如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解答一次函數(shù)問題

吳開云

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的高度抽象與概括，是解答數(shù)學(xué)問題的利器.在解題過程中，同學(xué)們不僅要掌握扎實的基礎(chǔ)知識，還要加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用.一次函數(shù)是同學(xué)們在初中階段遇到的第一個非常明確地將“數(shù)”與“形”融為一體的知識點，除了數(shù)形結(jié)合思想，一次函數(shù)中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如分類討論思想、建模思想等，而這些數(shù)學(xué)思想就是同學(xué)們在解答一次函數(shù)相關(guān)問題時的重要工具.

一、分類討論思想

分類討論思想是指當(dāng)數(shù)學(xué)對象無法統(tǒng)一研究時，需要按照一定標(biāo)準(zhǔn)，對其進(jìn)行分類討論，逐一求解，各個擊破，最后再綜合歸納，得出最終答案.在求解一次函數(shù)問題時，若碰到多種情況，同學(xué)們要審清題意，認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同情形，巧用分類討論思想解答問題，從而確保解題的準(zhǔn)確性與完整性提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和解題的完整性（搭配不當(dāng)）.

例1 ?已知一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是﹣3≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)值的取值范圍是﹣5≤y≤﹣2，求這個一次函數(shù)的解析式.

分析：由于一次函數(shù)y=kx+b中k的正負(fù)不明確，即函數(shù)圖象的變化趨勢無法判斷，因而需要對k>0和k<0兩種情況進(jìn)行分類討論，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出該函數(shù)的解析式.

解：分兩種情況：

①當(dāng)k>0時，把x=﹣3，y=﹣5;x=6，y=﹣2代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，

得 ，

解得 ，

則這個函數(shù)的解析式是y= x﹣4（﹣3≤x≤6）;

②當(dāng)k<0時，把x=﹣3，y=﹣2;x=6，y=﹣5代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，

得 ，

解得 ，

則這個函數(shù)的解析式是y=﹣ x﹣3（﹣3≤x≤6）.

故這個函數(shù)的解析式是y= x﹣4（﹣3≤x≤6）或者y=﹣ x﹣3（﹣3≤x≤6）.

點評：對于某些一次函數(shù)問題，若系數(shù)含有參數(shù)，或k這個常數(shù)量正負(fù)不確定時，就需要分類討論，這樣才可以避免漏解.

二、數(shù)形結(jié)合思想

我們在研究一次函數(shù)的性質(zhì)時，是通過列表、描點畫出一次函數(shù)的圖象，然后通過觀察直線的走勢來歸納一次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)表達(dá)式畫出圖象的過程是將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的過程，而由圖象總結(jié)其性質(zhì)又是將“形”轉(zhuǎn)譯為“數(shù)”的過程，其中就蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想.因此，在解答一次函數(shù)的有關(guān)問題時，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以使數(shù)學(xué)問題直觀化、簡單化，從而輕松解題.

例2 ?如圖1，已知一次函數(shù)y= x+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于A（2，3），B（6，1）兩點，當(dāng) x+b< 時，x的取值范圍為 ? ? ? ? ?.

解析：對于此題，按照常規(guī)思路運(yùn)用代數(shù)法求解，即先通過點A（2，3），B（6，1），求出一次函數(shù)的解析式：y=- x+4，以及反比例函數(shù)的解析式：y= ，再列出不等式- x+4< .顯然，這一分式不等式，需要化簡為整式，求解過程較繁瑣.因此，不妨運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從直觀圖象出發(fā)，不難看出直線的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方部分對應(yīng)的自變量的值即為所求.仔細(xì)觀察圖象，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2及x=6時， x+b= 、直線x=2和x=6、y軸，將圖象分成了四部分，由圖1可知，當(dāng)06時， x+b< .所以答案為06.

點評：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，同學(xué)們要善于觀察圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，讓解題簡便易行.

三、建模思想

從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決問題，這種思想叫做數(shù)學(xué)建模思想.它是解答應(yīng)用題的一種重要思想方法.對于某些一次函數(shù)應(yīng)用題，同學(xué)們要根據(jù)問題情境提取數(shù)量關(guān)系，然后構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，借助已知條件分析模型，進(jìn)而求解，最后驗證所求結(jié)果的合理性，使實際問題順利獲解.

例3 ?煤炭是某市的主要礦產(chǎn)資源之一，每天有大量的煤炭運(yùn)往外地.某煤礦現(xiàn)有100噸煤炭要運(yùn)往甲、乙兩廠.通過了解獲得甲、乙兩廠的有關(guān)信息如下表：（表中運(yùn)費(fèi)欄“元/t·km”表示每噸煤炭運(yùn)送二千米所需人民幣）

要把100噸煤全部運(yùn)出，試寫出總運(yùn)費(fèi)y（元）與運(yùn)往甲廠x（噸）煤炭之間的函數(shù)關(guān)系式;如果你是該礦的礦主，請設(shè)計出合理的運(yùn)送方案，使所需的總運(yùn)費(fèi)最低，并求出最低的總運(yùn)費(fèi).

分析：總費(fèi)用=運(yùn)往甲廠的費(fèi)用+運(yùn)往乙廠的費(fèi)用.經(jīng)化簡后可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)圖表中給出的判定噸數(shù)的條件，算出自變量的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來算出所求的方案.

解：若運(yùn)往甲廠x噸，則運(yùn)往乙廠為（100﹣x）噸.

依題意得：y=150x+100×1.2×（100﹣x）

=30x+12000.

依題意得：

解得20≤x≤60.

∴函數(shù)關(guān)系式為y=30x+12000，20≤x≤60.

∴當(dāng)x=20時，y最小=30×20+12000=12600.

此時，100﹣x=100﹣20=80.

答：運(yùn)往甲廠20噸，乙廠80噸時，總運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)12600元.

點評：此題是一道典型的一次函數(shù)實際應(yīng)用題，解答的關(guān)鍵點在于結(jié)合題意和表格信息，得出數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建一次函數(shù)模型.

總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，也是分析和解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙，同學(xué)們要重視對數(shù)學(xué)思想的提煉、領(lǐng)悟以及運(yùn)用，從而開拓數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)解題能力.