李銘杰
【摘要】條件的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵,在面對(duì)條件的時(shí)候不知道如何處理,知識(shí)的整合不足,分析能力弱,導(dǎo)致學(xué)生解題能力偏弱,在面對(duì)難題時(shí)缺乏自信心。因此要注重學(xué)生對(duì)于條件的分析,幫助學(xué)生整理知識(shí)點(diǎn),搭建知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系,構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò),讓學(xué)生在面對(duì)題目時(shí)有的放矢,提高解題的技巧和能力,培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣。
【關(guān)鍵詞】條件整合;一題多解;思路辨析
基于初中階段知識(shí)點(diǎn)的繁多,在教學(xué)過(guò)程中間不能再一味地強(qiáng)調(diào)用當(dāng)前所學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題,對(duì)于現(xiàn)有條件的發(fā)散性思考,多角度的分析條件,更深層次的聯(lián)想,對(duì)于已有知識(shí)的整合運(yùn)用就尤為關(guān)鍵,讓知識(shí)點(diǎn)不再是零碎在學(xué)生腦袋中間,應(yīng)該是一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn),從而幫助學(xué)生提高解題技巧和速度,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維和素養(yǎng)。
1.原題呈現(xiàn)
如圖,在△ABC中,∠C=90°,D是邊BC上的一點(diǎn),以DB為直徑的經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)E,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF。
試題分析
本道試題是在圓知識(shí)里面,在學(xué)習(xí)完圓周角后出現(xiàn)的例題。這到題目非常好的向?qū)W生呈現(xiàn)出了圓在作為背景的情況下是如何體現(xiàn)其工具性的。同時(shí)也非常緊密的聯(lián)系了之前所學(xué)的知識(shí)點(diǎn),全方位的將知識(shí)點(diǎn)擺在學(xué)生面前,如何聯(lián)系并整合所學(xué)知識(shí)是現(xiàn)在解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
2.解法研究
問(wèn)題1:求證:∠1=∠F;
此題中間的主要條件非常清晰,①以BD為直徑,②E為AB 的中點(diǎn)。這兩個(gè)條件都是可以進(jìn)一步延伸的,直徑BD可以延伸到其所對(duì)圓周角為180°,在圖中就可以進(jìn)一步添加輔助線幫助解題,E為AB中點(diǎn)的運(yùn)用也是相當(dāng)廣泛。兩者結(jié)合之下就會(huì)呈現(xiàn)出很多新的內(nèi)容。
解法1:連接ED,∵BD為的直徑,∴∠DEB=90°,所以DE⊥AB,∵E為AB中點(diǎn),∴DE垂直平分AB,易知∠1=∠B,由,∴∠B=∠F,故∠1=∠F。
解法2:連接BF,∵BD為的直徑,∴∠DFB=90°,∵E為AB的中點(diǎn),∴EF=AE=EB
所以∠1=∠F。
分析:這兩條連線主要基于BD為直徑這個(gè)條件,得到直角,再與中點(diǎn)之間的聯(lián)系,初中階段中點(diǎn)和直角的聯(lián)系基本是兩類(lèi):①等腰三角形中三線合一,②直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半,根據(jù)題目的條件的關(guān)聯(lián)就比較容易想到。
在此基礎(chǔ)上,對(duì)于中點(diǎn)的知識(shí)可以繼續(xù)挖掘,中點(diǎn)還可以和哪些知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系。學(xué)生對(duì)于中位線的運(yùn)用較之前兩種解法還是比較薄弱的。當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí),我們可以尋找其他中點(diǎn)連接得到中位線,圓中間較為常見(jiàn)的中點(diǎn)就是圓心,當(dāng)連接EO之后,對(duì)于圓中的半徑又易得等腰三角形,方便求解。
反思:對(duì)于已有知識(shí)要進(jìn)行充分的挖掘,在教授解題時(shí)更要注重知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和整理,本題第一問(wèn)中著重對(duì)于中點(diǎn)進(jìn)行了分析,向?qū)W生整理后得中點(diǎn)的一些常見(jiàn)的聯(lián)想
當(dāng)然中點(diǎn)的延伸還可以向構(gòu)造全等或者相似出發(fā)。
分析:當(dāng)題目條件中間出現(xiàn)直角,在求邊長(zhǎng)時(shí)自然會(huì)聯(lián)想到直角三角形的勾股定理,這一種方法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)只需要將未知邊表示出來(lái)即可,在求解時(shí)也不會(huì)有很大難度。
分析:這種方法是通過(guò)求BD的長(zhǎng)間接去求CD。對(duì)于三角形的相似,學(xué)生習(xí)慣于找到圖中已出現(xiàn)的相似三角形,現(xiàn)階段已知Rt△ABC,如何通過(guò)圓背景去構(gòu)造相似成了這道題目的關(guān)鍵,抓住圓中間常出現(xiàn)的兩個(gè)直角,①直徑所對(duì)的圓周角,②切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑所成的直角,這兩個(gè)主要要素去構(gòu)造。
反思:在求解線段長(zhǎng)度時(shí),首先還是要將線段安家,放在相應(yīng)的三角形中間求解。當(dāng)出現(xiàn)直角時(shí)自然是放置在直角三角形中通過(guò)勾股定理求解,學(xué)生對(duì)于找直角三角形是比較熟練的。當(dāng)需要出現(xiàn)轉(zhuǎn)換邊長(zhǎng)求解時(shí),學(xué)生對(duì)此不容易想到。轉(zhuǎn)換后仍舊可以先將線段安家,此時(shí)需要找的三角形應(yīng)該是以已知的三角形為基礎(chǔ)來(lái)尋找或者構(gòu)造,通過(guò)兩者之間的聯(lián)系來(lái)求解。學(xué)生在此常會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤是任意找一個(gè)三角形去求解,導(dǎo)致已知條件的無(wú)法運(yùn)用。解決求線段長(zhǎng)度的一般思路可以得
將線段安家 等方法
基于以上兩問(wèn)的練習(xí),不難看出,數(shù)學(xué)題目的解題方向,主要入手點(diǎn)還是對(duì)于條件的分析和圖形的認(rèn)識(shí)理解,已知條件的拓展延伸為題目的多解提供了基礎(chǔ),圖形中線段的載體圖形的尋找和構(gòu)造是根基。將之前所學(xué)與現(xiàn)在的知識(shí)整合,有條理的進(jìn)行問(wèn)題的解答。
3.拓展提升
如圖,AB是的直徑,弦AD平分∠BAC,過(guò)點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E。
(1)DE與AC有怎樣的位置關(guān)系;
對(duì)于(1)來(lái)說(shuō)較為簡(jiǎn)單,只需連接OD后,通過(guò)角平分線和等腰三角形的角相等就可以得到內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,得到同旁內(nèi)角互補(bǔ),∠DEA=90°,所以DE⊥AC?,F(xiàn)在重點(diǎn)探究第2小問(wèn),結(jié)合前面思路進(jìn)行研究探討。
思路1:可以知道若直接求AE,可以將其安置在Rt△AED中,此時(shí)可以可以發(fā)現(xiàn)連接BD之后就有Rt△ABD,條件集中在此三角形中,有利于計(jì)算。
思路2:將線段AE進(jìn)行轉(zhuǎn)化,本題中間沒(méi)有相等邊的轉(zhuǎn)化,通過(guò)條件發(fā)現(xiàn)有角平分線,通過(guò)角平分線的性質(zhì)來(lái)幫助AE進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線,垂足為H,連接BD
反思:在這題的解題過(guò)程中間,學(xué)生對(duì)于構(gòu)造直角三角形證相似解題是比較熟練的,同時(shí)也是比較容易想到的,對(duì)于角平分線構(gòu)造全等的掌握比較薄弱,構(gòu)造出來(lái)之后如何去計(jì)算也是有著難易的差別,有學(xué)生會(huì)陷入到如何用勾股定理直接求解,這是以往解題經(jīng)驗(yàn)和直觀思考將學(xué)生帶入到的誤區(qū),需要及時(shí)的調(diào)整和改變策略。
4.教學(xué)思考
4.1條件的發(fā)散思考,尋求多解可能性
在解題教學(xué)過(guò)程中間,老師不能在自己的經(jīng)驗(yàn)上面直接灌輸式的進(jìn)行題目的講解,忽視學(xué)生在解題時(shí)遇到的阻礙,如何清理這些阻礙就為解題做了鋪墊,在題目中間,最直觀的阻礙就是條件給學(xué)生設(shè)置的。例如在原題中間,學(xué)生就中點(diǎn)的如何運(yùn)用有問(wèn)題,這也是很多題目中常給出的條件。我們通過(guò)對(duì)中點(diǎn)的發(fā)散思考,在以往的解題經(jīng)驗(yàn)中尋找中點(diǎn)的運(yùn)用,并結(jié)合本題中的一些已知條件,很快的解決阻礙,找到了解決問(wèn)題的方法。在教學(xué)中要不斷的給學(xué)生滲透這種思維的發(fā)散,拓寬學(xué)生解題的思維寬度,多角度的挖掘內(nèi)涵條件,學(xué)生才不會(huì)因?yàn)橄嗤瑮l件在不同情境下的不同運(yùn)用而束手無(wú)策,能夠做到胸有成竹。這樣的積累可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)素養(yǎng),是學(xué)生提高數(shù)學(xué)水平的必要基礎(chǔ)。
4.2知識(shí)的梳理整合讓解題變得更有條理
在學(xué)生發(fā)散思考的同時(shí),也要做好知識(shí)整合的工作,不能讓學(xué)生發(fā)散所得到的知識(shí)僅僅是碎片化的知識(shí)點(diǎn),這對(duì)于解題是沒(méi)有幫助的,反而會(huì)起到反作用。因此需要幫助學(xué)生強(qiáng)化思路,提煉精華和主旨,建立思維導(dǎo)圖,總結(jié)一些重要的解題思路和方法。當(dāng)學(xué)生看到陌生題目是可以理清頭緒,轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)點(diǎn)去解決。結(jié)合題目背景,特別是一些常用的幾何模型的構(gòu)造,要讓學(xué)生去熟悉,從不同的切入點(diǎn)聯(lián)想到不同的幾何模型,可以有助于學(xué)生提高解題思路和技巧。
4.3內(nèi)涵數(shù)學(xué)思想,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)
數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中間。數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在之間的聯(lián)系,將條件回歸到數(shù)學(xué)的基本概念和思維上去。通過(guò)條件的不斷挖掘和探索,讓學(xué)生慢慢積累和掌握不同知識(shí)點(diǎn)帶來(lái)的碰撞、組合,通過(guò)思維的發(fā)散、知識(shí)的整合,一題多解,相同條件帶來(lái)的不同變化,來(lái)體會(huì)數(shù)學(xué)的精彩,讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維,內(nèi)化數(shù)學(xué)思想,促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的提升,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。
(江蘇省蘇州市高新區(qū)通安中學(xué)校)