教學(xué)中間的化零為整，知識整合

李銘杰

【摘要】條件的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，在面對條件的時候不知道如何處理，知識的整合不足，分析能力弱，導(dǎo)致學(xué)生解題能力偏弱，在面對難題時缺乏自信心。因此要注重學(xué)生對于條件的分析，幫助學(xué)生整理知識點(diǎn)，搭建知識點(diǎn)的聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生在面對題目時有的放矢，提高解題的技巧和能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣。

【關(guān)鍵詞】條件整合;一題多解;思路辨析

基于初中階段知識點(diǎn)的繁多，在教學(xué)過程中間不能再一味地強(qiáng)調(diào)用當(dāng)前所學(xué)知識去解決問題，對于現(xiàn)有條件的發(fā)散性思考，多角度的分析條件，更深層次的聯(lián)想，對于已有知識的整合運(yùn)用就尤為關(guān)鍵，讓知識點(diǎn)不再是零碎在學(xué)生腦袋中間，應(yīng)該是一個知識網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)，從而幫助學(xué)生提高解題技巧和速度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維和素養(yǎng)。

1.原題呈現(xiàn)

如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是邊BC上的一點(diǎn)，以DB為直徑的經(jīng)過AB的中點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，連接EF。

試題分析

本道試題是在圓知識里面，在學(xué)習(xí)完圓周角后出現(xiàn)的例題。這到題目非常好的向?qū)W生呈現(xiàn)出了圓在作為背景的情況下是如何體現(xiàn)其工具性的。同時也非常緊密的聯(lián)系了之前所學(xué)的知識點(diǎn)，全方位的將知識點(diǎn)擺在學(xué)生面前，如何聯(lián)系并整合所學(xué)知識是現(xiàn)在解決問題的關(guān)鍵。

2.解法研究

問題1：求證：∠1=∠F;

此題中間的主要條件非常清晰，①以BD為直徑，②E為AB 的中點(diǎn)。這兩個條件都是可以進(jìn)一步延伸的，直徑BD可以延伸到其所對圓周角為180°，在圖中就可以進(jìn)一步添加輔助線幫助解題，E為AB中點(diǎn)的運(yùn)用也是相當(dāng)廣泛。兩者結(jié)合之下就會呈現(xiàn)出很多新的內(nèi)容。

解法1：連接ED，∵BD為的直徑，∴∠DEB=90°，所以DE⊥AB，∵E為AB中點(diǎn)，∴DE垂直平分AB，易知∠1=∠B，由，∴∠B=∠F，故∠1=∠F。

解法2：連接BF，∵BD為的直徑，∴∠DFB=90°，∵E為AB的中點(diǎn)，∴EF=AE=EB

所以∠1=∠F。

分析：這兩條連線主要基于BD為直徑這個條件，得到直角，再與中點(diǎn)之間的聯(lián)系，初中階段中點(diǎn)和直角的聯(lián)系基本是兩類：①等腰三角形中三線合一，②直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)題目的條件的關(guān)聯(lián)就比較容易想到。

在此基礎(chǔ)上，對于中點(diǎn)的知識可以繼續(xù)挖掘，中點(diǎn)還可以和哪些知識點(diǎn)聯(lián)系。學(xué)生對于中位線的運(yùn)用較之前兩種解法還是比較薄弱的。當(dāng)E為中點(diǎn)時，我們可以尋找其他中點(diǎn)連接得到中位線，圓中間較為常見的中點(diǎn)就是圓心，當(dāng)連接EO之后，對于圓中的半徑又易得等腰三角形，方便求解。

反思：對于已有知識要進(jìn)行充分的挖掘，在教授解題時更要注重知識點(diǎn)之間的聯(lián)系和整理，本題第一問中著重對于中點(diǎn)進(jìn)行了分析，向?qū)W生整理后得中點(diǎn)的一些常見的聯(lián)想

當(dāng)然中點(diǎn)的延伸還可以向構(gòu)造全等或者相似出發(fā)。

分析：當(dāng)題目條件中間出現(xiàn)直角，在求邊長時自然會聯(lián)想到直角三角形的勾股定理，這一種方法對于學(xué)生來說只需要將未知邊表示出來即可，在求解時也不會有很大難度。

分析：這種方法是通過求BD的長間接去求CD。對于三角形的相似，學(xué)生習(xí)慣于找到圖中已出現(xiàn)的相似三角形，現(xiàn)階段已知Rt△ABC，如何通過圓背景去構(gòu)造相似成了這道題目的關(guān)鍵，抓住圓中間常出現(xiàn)的兩個直角，①直徑所對的圓周角，②切線與過切點(diǎn)的半徑所成的直角，這兩個主要要素去構(gòu)造。

反思：在求解線段長度時，首先還是要將線段安家，放在相應(yīng)的三角形中間求解。當(dāng)出現(xiàn)直角時自然是放置在直角三角形中通過勾股定理求解，學(xué)生對于找直角三角形是比較熟練的。當(dāng)需要出現(xiàn)轉(zhuǎn)換邊長求解時，學(xué)生對此不容易想到。轉(zhuǎn)換后仍舊可以先將線段安家，此時需要找的三角形應(yīng)該是以已知的三角形為基礎(chǔ)來尋找或者構(gòu)造，通過兩者之間的聯(lián)系來求解。學(xué)生在此常會出現(xiàn)的錯誤是任意找一個三角形去求解，導(dǎo)致已知條件的無法運(yùn)用。解決求線段長度的一般思路可以得

將線段安家 等方法

基于以上兩問的練習(xí)，不難看出，數(shù)學(xué)題目的解題方向，主要入手點(diǎn)還是對于條件的分析和圖形的認(rèn)識理解，已知條件的拓展延伸為題目的多解提供了基礎(chǔ)，圖形中線段的載體圖形的尋找和構(gòu)造是根基。將之前所學(xué)與現(xiàn)在的知識整合，有條理的進(jìn)行問題的解答。

3.拓展提升

如圖，AB是的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E。

（1）DE與AC有怎樣的位置關(guān)系;

對于（1）來說較為簡單，只需連接OD后，通過角平分線和等腰三角形的角相等就可以得到內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得到同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∠DEA=90°，所以DE⊥AC?，F(xiàn)在重點(diǎn)探究第2小問，結(jié)合前面思路進(jìn)行研究探討。

思路1：可以知道若直接求AE，可以將其安置在Rt△AED中，此時可以可以發(fā)現(xiàn)連接BD之后就有Rt△ABD，條件集中在此三角形中，有利于計算。

思路2：將線段AE進(jìn)行轉(zhuǎn)化，本題中間沒有相等邊的轉(zhuǎn)化，通過條件發(fā)現(xiàn)有角平分線，通過角平分線的性質(zhì)來幫助AE進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為H，連接BD

反思：在這題的解題過程中間，學(xué)生對于構(gòu)造直角三角形證相似解題是比較熟練的，同時也是比較容易想到的，對于角平分線構(gòu)造全等的掌握比較薄弱，構(gòu)造出來之后如何去計算也是有著難易的差別，有學(xué)生會陷入到如何用勾股定理直接求解，這是以往解題經(jīng)驗(yàn)和直觀思考將學(xué)生帶入到的誤區(qū)，需要及時的調(diào)整和改變策略。

4.教學(xué)思考

4.1條件的發(fā)散思考，尋求多解可能性

在解題教學(xué)過程中間，老師不能在自己的經(jīng)驗(yàn)上面直接灌輸式的進(jìn)行題目的講解，忽視學(xué)生在解題時遇到的阻礙，如何清理這些阻礙就為解題做了鋪墊，在題目中間，最直觀的阻礙就是條件給學(xué)生設(shè)置的。例如在原題中間，學(xué)生就中點(diǎn)的如何運(yùn)用有問題，這也是很多題目中常給出的條件。我們通過對中點(diǎn)的發(fā)散思考，在以往的解題經(jīng)驗(yàn)中尋找中點(diǎn)的運(yùn)用，并結(jié)合本題中的一些已知條件，很快的解決阻礙，找到了解決問題的方法。在教學(xué)中要不斷的給學(xué)生滲透這種思維的發(fā)散，拓寬學(xué)生解題的思維寬度，多角度的挖掘內(nèi)涵條件，學(xué)生才不會因?yàn)橄嗤瑮l件在不同情境下的不同運(yùn)用而束手無策，能夠做到胸有成竹。這樣的積累可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是學(xué)生提高數(shù)學(xué)水平的必要基礎(chǔ)。

4.2知識的梳理整合讓解題變得更有條理

在學(xué)生發(fā)散思考的同時，也要做好知識整合的工作，不能讓學(xué)生發(fā)散所得到的知識僅僅是碎片化的知識點(diǎn)，這對于解題是沒有幫助的，反而會起到反作用。因此需要幫助學(xué)生強(qiáng)化思路，提煉精華和主旨，建立思維導(dǎo)圖，總結(jié)一些重要的解題思路和方法。當(dāng)學(xué)生看到陌生題目是可以理清頭緒，轉(zhuǎn)化為已知的知識點(diǎn)去解決。結(jié)合題目背景，特別是一些常用的幾何模型的構(gòu)造，要讓學(xué)生去熟悉，從不同的切入點(diǎn)聯(lián)想到不同的幾何模型，可以有助于學(xué)生提高解題思路和技巧。

4.3內(nèi)涵數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中間。數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是抓住數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在之間的聯(lián)系，將條件回歸到數(shù)學(xué)的基本概念和思維上去。通過條件的不斷挖掘和探索，讓學(xué)生慢慢積累和掌握不同知識點(diǎn)帶來的碰撞、組合，通過思維的發(fā)散、知識的整合，一題多解，相同條件帶來的不同變化，來體會數(shù)學(xué)的精彩，讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的提升，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（江蘇省蘇州市高新區(qū)通安中學(xué)校）