǎng)是由多個子網(wǎng)絡復合而成的，如果每個子網(wǎng)的網(wǎng)內關系平均度不同，在關系強度作用下，網(wǎng)絡中發(fā)生的級聯(lián)失效現(xiàn)象會出現(xiàn)不同的性質，因此為了進一步研究，在兩個平均度取不同值的子網(wǎng)絡構成的網(wǎng)絡中分別進行實驗。

首先，構建拓撲結構為WS的子網(wǎng)絡A和B，子網(wǎng)絡節(jié)點總數(shù)都為200的復合網(wǎng)，參數(shù)α，β為1，令兩子網(wǎng)節(jié)點之間隨機建立加載關系，加載關系平均度為2，子網(wǎng)的網(wǎng)內平均度分別設為2，4，6，根據(jù)不同的組合，當關系強度比例參數(shù)取不同值時，得出的S-λ曲線如圖6所示。

可知，無論網(wǎng)內關系平均度取何值，加載關系強度占比越大，網(wǎng)絡魯棒性越強。在圖6（a）和（b）中，關系r1強度占比越小，網(wǎng)絡魯棒性越強;關系r2強度占比為0.1和10的曲線幾乎重合，說明子網(wǎng)B網(wǎng)內關系平均度大于子網(wǎng)A時，關系r2對網(wǎng)絡沒有影響。在圖6（c）和（d）中，關系r2強度占比越小，網(wǎng)絡魯棒性越強;關系r1的曲線相重合，說明子網(wǎng)B網(wǎng)內關系平均度小于子網(wǎng)A時，關系r1對網(wǎng)絡沒有影響。

下層子網(wǎng)平均度大于上層子網(wǎng)時，上層子網(wǎng)關系強度占比越小網(wǎng)絡魯棒性越強，下層子網(wǎng)的網(wǎng)內關系對網(wǎng)絡沒有影響。反之，下層子網(wǎng)關系強度占比越小網(wǎng)絡魯棒性越強，上層子網(wǎng)的網(wǎng)內關系對網(wǎng)絡沒有影響。

2.4 加載關系平均度不同條件下網(wǎng)內關系和加載關系對網(wǎng)絡的影響

與耦合網(wǎng)絡不同，復合網(wǎng)絡中存在多種關系，節(jié)點間存在關系強度，上述實驗已經(jīng)證明了關系強度比例參數(shù)對網(wǎng)絡魯棒性有著決定性影響。為了探究在加載關系平均度不同條件下關系強度對網(wǎng)絡的影響，進行相應的實驗。首先，構建節(jié)點總數(shù)為200，子網(wǎng)絡A和B的拓撲結構為WS的復合網(wǎng)，參數(shù)α，β為1，兩子網(wǎng)的網(wǎng)內關系平均度都設為2，加載關系平均度分別為2，4，6，8，當關系強度比例參數(shù)取不同值時，得出的S-λ曲線如圖7所示。

加載關系平均度越大，網(wǎng)內關系r2和加載關系r3的曲線越相近，當加載關系平均度為8時，曲線最終重合，說明二者對網(wǎng)絡的作用效果一致;除此之外，隨著加載關系平均度的增大，加載關系對網(wǎng)絡魯棒性的提高程度隨之減小，可以推斷出加載關系強度足夠大時，加載關系對網(wǎng)絡沒有影響。

3 結論

針對目前耦合網(wǎng)絡級聯(lián)失效的研究僅限于單個關系的問題，根據(jù)多子網(wǎng)復合復雜網(wǎng)絡模型建立了復合網(wǎng)絡模型，對多種關系和網(wǎng)絡拓撲特征的相互影響進行了綜合研究。研究表明：網(wǎng)絡中兩子網(wǎng)拓撲結構不同，網(wǎng)內關系對網(wǎng)絡的影響不同;加載關系強度越大，網(wǎng)絡魯棒性越強，但隨著加載關系平均度的增大，加載關系對網(wǎng)絡的影響力隨之減小;網(wǎng)內關系平均度比例不同，網(wǎng)內關系對網(wǎng)絡的影響不同。因此為了有效保護現(xiàn)實中的網(wǎng)絡系統(tǒng)，當遭到蓄意攻擊和隨機故障時，應當考慮節(jié)點間存在的多種關系類型，采取不同的方案，以達到最大程度降低損壞的目的。今后將兩子網(wǎng)之間的加載關系從單向支持改為雙向依賴，來進一步研究。

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