數(shù)據(jù)視角下神經(jīng)網(wǎng)絡增量學習支持的渦輪盤多目標優(yōu)化

馮國奇，崔東亮，代學武，俞勝平

(1.東北大學 工商管理學院，遼寧 沈陽 110819 ；2.東北大學 流程工業(yè)綜合自動化國家重點實驗室， 遼寧 沈陽 110819)

0 引言

渦輪盤是燃氣渦輪發(fā)動機壽命限制件之一，渦輪轉(zhuǎn)子工作在高溫、高壓、高轉(zhuǎn)速和高速氣流環(huán)境下，其設計是一個多學科多部門協(xié)同的知識密集型優(yōu)化過程，渦輪盤的設計水平直接影響發(fā)動機的基本性能。在任務定義、概念設計和初步設計等階段展開渦輪盤多學科多目標綜合優(yōu)化，對提高發(fā)動機甚至飛機整體性能具有極其重要的意義。

從執(zhí)行層面看，高壓渦輪盤減重有利于提高其低循環(huán)疲勞壽命可靠度和疲勞—蠕變耦合壽命可靠性[1]；渦輪盤徑向形變帶來葉尖間隙管理問題，即緊密葉尖間隙有助于提高氣動效率，過緊葉尖間隙將導致轉(zhuǎn)子碰磨。重量管理和徑向形變管理因緊密耦合而需要協(xié)同優(yōu)化。

航空發(fā)動機渦輪體系設計常采用有限元分析(Finite Element Analysis，F(xiàn)EA)、有限容積和有限差分等數(shù)值仿真代替物理實驗，以節(jié)省設計成本，提高設計效率。然而，直接基于數(shù)值仿真，以進化等智能算法進行優(yōu)化設計會因種群迭代產(chǎn)生高額計算費用[2]。在學術和工程界逐漸得到重視的“數(shù)據(jù)驅(qū)動的進化優(yōu)化”(data-driven evolutionary computation)[3]，也稱代理模型輔助進化算法(Surrogate-Assisted Evolutionary Algorithm, SAEA)，通過降低計算費用提升優(yōu)化算法的生命力，其處理邏輯為：先用真實問題產(chǎn)生的數(shù)據(jù)建立代理模型逼近原問題，再在優(yōu)化過程中通過代理模型和真實問題合作來評估個體。這種體系可減少真實問題仿真評估的次數(shù)，同時通過真實問題評估并修正代理模型，提高代理模型在感興趣區(qū)域?qū)υ紗栴}的逼近度，為計算密集型多目標優(yōu)化設計提供良好的解決方案。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(Artificial Neural Network，ANN)能以高度準確性捕捉任何物理過程的非線性和復雜性，其建模精度和泛化能力依賴訓練樣本數(shù)量和質(zhì)量[4-5]，然而渦輪盤設計成本很高，難以提供充裕的訓練樣本來支持高質(zhì)量ANN建模。自展法(bootstrap)通過獨立隨機再抽樣擴充樣本集[6]；虛擬樣本技術通過基于分布的方法、基于領域先驗知識的方法或基于擾動的方法，在問題空間合理補充樣本來豐富樣本集[7-8]，填補因樣本不足造成的空隙，提高模型預測能力并抑制過擬合。這些傳統(tǒng)虛擬樣本技術所需的信息和知識依賴于基礎樣本，因此基礎樣本構造策略影響著ANN模型的性能。

在樣本量受限的情況下，通過改進試驗設計(Design of Experiments，DOE)可有效提升ANN模型對原問題的表達能力。相對于“均勻分散”和“整齊可比”的正交設計(orthogonal design)，均勻設計(uniform design)通過舍棄“整齊可比”來安排試驗，通過降低偏差(discrepancy)提高樣本分布的均勻性，對試驗變量取值范圍大、考慮水平多的問題具有很強的適用性[9]；拉丁超立方設計(Latin hypercube designs)采用隨機抽樣進行設計以充滿空間，雖然通過總均值進行無偏估值而且方差較小，但是點集偏差具有不定性[10]。更多學者在此基礎上繼續(xù)進行研究，LEATHERMAN等[11]指出，基于空間填充(space-filling)和最大投影(maximumprojection)的計算機實驗設計在提高強非平穩(wěn)問題的預測精度方面優(yōu)勢突出；熊世峰等[12]調(diào)研發(fā)現(xiàn)，嵌套拉丁超立方設計(nested Latin hypercube design)在混合精度計算機試驗設計中應用很廣，但是并不總能很好地填充整個設計區(qū)域的空間[13]，因此需要考慮面向穩(wěn)定性填充的樣本設計。

增量建模和在線建模[14]從另一個角度同時解決了減小樣本量需求和提高建模精度的問題。數(shù)據(jù)驅(qū)動的進化優(yōu)化(data-driven evolutionary optimization)通過模型管理，將真實問題評估解加入訓練數(shù)據(jù)集修正代理模型[3]，來提高尋優(yōu)的效率和質(zhì)量，該過程充分挖掘增量樣本和既有樣本之間的差異，將有助于提高建模質(zhì)量。例如，遺忘機制建模方法在這種差異研究基礎上，用增量樣本代替既有失效樣本，增強了對非平穩(wěn)系統(tǒng)的跟蹤能力[15]。

具有群體搜索和種群迭代特征的進化算法基于達爾文生物進化論展開研究，通過“繁殖—競爭”進行優(yōu)勝劣汰，螺旋式逼近復雜問題的最優(yōu)解，是通過計算智能(computationalintelligence)求解復雜組合優(yōu)化問題，避免組合爆炸的首選策略。作為進化算法的一種高級別應用，多目標進化算法(Multi-Objective Evolutionary Algorithm，MOEA)是多目標優(yōu)化的主要分支；強度Pareto進化算法(Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2,SPEA2)基于近鄰規(guī)則環(huán)境選擇和歸檔集截斷策略，提高了解的均勻性和收斂性[16]，但是其局部搜索能力相對較弱，解的多樣性會隨進化的推進而衰減[17]；Pareto存檔進化策略(Pareto Archived Evolution Strategy，PAES)通過引進空間超格來保持種群的多樣性，并采用精英保留策略保留其中較好的結果，但是其計算復雜，容易陷入局部最優(yōu)；基于Pareto包絡選擇算法(Pareto Envelope-based Selection Algorithm，PESA)基于個體選擇策略，導致計算難度和費用均隨解集規(guī)模的增加而劇增，針對這一問題，PESA2用網(wǎng)格選擇代替?zhèn)€體選擇，在提高計算速度的同時保證了解集的多樣性；帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(fast elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA-Ⅱ)通過快速進行非支配排序提高算法速度，以適應度和分布度保證解的分布性[18]，但在收斂過程中存在個體重復問題，且難以找到孤立點；多目標粒子群優(yōu)化(Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO)算法處理流程簡單、收斂速度快且搜索效率高，非常適用于多目標優(yōu)化問題的工程求解[19-20]，但是多樣性較差。

基于此，本文擬針對渦輪盤優(yōu)化設計需求，全方位改進多目標優(yōu)化的“樣本生成—代理模型—多目標優(yōu)化”流程。首先，研究降低仿真費用的樣本管理技術，其次基于不同精度混合樣本研究神經(jīng)網(wǎng)絡建模技術，然后研究多目標粒子群提升技術，最后以某型渦輪盤優(yōu)化設計為例，驗證方法的有效性和可用性。

1 增量神經(jīng)網(wǎng)絡學習支持的多目標優(yōu)化

對復雜問題而言，樣本量約束對原問題域覆蓋的不完備性，必定降低代理模型刻劃問題的精準度，如何在不影響質(zhì)量前提下避免“過設計(over-engineering)”一直是工業(yè)界追求的目標。本文擬采用圖1所示的體系架構，在設計指標約束下，從降低樣本量和提高Pareto前沿質(zhì)量兩方面進行研究。其中基于FEA費用特性建立混合樣本集，以此訓練ANN模型，為多目標優(yōu)化提供適應度函數(shù)，為提高MOPSO算法均勻性提供幫助；在優(yōu)化前沿中選取方案進行仿真，將仿真結果充實到建模樣本進行遺忘式增量學習，從而逐步優(yōu)化ANN模型，推進多目標問題求解的螺旋進化，提高計算密集型多目標優(yōu)化的綜合能力。

1.1 樣本管理

圖1中，在均勻設計表的基礎上，通過控制偏差對空間進行整數(shù)倍增補采樣，形成基于均勻設計的混合樣本集管理策略：

(1)基于均勻設計基礎表進行高精度有限元分析，形成基礎樣本集U。

(2)在偏差控制下構造均勻設計補充表，進行低精度試驗，形成補充樣本集E。

(3)在基礎樣本集U的基礎上增加擾動，形成虛擬樣本集V1。

(4)將高、低精度仿真樣本和虛擬樣本形成混合樣本集M來訓練ANN，進而輔助MOPSO算法。

(5)隨著多目標優(yōu)化的推進，優(yōu)選部分方案，重新進行高精度有限元分析，形成增量仿真樣本集A，并將A及對應的虛擬樣本集V2融入M中，替換部分已有樣本，再次進行代理模型建模并尋優(yōu)，直到滿足進化精度為止。

1.2 迭代控制

對迭代的控制策略直接決定了設計費用，很多研究人員對迭代控制策略進行了研究，從優(yōu)化角度避免“過設計”。本文存在MOPSO算法和“建?！獌?yōu)化”兩個層次迭代，因此從工程應用角度設計如下兩個迭代控制策略：

(1)MOPSO迭代控制 基于試算確定控制參數(shù)。試算時，根據(jù)進化過程中的多樣性、均勻性和收斂性指標[21]，確定每輪次的迭代收斂估計次數(shù)ITConvergence和迭代總次數(shù)IT。在每輪次迭代中，以ITConvergence為分界線執(zhí)行不同的檔案粒子維護邏輯：按照粒子類型(高精度樣本、低精度樣本、模型預測樣本)，分別設置不同的擁擠距離擴展系數(shù)，盡量刪除虛擬樣本，保留高精度樣本；在進化后期，3類粒子采用相同的擁擠距離擴展系數(shù)，展開無區(qū)別的檔案維護。

(2)“建?！獌?yōu)化”迭代控制 每輪經(jīng)過IT次MOPSO算法迭代后，在Pareto前沿中優(yōu)選粒子，其中高精度樣本直接保留，然后根據(jù)前沿的分布密度，選擇若干低精度樣本和模型預測樣本進行高精度仿真，形成增量樣本集A，評估A的分析結果以及對應Pareto尋優(yōu)結果之間的誤差統(tǒng)計指標(絕對誤差、誤差均值、方差)和分布趨勢，不滿足指定閾值則繼續(xù)進行下一輪次“建模—優(yōu)化”，滿足指定閾值則終止迭代。

以上過程即為增量神經(jīng)網(wǎng)絡學習支持的多目標優(yōu)化，相關的混合樣本管理、神經(jīng)網(wǎng)絡建模、改進MOPSO算法將在后續(xù)章節(jié)分別介紹。

2 混合樣本管理

在圖1所示的增量建模支持的多目標優(yōu)化框架中，混合樣本管理研究最為重要。這是因為，對于結構為“m-p-n”的三層反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(Back Propagation Neural Network, BPNN)，若交叉驗證比例為ρ，則樣本總量M′的需求為

(1)

對于FEA，在單元選定、計算假設、網(wǎng)格劃分均合理的前提下，網(wǎng)格單元數(shù)越多，單元階次越高，仿真結果越接近理論解。然而，網(wǎng)格單元數(shù)和單元階次雖然能夠決定仿真分析的精度，但是并不改變分析的定論。

即使目前高性能計算和GPU等計算機技術的發(fā)展大幅提升了計算能力，也遠不能滿足任意精度網(wǎng)格設置對計算量的需求，而且該問題在多場耦合場景下更加突出。因此，高精度FEA試驗設計樣本量M常遠小于M′，可以考慮混合安排高低精度，從樣本管理的角度避免建模出現(xiàn)過設計。

在圖1所示的螺旋形“建?！獌?yōu)化”迭代進程中，初始樣本集具有圖2a所示良好的均勻分布性，隨著進化的推進，通過逐步豐富該樣本集并選擇性替換部分樣本，使樣本集向圖2b所示的分布態(tài)勢演變。新增樣本均對應局部極小值，而局部極大值在尋優(yōu)過程中被抑制和舍棄，這種處理方法在不影響優(yōu)化設計結果的前提下，能夠弱化對不關注問題域的尋優(yōu)，聚焦于搜索極小值。

ANN訓練過程中對訓練樣本一視同仁，忽略了樣本質(zhì)量的差異。在圖1所示的體系下，本文采用如下策略來增加高精度仿真樣本對建模的貢獻：

(1)基于高精度仿真樣本集(基礎樣本集U和增量樣本集A)建立虛擬樣本集V(由虛擬樣本集V1和增量虛擬樣本集V2構成)，基礎樣本集U、增量樣本集A和虛擬樣本集V一起構成混合樣本集M，基于M訓練代理模型，提升高精度仿真樣本對建模的貢獻。

(2)和基礎仿真樣本集U相比，尋優(yōu)過程中產(chǎn)生的增量樣本集A應該對代理模型的螺旋更新(update)貢獻更大，因此在遺忘機制建模執(zhí)行過程中，基于增加的新仿真樣本創(chuàng)建虛擬樣本，同時逐步刪除舊的虛擬樣本，用于訓練ANN代理模型。

3 ANN建模

為避免ANN代理模型過設計，需要以誤差管理為導向，根據(jù)前述混合樣本管理策略和樣本量構建合適的拓撲結構。結構為“m-p-n”的三層神經(jīng)網(wǎng)絡需要訓練優(yōu)化(m+1)p+(p+1)n個權值，因此模型誤差的構成為

總誤差=逼近誤差+泛化誤差+樣本誤差。

(2)

各誤差的分析及應對策略如下：

(1)逼近誤差 由所采用的訓練算法決定。本文的BPNN模型采用雙極性Sigmoid傳遞函數(shù)，均勻設計時，因為各因素在“最大值—最小值”之間設立水平值，所以可以將樣本各因素(對應的各決策變量和目標變量)分別歸一化到[-1，1]。各樣本的目標變量只是抽樣點的仿真分析結果，不具有可預測的最大最小值，常采用整體趨勢擴散技術(mega-trend-diffusion)處理。

(2)泛化誤差 由網(wǎng)絡結構和樣本對問題域的覆蓋率決定。Bishop[7]指出，在神經(jīng)網(wǎng)絡訓練樣本中加入噪聲可以提高泛化能力。

從本質(zhì)上看，對同一問題進行ANN建模時，隨著隱含層節(jié)點的增多，逼近誤差逐漸減小，泛化誤差逐漸增大，因此針對問題定義及訓練樣本細節(jié)必定存在合適的隱含層節(jié)點數(shù)。

(3)樣本誤差 對于FEA，樣本誤差由樣本精度決定。根據(jù)FEA的精度特點，假定高精度分析樣本為真實解，從虛擬樣本以及低精度樣本和高精度樣本間的差異入手指導樣本設計：假定基礎表的樣本量為U，通過查詢偏差隨基礎表倍數(shù)的變化趨勢確定合適的擴展設計表倍數(shù)u。根據(jù)式(1)確定建模所需的最小樣本總量M′，為了弱化仿真誤差的不確定性，設定虛擬樣本和低精度仿真樣本量相等。此時，虛擬樣本量

V=max{?(M′-(u+1)U)/U?U,

(u+1)U}=vU。

(3)

虛擬樣本是基于均勻設計基礎樣本集創(chuàng)建的，通過向上取整保持虛擬樣本量為基礎樣本的整數(shù)倍，可以保證虛擬樣本分布的均勻性。

定義第i個DOE樣本為Si={xi1,…,xij,…,xi(m+n)}，xij∈[-1，1]，其中xi(m+k)=yik為目標變量，m為ANN模型的輸入層節(jié)點數(shù)，n為輸出層節(jié)點數(shù)。采用式(4)在樣本Si各元素中增加噪聲，構建虛擬樣本：

(4)

式中：dij∈[-1，1]為0均值白噪聲；β∈[-0.5，0.5]為噪聲強度。當j≤m時，各決策變量以[-1，1]為上下界進行鏡像映射。目標變量以xij+βdij無約束的方式加噪。

式(4)保證虛擬樣本適用于雙極性Sigmoid函數(shù)。根據(jù)式(4)，所得虛擬樣本的噪聲能量

(5)

εsample≈V(m+n)β2εd。

(6)

基于均勻設計表樣本量的U方案進行高精度有限元分析，u倍擴展方案采用低精度FEA。相對高精度FEA，低精度FEA引入的誤差能量

(7)

(8)

根據(jù)式(2)和式(3)，節(jié)點數(shù)p的取值范圍為

(9)

4 MOPSO改進算法

ANN代理模型為MOPSO算法提供適應度函數(shù)，從根源上提高了尋優(yōu)速度，然而基于非支配計算的MOPSO算法仍需在粒子群維護方面支付大量計算成本。

粒子群算法從隨機解出發(fā)，用式(10)更新粒子速度，用式(11)更新粒子位置，借助個體之間的協(xié)作和信息共享，通過迭代尋找最優(yōu)解[19]。

(10)

(11)

式中：i為粒子序列；t為迭代級數(shù)；v為速度；x為位置；pbest為個體最優(yōu)；gbest為全局最優(yōu)；ω為慣性權重；c1為個體加速因子；c2為全局加速因子；r1和r2為[0,1]間的隨機數(shù)。

和單目標粒子群算法相比，MOPSO算法的解以Pareto前沿的方式存在，是非劣解的集合，在迭代進化過程中可以借助外部檔案保存該前沿，指導算法演進。每輪迭代后，執(zhí)行如下檔案維護工作：

步驟1計算種群的前沿，加入外部檔案。

步驟2重新生成外部檔案前沿，若檔案粒子數(shù)超限，則根據(jù)擁擠度排序移除粒子。

計算常規(guī)擁擠度排序時，粒子數(shù)為K的檔案計算復雜度為O(K2)，背景網(wǎng)格法可以簡化這一操作[19]，具體是以網(wǎng)格內(nèi)的粒子數(shù)為擁擠指標定位網(wǎng)格，在網(wǎng)格內(nèi)隨機刪除粒子。該方法雖然提高了計算效率，但是存在明顯的理論缺陷：

(1)網(wǎng)格尺寸影響擁擠度計算的準確性，例如圖3中2，3，12號網(wǎng)格都有2個粒子，因此擁擠度相同，但是這與實際情況不符。

(2)隨機刪除策略影響前沿分布，并容易遺失前沿的邊界和孤立點。

基于此，本文提出如下改進的背景網(wǎng)格法[22]：

(1)基于有效擁擠度進行定位 待刪除網(wǎng)格在各背景網(wǎng)格內(nèi)求解有效的最小包圍盒，以包圍盒內(nèi)的粒子密度為網(wǎng)格擁擠度指標進行指數(shù)擴展，然后以輪盤賭法定位網(wǎng)格。

(2)基于擁擠距離選擇待刪除粒子 在網(wǎng)格鄰域內(nèi)計算各粒子的擁擠距離指標，刪除指標值最小的粒子。

(3)定位群體最優(yōu)所在的網(wǎng)格 對網(wǎng)格擁擠度指標進行負指數(shù)擴展，以輪盤賭定位群體最優(yōu)所在的網(wǎng)格。

(4)基于擁擠距離選擇群體最優(yōu) 在步驟(3)定位的網(wǎng)格內(nèi)，選擇擁擠距離最大者為群體最優(yōu)。

5 案例分析

5.1 案例簡介

民用飛機完成一次飛行任務需要經(jīng)過滑行—起飛—爬升—巡航—下降—著陸幾個階段，特殊情況下還需要熱機重啟。

圖4所示為一個典型飛行任務中葉尖間隙的變化情況[23]，可以看出起飛和熱機重啟工況的葉尖間隙問題最嚴峻。因此本文以起飛加速階段為對象，確定渦輪優(yōu)化邊界。

某型渦輪盤的設計目標為[22]：①質(zhì)量W≤80 kg；②徑向形變D≤1.95 mm。約束條件為：盤內(nèi)徑105 mm，外徑280 mm。

起飛工況的關鍵載荷和邊界條件為：輪轂上安裝68個重0.144 kg、高56 mm的葉片；安裝邊固定，內(nèi)徑徑向位移；流道燃氣溫度為1 650 K，換熱系數(shù)為2 200 W/(m2k)；流道燃氣壓力為35個大氣壓；輪盤密度為8 210 kg/m3，轉(zhuǎn)速為12 500 rpm。采用圖5a所示的4條冷卻氣流為渦輪盤降溫，氣流(流量，溫度)的配置為A(0.191 8,907)，B(2.475 4,968)，C(0.513 9,681)，D(0.766 6,791)。其中流量單位為kg/s,溫度單位為K。盤體及安裝邊參數(shù)如圖5b和圖5c所示，相關的幾何參數(shù)如表1所示。

表1 “盤體—安裝邊”模型參數(shù)列表

不失一般性，忽略陀螺和氣動載荷等負載以簡化計算，此時渦輪盤的主要載荷為葉片和渦輪盤高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力，以及非均勻分布的氣流產(chǎn)生的熱載荷，主要載荷的處理方式如下：

(1)壓力

(12)

式中：PGas為流道氣流的壓力，PGas=35ATM，nb為每個渦輪盤上安裝的葉片數(shù)，nb=68；mb為每個葉片的質(zhì)量，mb=0.144 kg；Rb為葉片中心到旋轉(zhuǎn)軸的距離，Rb=R1+56/2；ω為渦輪盤的角速度，ω=12 500 rpm；r為渦輪盤外緣半徑，r=R2；L為盤緣寬度，L=W1。

(2)體積力

體積力是連續(xù)分布在構件內(nèi)部各點處的力，是一種場力，此處為渦輪盤旋轉(zhuǎn)的離心力，表示為

fr=ρrω2。

(13)

(3)流道氣流的熱傳遞

(14)

為描述物體與環(huán)境對流換熱現(xiàn)象的傳熱問題第三類邊界條件的數(shù)學方程。式中：α為考慮葉片和渦輪盤間熱接觸而引入的經(jīng)驗性調(diào)整系數(shù)；h為換熱系數(shù)，h=2 200 W/(m2·K)；T為固體溫度，此處為渦輪盤外緣各點的溫度；Tf為流體介質(zhì)溫度，此處為燃氣主流道的溫度，燃氣主流道作為渦輪盤的熱源，為簡化計算，可視作本模型的無限熱源，因忽略不計其溫度變化，起飛爬升時，Tf設定為1 650 K。

(4)冷卻氣流的降溫效應

圖5a所示為從壓氣機引入A，B，C，D 4股冷空氣對渦輪盤進行降溫，圖6所示為該“流—熱”耦合問題的有限元表達。

對0-1標識的有限元邊界而言，氣流熱量變化等于固體邊界段的熱量變化，其數(shù)理方程為

mfC(Tf1-Tf0)=hA(Tf-Tw)。

(15)

式中：mf為該氣流邊界段的質(zhì)量；C為氣流比熱，C=1 005 J/(kg·K)；Tf0和Tf1分別為兩個氣流節(jié)點的溫度；h為換熱系數(shù)，h=2 200 W/(m2·K)；A為“0-1”邊界段的長度；Tf=0.5(Tf1+Tf0)，Tw=0.5(Tw1+Tw0)，Tw0和Tw1分別為兩個固體節(jié)點的溫度。

5.2 樣本設計及ANN建模

圖5b和圖5c所示的盤體和安裝邊模型中，盤緣外徑R1、盤緣寬度W1、內(nèi)緣半徑R2、左安裝邊軸向定位參數(shù)W5、徑向定位參數(shù)H3、左安裝邊徑向長度H4、右安裝邊軸向定位參數(shù)W7和徑向定位參數(shù)H5(H6)由渦輪裝配需求總體確定，(W1,W5,W7,H3,H4,H5,H6,R1,R2,R5,R6)=(45.0,42.0,60.0,195.0,35.0,140.0,170.0,280.0,105.0,5.0,5.0)，置W8=W6以簡化計算。

從減重角度分析，輻板和盤轂所占比重最大，盤緣和安裝邊所占比重較小，因此輻板外側厚度W3、輻板內(nèi)側厚度W4、輻板外徑R3、輻板內(nèi)徑R44個參數(shù)決定了輻板重量，盤轂厚度W2和高度H2決定了盤轂重量。從徑向形變角度分析，離心載荷和熱載荷是主要矛盾；從離心載荷角度看，盤緣和安裝邊的影響比輻板和盤轂更大；從氣冷效果角度分析，安裝邊的影響相對較強。安裝邊寬度W6影響離心載荷所致應力分布，盤緣厚度H1影響盤緣離心載荷[22]。

因此以(W6,H1,R4,W3,W4,R3,H2,W2)為因子，基于表2的U17(1716)均勻設計表和使用列(1,4,5,6,9,1,14,15)組織試驗，因子取值范圍分別為W6[5.0,9.0],H1[15.0,25.0],H2[14.0,28.0],W2[90.0,110.0],W3[15.0,25.0],W4[45.0,55.0],R3[235.0,247.0],R4[150.0,175.0]。

表2 U17(1716)均勻設計表

續(xù)表2

為避免高檔次或低檔次水平相遇，如圖7所示，將各因子排列為閉合環(huán)，逆時針滾動形成新編號，進而形成新的方案組合方式。

圖中內(nèi)圈編號為原水平號，外圈編號為滾動距離15(即逆向滾動距離為2)調(diào)整后所得的水平號。結合滾動循環(huán)性和水平數(shù)得到滾動距離，如表3所示。

表3 各因子滾動距離

采用六節(jié)點三角形單元，以8.2 mm為基本網(wǎng)格尺寸劃分幾何自適應網(wǎng)格，通過熱固耦合分析平臺ThermoSolid[24]得到各樣本仿真結果，如表4所示。

表4 17個DOE樣本的高精度仿真分析結果

續(xù)表4

采用三節(jié)點三角形單元，以16 mm為基本網(wǎng)格尺寸劃分幾何自適應網(wǎng)格，加載邊界條件和載荷并進行分析，所得低精度仿真結果如表5所示。

表5 17個DOE樣本的低精度仿真分析結果

基于均勻設計表U17(1716)進行多倍擴展，偏差隨擴展倍數(shù)變化的情況如圖8所示?？梢钥闯?，在3倍樣本后，“投入—產(chǎn)出”性價比開始惡化。根據(jù)該曲線，綜合考量偏差、建模最小樣本量、建模精度和泛化能力等因素，選擇3倍樣本進行混合精度有限元分析：安排U17(1716)高精度仿真，在此基礎上安排兩倍的低質(zhì)量仿真樣本。

選擇交叉驗證比例ρ=0.9，隱含層節(jié)點數(shù)

p≤

(16)

表6 不同拓撲BPNN的最小測試誤差

可以看出，隱含層節(jié)點數(shù)為8的各模型誤差隨著樣本量的增加而降低，這是訓練樣本充足的優(yōu)勢?；?號組合(v,p,β)=(3,8,0.023 8)訓練所得的模型誤差最小，隨著節(jié)點數(shù)的升高，最小測試誤差逐漸升高，這是因為虛擬樣本過量稀釋了真實樣本的有效性。因此，選擇4號組合訓練所得的隱含層節(jié)點數(shù)為8的BPNN為代理模型。

5.3 多目標優(yōu)化

以BPNN代理模型為適應度函數(shù)，采用改進MOPSO算法進行基于遺忘式增量建模的多目標尋優(yōu)，步驟如下：

(1)根據(jù)試算，確定MOPSO算法迭代次數(shù)IT和迭代收斂估計次數(shù)ITConvergence。

(2)構建初始解集，對于首輪次MOPSO算法，其粒子群為高精度仿真基礎樣本集U(17個)、補充的低精度仿真樣本集E(34個)和ANN模型預測樣本集UANN(51個)組成，其中獲取UANN的方法如下：根據(jù)U17(1716)基礎表進行3倍擴充得到U3均勻設計表，U3加倍再擴充得到U6試驗表，將U6試驗表中相對U3均勻設計表增補的部分(即再擴充部分U6-U3)作為模型預測樣本集UANN。相應地，擴充的低精度仿真樣本集E=U3-U。后續(xù)輪次MOPSO算法的初始粒子群由高精度仿真基礎樣本集U、前期所有增量高精度仿真樣本集A、殘余低精度仿真樣本子集E和殘余模型預測樣本子集UANN組成。

(3)標識粒子來源，高精度仿真樣本、低精度仿真樣本、ANN模型預測樣本的粒子類型分別為1，-1，0。

(4)執(zhí)行改進的MOPSO算法尋優(yōu)，設置檔案規(guī)模為50。在進化前期(ITConvergence次迭代前)刪除檔案粒子時，首先在網(wǎng)格鄰域內(nèi)計算粒子擁擠距離，并對3類樣本擁擠距離分別進行系數(shù)擴展，1,-1,0三類樣本的擁擠距離擴展系數(shù)分別為1,0.93,0.9,這些擴展系數(shù)可以通過多次試驗確定。在進化后期(ITConvergence次迭代后)，3類粒子的擁擠距離擴展系數(shù)均為1。

(5)執(zhí)行完本輪IT次MOPSO算法迭代，在Pareto前沿優(yōu)選粒子，直接保留前沿中類型為1的粒子，以此為基礎，根據(jù)前沿的分布密度選擇若干“0”和“-1”類型粒子進行高精度仿真，形成增量樣本集A。

(6)評估增量仿真集的分析結果和對應Pareto尋優(yōu)結果之間的統(tǒng)計誤差與分布趨勢，如果不滿足指定閾值，則執(zhí)行(7)，繼續(xù)下一輪次的ANN建模和再尋優(yōu)；如果滿足閾值約束，則結束尋優(yōu)過程，在前沿中選擇若干粒子作為最終尋優(yōu)結果。

(7)按照距離測度，在E中尋找與增量樣本A各粒子距離最近的對象并刪除；評估基礎樣本集U和當前檔案之間的差異，若某樣本和前沿之間的距離超出設定閾值，則將其從基礎樣本集中刪除。

(8)增量樣本A以比U更大的比例產(chǎn)生增補虛擬樣本，隨著“建?！獌?yōu)化”輪次的推進，該比例逐漸增加，U以逐漸減少的方式構建虛擬樣本，最終確保訓練樣本數(shù)不變，然后轉(zhuǎn)(2)，進行下一輪次MOPSO算法尋優(yōu)。為提高上一輪次優(yōu)化成果的使用能力，在新一輪優(yōu)化時，初始解集的UANN為第一輪次UANN隨機選擇的若干樣本，采用新的ANN預測模型進行目標更新，以保證各輪次粒子數(shù)相同。

為保證檔案粒子數(shù)一致，選擇各輪次第50～100代檔案多樣性[21]統(tǒng)計指標均值進行比較，結果如圖9a所示。圖中，在檔案各目標分布區(qū)間近似的前提下，多樣性逐漸增大，從另一角度體現(xiàn)了ANN模型精度對MOPSO算法進化的影響；MOPSO算法均勻性差別不大，原因是本文采用改進型背景網(wǎng)格提高了檔案的分布質(zhì)量；MOPSO算法各輪次收斂性差別不大，原因是每輪次的50～100相鄰代間的支配個數(shù)均為2～4，即使擴大到500次迭代，亦保持這種量級。

第5輪次100代檔案如圖9b所示。圖中“■”的位置由優(yōu)化目標決定。有效區(qū)域內(nèi)25個粒子均滿足設計目標，分析增量高精度仿真子集發(fā)現(xiàn)徑向形變絕對誤差均值為0.090 4，誤差均值為-0.068 5，方差為0.097 4，再仿真的質(zhì)量和徑向形變指標與檔案預測指標的變化趨勢一致且差值較小，說明優(yōu)化結果已收斂到高精度仿真分析真值，不需再一輪“建?！獙?yōu)”。

為驗證優(yōu)化的有效性，用兩種方法處理圖9b左下區(qū)域的25個粒子：

(1)直接采用基于集合理論多屬性決策選優(yōu)方法選得最優(yōu)解。

(2)對25個粒子再次仿真并建立前沿，在前沿中采用多屬性決策方法選得最優(yōu)解。

最終發(fā)現(xiàn)兩種方法結果相同。決策變量(W6,H1,R4,W3,W4,R3,H2,W2)=(9.0,15.7,155.37,15.0,45.0,247.0,18.64,90.35)，對應的(重量，徑向形變)為(76.29，1.796)，滿足設計要求。

5.4 比較分析

分別采用傳統(tǒng)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(Radial Basis Function Neural Network, RBFNN)代理模型、Kriging代理模型，以及本文基于混合樣本的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(Mixed Sample based Back Propagation Neural Network, MS-BPNN)代理模型作為適應度函數(shù)，采用改進MOPSO算法，對本案例分別進行多次優(yōu)化試算，以比較算法的優(yōu)越性。

采用本文的MS-BPNN代理模型，初始建模采用相同的高精度仿真基礎樣本，樣本量為17，在執(zhí)行兩次增量學習的過程中兩次對增量樣本進行高精度仿真，每次優(yōu)選5個樣本作為增量，所得結果與分別采用RBFNN和Kriging代理模型進行5次增量學習，每次迭代選擇5個增量樣本進行高精度仿真所得的尋優(yōu)結果相近，說明基于本文MS-BPNN代理模型的改進MOPSO算法，經(jīng)歷3輪次尋優(yōu)后，檔案的多樣性已經(jīng)近似于穩(wěn)定收斂，這和圖9a的檔案多樣性指標變化情況一致。

從另一角度看，在高精度樣本均為42(17+5×5)的情況下，分別以傳統(tǒng)RBFNN代理模型、Kriging代理模型和本文的MS-BPNN代理模型為適應度函數(shù)，采用改進MOPSO算法對本案例進行10次優(yōu)化試算，通過均值比較3種代理模型的優(yōu)缺點，如表7所示。表中的多樣性、均勻性和收斂性指標均為60～100代的均值，從而保證數(shù)據(jù)的可信性。特別地，由于基于MS-BPNN代理模型的MOPSO算法的自動執(zhí)行能力相對較差，僅進行6次“建?！獌?yōu)化”求解試驗，所得結果差異較小，證明了結果的可信性。

表7 基于3種代理模型的改進MOPSO算法效果比較

可以看出，本文MS-BPNN所得的前沿均勻性最好，原因是混合精度訓練樣本集提供的泛化能力為優(yōu)化提供了幫助；基于RBFNN所得的多樣性指標均值最小，基于Kriging所得的前沿多樣性指標均值和方差均最大，說明Kriging模型的穩(wěn)定性最差；基于MS-BPNN所得前沿的多樣性指標方差最小，說明其穩(wěn)定性最好，而且相對較優(yōu)的多樣性均值也滿足優(yōu)化需求?；?種代理模型的改進MOPSO算法收斂性差別不大，前一代檔案中被后一代檔案所支配的粒子數(shù)大概率保持為0或1，因此MS-BPNN是本案例適應度函數(shù)的最佳選擇。

綜上所述，本文基于混合樣本建模，降低了高質(zhì)量代理模型建模所需要的計算量費用，通過改進背景網(wǎng)格法，在保證搜索質(zhì)量的前提下提高了多目標優(yōu)化速度，通過基于增量學習的多目標優(yōu)化體系加速了尋優(yōu)的收斂性，降低了迭代次數(shù)。總之，本文提供的樣本管理和多目標優(yōu)化體系，從根本上降低了仿真分析所需的樣本量，提高了模型穩(wěn)定性，降低了計算量，能夠保證優(yōu)化設計的質(zhì)量。

6 結束語

針對高壓渦輪盤多目標優(yōu)化設計過程中仿真分析費用高的問題，本文在保證模型穩(wěn)定性需求的前提下，通過降低樣本量避免建模的過設計，通過兩個層面迭代控制避免優(yōu)化的過設計，從而提高渦輪盤多目標優(yōu)化的可操作性。首先，采用偏差控制下的均勻設計技術得到不同精度的混合樣本設計；其次，基于混合樣本建立代理模型時，對隱含層節(jié)點數(shù)、虛擬樣本量和噪聲強度進行協(xié)同設計；再次，以改進背景網(wǎng)格法在網(wǎng)格鄰域內(nèi)計算各粒子的擁擠距離，據(jù)此選擇待刪除粒子和群體最優(yōu)粒子，以稍微增加計算量為代價優(yōu)化檔案的分布性；最后，在以BPNN為代理模型的MOPSO算法優(yōu)化設計體系中，通過遺忘式增量學習提高尋優(yōu)目標的導向性，從而提高代理模型建模的精度和泛化能力。目前看來，本文所提樣本管理方式聚焦于感興趣區(qū)域，可能會影響樣本的全面性，因此還有提升的空間。下一步將通過分區(qū)建模保留對整個問題域的描述能力，同時降低建模難度；隨后，需要研究不同區(qū)域間無縫切換代理模型的評估策略及實現(xiàn)方法。

另一方面，本文采用的遺忘式增量學習需要根據(jù)建模和MOPSO算法尋優(yōu)情況確定高精度FEA仿真樣本，在FEA仿真參數(shù)化程度不完善的情況下，這種體系架構的自動化能力相對較弱，對FEA仿真用戶的要求相對苛刻，將會影響該體系架構的工程化應用能力，但是這種影響會隨CAD/CAE日益提升的用戶友好程度而逐漸弱化。以渦輪盤參數(shù)化CAD建模和參數(shù)化FEA為突破口自動生成仿真樣本，是未來一段時間內(nèi)提高“樣本—建?！獌?yōu)化”自動化能力的主要工作，下一步將繼續(xù)提升建模及優(yōu)化的自動化集成能力，對增量樣本的自動生成、螺旋優(yōu)化的自動停止等進行研究。