以線性代數(shù)為載體的新工科人才計算能力培養(yǎng)探究

◇宿遷學院文理學院 顧 穎 趙士銀 吳秋霞

本文討論了科學計算能力在新工科人才培養(yǎng)中的重要性，淺析了我國當前線性代數(shù)課程的教學現(xiàn)狀，通過實例說明在該課程教學中介紹科學計算的必要性，并對此項改革提出幾點具體建議。

1 新工科人才需具備扎實的計算能力

2017年2月18日，教育部在復旦大學召開了高等工程教育發(fā)展戰(zhàn)略研討會，與會高校共同探討了新工科內(nèi)涵特征、新工科建設與發(fā)展路徑，達成若干共識。2017年4月18日，教育部在天津大學召開新工科建設研討會，60余所高校共商新工科建設的愿景與行動。2017年6月9日，教育部在北京召開新工科研究與實踐專家組工作會議，全面啟動、系統(tǒng)部署新工科建設[1]?！靶鹿た啤苯ㄔO是我國主動應對新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革，支撐服務創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展，“中國制造2025”等一系列的戰(zhàn)略行動，復旦共識、天大行動和北京指南，構(gòu)成了新工科建設的“三部曲”，奏響了人才培養(yǎng)主旋律，開拓了工程教育改革新路徑。

從國家對于新工科專業(yè)的定位不難看出，隨著時代的進步、科技的發(fā)達以及計算機技術(shù)的不斷發(fā)展和突破，科學計算能力是新工科人才必須掌握的基本能力之一，就如同以往需要掌握筆算能力和計算器計算能力一樣重要。而所謂科學計算能力，指的是利用現(xiàn)代計算工具（主要指計算機）解決科研和實際問題中的計算問題的能力。它包括從實際問題出發(fā)抽象、建立適當?shù)臄?shù)學模型、采用有效的計算方法、利用最新的科學計算軟件實現(xiàn)高效的編程和運算、對計算結(jié)果作合理性分析、圖解等多方面的綜合能力。例如普通物理（含力學、電學、磁學、分子物理、聲學、光學）、力學機械（含理論力學、材料力學、機械振動）、電工電子（含電路、電子線路、電機、高頻電路）、信號與系統(tǒng)（含連續(xù)、離散、系統(tǒng)函數(shù)、頻譜）等工科專業(yè)的必修課程均需要扎實的科學計算能力，科學計算能力是未來新工科專業(yè)學生必須具備也必將是最實用的能力之一，專業(yè)課程的開設均需圍繞培養(yǎng)這項能力，大學數(shù)學（包括高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計）是工科專業(yè)的必修課，這其中尤以線性代數(shù)課程知識后期使用最多、最廣，許多工科中問題轉(zhuǎn)化而來的諸如微積分、空間解析幾何、線性和超越方程、常微分方程、偏微分方程等最終都化為線性代數(shù)問題求解，因此，如何在線性代數(shù)課程教學中培養(yǎng)學生的科學計算能力是一個值得思考和研究的課題[2]。

2 當下線性代數(shù)課程教學現(xiàn)狀淺析

線性代數(shù)是工科專業(yè)學生必修的基礎課之一，縱觀幾十年的教學歷程不難發(fā)現(xiàn)，教學內(nèi)容基本沒有改變，隨著時代的發(fā)展和計算機技術(shù)的進步，教學方式和手段略有改變，部分教師使用ppt授課增加課堂容量，少部分教師開始嘗試近幾年較流行的翻轉(zhuǎn)課堂教學模式，培養(yǎng)學生自主學習能力，然而這些僅僅是對計算機淺層次的應用，忽視了計算機最強大的功能“科學計算”。計算是伴隨著計算機的出現(xiàn)和發(fā)展形成的繼理論研究、實驗之后的又一重要的研究手段，在當今大數(shù)據(jù)時代的許多領域中都發(fā)揮著重要作用?？茖W計算可以解決數(shù)學中的許多大規(guī)模的、繁瑣的問題，但由于當前授課內(nèi)容的限制，許多學生沒有感受到科學計算的魅力，并且他們認為數(shù)學課程中學習的許多方法與他們的專業(yè)是割裂的，在處理實際問題時是無用的。比如，來自某自動控制系統(tǒng)的線性方程組如下所示：

在線性代數(shù)課程中，介紹了利用矩陣初等變換來求解線性方程組的方法，在實際操作時教師和學生都會遇到一個非?！皩擂巍钡默F(xiàn)象，對于形如（1）或（2）這樣一個階數(shù)并不高的方程組用初等變換法往往要算一個多小時，演算兩張草稿紙，如果換做代入法大約需要花費30分鐘使用半頁草稿紙，這時候恐怕連教師都不愿意選擇初等變換法，學生自然會質(zhì)疑學初等變換方法的意義何在？出現(xiàn)這一問題的主要原因在于當前線性代數(shù)的教學中我們只介紹了方法的“格式規(guī)范”，而沒講“程序的通用”。正確的解決辦法應是我們依據(jù)初等變換方法計算的原理和規(guī)律編寫成通用的程序，借助計算機軟件（常用的如Matlab）進行科學計算給出結(jié)果[3]，而非我們?nèi)斯び嬎?，機算和人工算的耗時和成本相差是十分巨大的。這種現(xiàn)象在線性代數(shù)教學中比比皆是，又例如工科中常遇到的求矩陣的特征值和特征向量，也有類似的問題存在。這些問題促使我們不得不去思考如何變革才能讓線性代數(shù)教學與后期的專業(yè)學習有效銜接，讓線性代數(shù)課程真正能夠服務于新工科專業(yè)人才培養(yǎng)。

3 科學計算與線性代數(shù)結(jié)合大有作為

線性代數(shù)課程中介紹了許多解決代數(shù)問題的原理和方法，但是這些方法在學生眼里似乎僅僅只能解決抽象的理論問題，而離實際問題似乎很遠。例如矩陣的逆是線性代數(shù)中非常重要的一個知識點，課堂上，我們系統(tǒng)的向?qū)W生介紹了矩陣逆的概念，以及用伴隨矩陣表示逆矩陣、用初等變換計算逆矩陣的方法，但是矩陣的逆在實際問題中有什么應用，在實際問題中怎樣能夠快速準確的計算逆矩陣，這是當前傳統(tǒng)線性代數(shù)課堂教學中所欠缺的，我們用工科專業(yè)經(jīng)常遇到的保密通訊問題來介紹[4]。

根據(jù)明文數(shù)據(jù)即矩陣Ｐ，依照英文字母表，還原出的明文信息就是“fulfill the task”。

保密傳輸是現(xiàn)代通訊技術(shù)中的一個重要研究課題，實際加密模型相當復雜，上面所舉的例子只是根據(jù)其基本原理闡述矩陣的逆在實際問題中的應用。線性代數(shù)知識在現(xiàn)代科學技術(shù)的各個領域使用十分廣泛，例如圖像重構(gòu)、人臉識別等等，它們所轉(zhuǎn)化為的數(shù)學模型均是代數(shù)問題，因此廣大一線教師在授課時要特別注意線性代數(shù)與科學計算的結(jié)合在實際問題中的應用，培養(yǎng)學生學以致用的能力。

4 在線性代數(shù)教學中引入科學計算的幾點說明

從以上實例中可以看出線性代數(shù)的方法往往需要結(jié)合科學計算的工具才能發(fā)揮出功效，下面給出在線性代數(shù)教學中引入計算機軟件的幾點建議。

（1）在課堂上首先仍然要將基本的概念、定義、定理等理論知識講透，使用計算機軟件進行科學計算一方面是對其中的一部分加以驗證，加深學生的印象，另一方面是教會學生如何將書本上的理論方法轉(zhuǎn)化為可以解決實際問題的計算機程序。在實際教學中切不可舍本逐末，以科學計算來代替嚴密的證明，或者只追求實用效果而過度簡化原理的介紹[5]。

（2）工科專業(yè)學生學習數(shù)學的目的一方面在于習得數(shù)學知識，掌握實際計算技能，另一方面數(shù)學課程也承擔著訓練學生嚴密的邏輯思維和推演能力的任務，理論推導和筆算對學生邏輯思維能力的訓練仍然起著不可替代的作用，因此在課堂上切不可本末倒置，一味追求應用而大量刪減理論教學內(nèi)容，廣大教師應本著理論教學為主，科學計算為輔的原則開展線性代數(shù)教學。

（3）在線性代數(shù)課程教學中引入科學計算的目的在于教會學生如何運用所學知識解決實際問題，而不同專業(yè)的學生他們所關(guān)注的問題或者說需求是不同的，為了調(diào)動學生主動探索問題的欲望，教師應根據(jù)所帶專業(yè)的特點設計科學計算教學案例，盡可能選擇學生所在專業(yè)關(guān)注的熱點問題，這就要求教師要不斷更新自身知識，同時要與相關(guān)專業(yè)教師保持密切的交流與合作。