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    2020年全國數(shù)學(xué)中考“隱圓”問題探究

    2021-09-10 15:13:44梁志堅(jiān)
    科教創(chuàng)新與實(shí)踐 2021年14期
    關(guān)鍵詞:共圓最值中考

    梁志堅(jiān)

    一、問題的提出

    圓是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”模塊中最重要的內(nèi)容之一. 縱觀近年來全國各省市中考試題,圓的考查形式往往有兩種:一種是題干中給出圓,以圓為背景命制試題;另一種是題設(shè)中沒有圓,但在解題過程中,需要構(gòu)造圓,利用圓的相關(guān)知識(shí)來解決問題. 我們稱第二種為“隱圓”問題。

    二、問題的研究

    (一)“隱圓”問題類型

    類型一. 四點(diǎn)共圓型

    初中階段常見的四點(diǎn)共圓模型有:

    1.根據(jù)定義:到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)共圓(如圖1);

    2.共斜邊的兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)共圓(如圖2);

    3.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形頂點(diǎn)共圓(如圖3);

    4.同一線段同側(cè)所對(duì)角相等,角的頂點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓(如圖4)。

    類型二. 路徑(軌跡)為圓(?。┬?/p>

    動(dòng)點(diǎn)問題是全國數(shù)學(xué)中考命題的熱點(diǎn),其命題形式大致分為兩類:

    1. 任務(wù)型動(dòng)點(diǎn):由雙動(dòng)點(diǎn)與圖中的一至二個(gè)定點(diǎn)組成的圖形,滿足條件:(1)構(gòu)造成特殊三角形或四邊形;(2)與圖中已有三角形全等或相似;(3)圖形的周長(zhǎng)或面積成一定比例關(guān)系或是獲取最值;(4)構(gòu)成一定度數(shù)的角;

    2. 圖形在進(jìn)行平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)這三種基本幾何變換過程中,圖形中某一特殊點(diǎn)(常為中點(diǎn))的路徑問題,或是與這一點(diǎn)相關(guān)的第一類問題. 而這一特殊點(diǎn)的路徑,通常有兩種情況:一是直線型(線段),二是圓(?。┬?。

    (二)“隱圓”問題解題方法研究

    2020年全國數(shù)學(xué)中考與“隱圓”有關(guān)的試題,考查的核心數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化,考查的熱點(diǎn)問題是求最值. 最值問題又分為二類:一是求線段長(zhǎng)的最值;二是求三角形面積的最值.鑒于四點(diǎn)共圓問題前面已有較為詳細(xì)的論述,所以本環(huán)節(jié)側(cè)重闡述最值問題、倍角(半角)問題、定角對(duì)定弦問題。

    1. 最值問題:

    圓中最值問題,有個(gè)最核心的“元”模型——“一箭穿心”,如圖9:

    “尋模型——現(xiàn)隱圓——明路徑——解最值”,是這類問題的解題思路與過程. 另外,特別強(qiáng)調(diào)的是,在圓中取弦的中點(diǎn),與圓心構(gòu)造成三角形的中位線,是非常重要的一種作輔助線的方法,這種方法在高中立體幾何中證明線、面平行,也經(jīng)常用到。

    2. 倍角與半角問題

    在一些二次函數(shù)綜合題中,會(huì)出現(xiàn)“不定角”問題. “不定”,是指角的位置不明確,解題時(shí),有時(shí)需要通過構(gòu)造圓,利用圓周角的性質(zhì),來進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化。

    根據(jù)倍角或半角關(guān)系,構(gòu)造“隱圓”,是中考“隱圓”問題中難度最大的一類,需要教師在平常教學(xué)中,尤其是數(shù)學(xué)尖子生培訓(xùn)過程中,經(jīng)常滲透這種轉(zhuǎn)化的思想與方法。

    3. 定角對(duì)定弦問題

    “定角對(duì)定弦”問題有顯性且確定的模型,其本質(zhì)如下:

    (1)若△ABC的邊AB確定,∠C的大小確定,則點(diǎn)C為△ABC外接圓上(不與A、B重合)一動(dòng)點(diǎn),△ABC的形狀并不確定,如下圖:

    (2)“定角對(duì)定弦問題”,通常是求路徑長(zhǎng),當(dāng)我們明白(1)中的實(shí)質(zhì)之后,就很容易辨識(shí)問題的本質(zhì)并快速找到解決方法:先確定△ABC外接圓,再求半徑,最后求路徑長(zhǎng)(弧長(zhǎng))。

    (三)“隱圓”問題教學(xué)導(dǎo)向

    中考試題是教學(xué)的導(dǎo)向標(biāo). “隱圓”問題對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)有何教學(xué)導(dǎo)向呢?

    1.教學(xué)要圍繞核心素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生思維能力

    真正的學(xué)科素養(yǎng),不應(yīng)只是一些文本的知識(shí),應(yīng)是內(nèi)化為學(xué)生意識(shí)中的一種涵養(yǎng)與關(guān)鍵能力. “隱圓”問題,是學(xué)生較深入掌握?qǐng)A的知識(shí)后,對(duì)相關(guān)知識(shí)與方法靈活運(yùn)用的一種綜合性考查,教師在初三數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)重視這類問題的教學(xué)研究,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

    2.辯證的看待“問題模型”

    近幾年,關(guān)于數(shù)學(xué)問題的模型,各類雜志、自媒體、網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)均有較大力度的宣講,有些甚至歸納出上百個(gè)模型. 目前,在全國較大的一些數(shù)學(xué)教師研究群里,對(duì)問題模型教學(xué)也有較大的爭(zhēng)議,不少教育專家反對(duì)過多的模型教學(xué),認(rèn)為這樣會(huì)拘束學(xué)生的思維發(fā)展。筆者認(rèn)為,問題模型教學(xué)契合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“建模思想”,對(duì)學(xué)生較快掌握某一模塊或?qū)n}有較大的促進(jìn)作用,但要注意兩點(diǎn):一是不能過多,否則學(xué)生會(huì)淹沒在模型中迷失方向;二是不能死記模型,必須讓學(xué)生真正明白模型的來源、原理. 下面以“隱圓”最值問題的“元”模型為例,闡述模型如何講透數(shù)學(xué)道理。

    PA為什么最短?PB為什么最長(zhǎng)?教師可以向?qū)W生講清楚這個(gè)道理:

    如圖10,點(diǎn)C為⊙O上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),在△POC中,OC+CP>OP,即OC+CP>OA+AP,因?yàn)镺A=OC,所以CP>AP. 同樣可證明PB>PC。

    3.加強(qiáng)單元復(fù)習(xí)中的專題教學(xué),重視內(nèi)容設(shè)計(jì)的“生長(zhǎng)性”

    復(fù)習(xí)不是知識(shí)、方法的簡(jiǎn)單重復(fù),而是自主建構(gòu)、不斷知新、不斷生長(zhǎng)的過程。專題復(fù)習(xí)聚焦核心內(nèi)容、核心思想方法,它應(yīng)具有以下三個(gè)特征:

    (1)生長(zhǎng)性. 所謂生長(zhǎng)性,由元問題出發(fā),基于基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn),在解決問題過程中不斷產(chǎn)生新問題,不斷生長(zhǎng)新的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思維、經(jīng)驗(yàn)。

    (2)結(jié)構(gòu)性.專題復(fù)習(xí)主要關(guān)注知識(shí)在不同領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)結(jié),或通過知識(shí)聯(lián)結(jié)載體,或通過某一思想方法聯(lián)結(jié)載體。

    (3)層次性.專題復(fù)習(xí)主題明顯,思維要求較高,目標(biāo)定位不清晰會(huì)導(dǎo)致“專、深、難”,中等生與學(xué)困生不能接受. 因此在內(nèi)容設(shè)計(jì)時(shí),要體現(xiàn)高立意、低起點(diǎn),關(guān)注不同層次學(xué)生的發(fā)展,從而激活思維動(dòng)力,增長(zhǎng)思維活力。

    參考文獻(xiàn):

    [1]楊軍.巧用點(diǎn)線命題凸顯素養(yǎng)考查[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考,2019.4中.54-56.

    [2]姜曉翔.初中數(shù)學(xué)命題方法之延續(xù)策略[J].中國數(shù)學(xué)教育,2019.6.39-41.

    [3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社.

    [4]戴娟.微專題在中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)中的實(shí)踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊(蘇州),2018.11.23-25.

    [5]錢云祥.源自教材基于課堂劍指素養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(曲阜),2019.8.54-55.

    廣州市番禺區(qū)毓賢學(xué)校 廣東 廣州 511430

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