聚焦數(shù)學(xué)命題的三個基本特征

丁麗娟

命題是初中數(shù)學(xué)中的一個重要概念，弄清命題的定義和特征，有助于同學(xué)們準(zhǔn)確判斷和識別數(shù)學(xué)命題的真假.下面就數(shù)學(xué)命題的三個基本特征進行剖析，以加深同學(xué)們對命題知識點的理解.

一、數(shù)學(xué)命題具有判斷性

在數(shù)學(xué)中，凡是判斷性的陳述語句都是數(shù)學(xué)命題.因此，判斷性是命題的第一基本特征.要判斷一個數(shù)學(xué)語句是否屬于數(shù)學(xué)命題，可以從如下兩方面入手：一是數(shù)學(xué)命題必須是一個完整的陳述語句;二是數(shù)學(xué)命題必須對數(shù)學(xué)事件做出肯定或否定的判斷.

例1 ?下列語句中，屬于命題的則有（ ? ）.

A.6個 ? ? B.5個 ? ? C.4個 ? ? D.3個

①如果一個三角形的一條邊的平等于另外兩條邊的平方和，那么這個三角形則是直角三角形;

②經(jīng)過直線外或直線上一點;

③內(nèi)錯角相等，兩直線平行;

④對稱軸圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連接線段的垂直平分線;

⑤數(shù)軸上的點表示的數(shù)，并不都是有理數(shù);

⑥垂直于同一條直線的兩條直線互相平行嗎？

解析：由命題的概念可知，①、③、④、⑤這四個語句都為完整的陳述語句，且都做出了肯定或否定的判斷，所以屬于命題;②只是描述一個狀態(tài)的語句，并不完整，且不具備判斷性，所以不屬于命題;⑥為疑問句，不是陳述句，且沒有做出判斷，所以也不屬于命題，故正確答案為C項.

評注：只有熟練掌握了命題兩個層面的含義，才能輕松判斷出一個語句是否屬于命題.

二、數(shù)學(xué)命題的結(jié)構(gòu)有固定的形式

數(shù)學(xué)命題有著自己獨特的結(jié)構(gòu)形式，它由題設(shè)（條件）和結(jié)論這兩個重要部分構(gòu)成，題設(shè)（條件）為已知項，常用“若、如果、如”等字眼表示，結(jié)論則是由已知條件推導(dǎo)出的結(jié)果，一般用“則、那么”等字眼表示.有些數(shù)學(xué)命題的條件和結(jié)論并不明顯，若能將其改寫成“如果……那么……”的標(biāo)志性結(jié)構(gòu)，則很容易分清條件和結(jié)論.需要注意的是，在把命題改寫成固定形式時，要注意如下幾點：一是改寫后命題語句要完整，題設(shè)和結(jié)論表述要清楚明了;二是改寫前后命題內(nèi)容要保持一致.

例2 ?將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并指出命題的題設(shè)與結(jié)論.

①對頂角相等;

②兩直線平行，同位角相等;

③在同一平面內(nèi)，兩條直線和第三條直線平行，則這兩條直線也平行;

④同一條底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形;

解析：①如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.命題的題設(shè)是“兩個角是對頂角”，結(jié)論是“相等”;②如果兩直線平行，那么同位角相等.題設(shè)是“兩直線平行”，結(jié)論是“同位角相等”;③如果在同一平面內(nèi)，兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線也平行，命題的題設(shè)是“在同一平面內(nèi)，兩條直線和第三條直線平行”，結(jié)論是“這兩條直線也平行”;④如果一個梯形同一條底邊上的兩個內(nèi)角相等，那么這個梯形是等腰梯形，命題的題設(shè)是“同一條底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形”，結(jié)論是“這個梯形是等腰梯形”.

評注：指出命題的題設(shè)和結(jié)論，關(guān)鍵在于弄清命題的因果關(guān)系.一般地，命題的題設(shè)條件為因，而結(jié)論則為果.

三、數(shù)學(xué)命題有真假之分

數(shù)學(xué)命題除了具有判斷性和固定的結(jié)構(gòu)形式外，還具備真假性.真命題，顧名思義就是正確的命題.反之，錯誤的命題，則稱為假命題.要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e出一個例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例;而要說明一個命題是真命題，則需根據(jù)公理和定理證明.

例3 ?下列命題：①一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，則這個多邊形是八邊形;②在函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，y的值隨x的增大而增大;③有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等;④若實數(shù)x、y滿足 +2（y-1）2=0，則x+y= ;⑤二次函數(shù)y=ax2-2ax+1，自變量的兩個值x1、x2，對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2，若| x1-1|>|x2-1|，則a（y1-y2）>0，其中真命題有 ? ? .（填序號）

解析：①一個多邊形的內(nèi)角和是它外角和的3倍，那么該多邊形的內(nèi)角和為1080°，所以（n-2）×180°=1080°，解得n=8，故①說法正確，為真命題;

②對于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），一般地，當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大，當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小.此處由于k的正負(fù)并不確定，所以y的值不一定隨x的增大而增大，故②說法錯誤，為假命題;

③鈍角三角形和銳角三角形滿足兩邊及其中一邊上的高相等，但這兩個三角形并不全等，故此說法不正確，為假命題;

④由題意可知，2x-1=0，y-1=0，解得x= ，y=1，所以x+y= ，故此命題正確，為真命題;

⑤由題意可知對稱軸為直線x=1，所以當(dāng)| x1-1|>|x2-1|時，可知x1比x2遠(yuǎn)離對稱軸距離更遠(yuǎn)些，由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)a>0時，y1>y2，此時a（y1-y2）>0;當(dāng)a<0時，開口向下，y10，故此說法正確，為真命題.

綜上所述，真命題為①④⑤.

評注：對于真命題的判斷，需要結(jié)合題設(shè)條件，運用定理、公理、公式等數(shù)學(xué)知識，經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碛枰宰C明;而對假命題的判斷，只需要舉出一個反例即可.

總之，命題是可以判斷真假的陳述句，判斷性、結(jié)構(gòu)性（什么意思？）固定的結(jié)構(gòu)形式、真假性是一個命題不可或缺的三要素.同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要注意把握命題的含義和基本特征，準(zhǔn)確識別出哪些是命題，切實掌握數(shù)學(xué)知識.