基于結(jié)合面變形的裝配誤差建模研究

李冬英 李瑤 梁睿

摘 要：機(jī)械產(chǎn)品裝配精度與裝配誤差源和誤差傳遞規(guī)律相關(guān)。論文研究了裝配結(jié)合面變形影響下零部件的建模方法，并建立了誤差模型。通過分析兩零部件粗糙表面結(jié)合處的相互作用，得出結(jié)合面變形特性。通過坐標(biāo)變換和位姿描述，構(gòu)建了零部件在結(jié)合面變形下的誤差模型。此外，分析了零部件的誤差傳遞路徑，建立了誤差累積傳遞模型并進(jìn)行了計算。

關(guān)鍵詞：裝配誤差建模;結(jié)合面變形;小位移旋量;誤差傳遞

0 引言

裝配結(jié)合面一般指機(jī)械零部件在裝配過程中微觀表面相互擠壓形成的接觸面。機(jī)械零部件相互結(jié)合由于摩擦、磨損、潤滑等特性發(fā)生結(jié)合面形變，這種類型的形變通過累積和傳遞，對于機(jī)械結(jié)構(gòu)將成為一個極大的影響因素。據(jù)研究，機(jī)床結(jié)合面處的變形量占機(jī)床整體靜變形量的比例可達(dá)85%～90%[1]。

張慧鋒[2]等人根據(jù)法向壓力與界面變形之間的關(guān)系設(shè)計了固定結(jié)合面的靜態(tài)特性實驗。楊紅平[3]等分別采用分形理論和力學(xué)理論，對微觀粗糙表面和接觸結(jié)合面進(jìn)行了分析，構(gòu)建了接觸過程中不同受力階段的接觸模型。Megalingam和Mayuram[4]利用有限元分析對粗糙表面之間的接觸進(jìn)行建模分析，得到了接觸面之間的壓強(qiáng)。莊艷[5]等提出了分水嶺分割的計算法，得到了較準(zhǔn)確的粗糙表面結(jié)合面接觸剛度。王世軍[6]等，通過實際零件表面尺寸測量，構(gòu)建了裝配預(yù)測模型，采用罰函數(shù)法對模型進(jìn)行了求解，實現(xiàn)裝配精度的預(yù)測。楊國慶[7]等采用數(shù)值方法分析了剛性光滑面與粗糙面之間的接觸，獲得了結(jié)合面間理想化的接觸特性，但是與實際情況存在一定偏差。

近年來，關(guān)于裝配誤差建模，很少考慮由于結(jié)合面形變而產(chǎn)生的影響，且建模也是假定配合面為兩個剛性面或一剛性面與粗糙面相互配合，與實際裝配精度存在較大偏差[8]。隨著時代的發(fā)展，科技的進(jìn)步，企業(yè)對于數(shù)控機(jī)床的整機(jī)性能要求越來越高，所以需要人們綜合考慮機(jī)械裝配零件中形變對裝配精度的影響。

1 構(gòu)建零部件裝配變形的誤差模型

1.1 坐標(biāo)變換與位姿描述

裝配過程誤差模型是在零件制造誤差的基礎(chǔ)上考慮裝配過程中的變形，并用旋量參數(shù)不等式表示和描述不同幾何特征的變化，從而體現(xiàn)零件理想幾何特征與實際幾何特征間的相互關(guān)系[9]。相比傳統(tǒng)裝配誤差模型，慮及裝配零部件形變的誤差模型更容易表達(dá)實際的裝配情況。

在坐標(biāo)空間中，產(chǎn)品裝配精度主要通過局部坐標(biāo)系中的零件誤差以及坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換來表示。如圖1所示，存在三個坐標(biāo)系，，。的原點相對的位置可用來表示，相對的位置可用來表示， 相對的位置可用表示。則存在以下關(guān)系：

因此，不同左邊系之間的一般變換可通過下式獲得：

式中表示坐標(biāo)系相對于坐標(biāo)系的位置;，，分別表示各坐標(biāo)系下的矢量。

空間兩物體之間的相對位置關(guān)系可通過齊次坐標(biāo)矩陣進(jìn)行描述[10]。因此，前式可利用下式來描述：

即，

式中，表示坐標(biāo)發(fā)生平移或旋轉(zhuǎn)的矩陣。

如圖1所示，若坐標(biāo)系相對于坐標(biāo)系的軸先平移后，再旋轉(zhuǎn)、、角，則：

其中;表示旋轉(zhuǎn)矩陣，表示平移矩陣。

若空間幾何體發(fā)生微小量平移或旋轉(zhuǎn)時，，，則：

1.2 構(gòu)建誤差模型

對于高端數(shù)控機(jī)床來說，數(shù)控轉(zhuǎn)臺的裝配精度對整機(jī)的精度有很大的影響。零部件制造后，其表面總會出現(xiàn)一些細(xì)微的凹凸缺陷，造成制造誤差，而制造誤差也同樣影響著裝配誤差。因此，生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的零件缺陷所引起的制造誤差不同，對最終裝配精度的影響也不同。如圖2所示，顯示了具有不同制造誤差的裝配示意圖。

從圖2可以看出，零部件在相互配合的過程中，由于具有不同制造誤差，導(dǎo)致微觀表面接觸的位置不同而產(chǎn)生偏差，造成末端位姿有所變化。因此，需要考慮零部件制造誤差在數(shù)控轉(zhuǎn)臺的裝配過程中產(chǎn)生的影響。

在裝配過程中由于零部件間接觸變形的存在，造成裝配誤差。圖3為考慮零部件變形對裝配精度影響示意圖。

在空間中，物體運動引起的微小變形可以用小位移旋量表示，進(jìn)而形成由旋量參數(shù)表示的幾何特征變化矩陣。零件裝配過程中，小變形引起的外力在產(chǎn)品聯(lián)合表面可以通過翻譯向量計算D = （DX， dy DZ） ^ t和旋轉(zhuǎn)矢量在三個坐標(biāo)方向θ= [Dθ_ x y DθDθ_ _ Z] ^ t有效表達(dá)在零部件裝配過程中，采用三個坐標(biāo)方向上的平動矢量及轉(zhuǎn)動矢量來描述外力作用在產(chǎn)品結(jié)合面中產(chǎn)生的微小變形，將總矢量稱為小位移旋量（SDT）：

式中，分別表示沿軸的轉(zhuǎn)動量。分別表示沿軸的平移量。

圖4表示考慮產(chǎn)品制造誤差、結(jié)合面形變誤差模型構(gòu)建信息。

從圖4中的a）中可以看出，在結(jié)合面中不包含形變誤差時，經(jīng)過測試的制造誤差都有偏差。需要對結(jié)合面進(jìn)行調(diào)整才能得到較為準(zhǔn)確的制造誤差。即將實測基準(zhǔn)面調(diào)為理想基準(zhǔn)面，得到的結(jié)合面制造誤差才是有效的。圖中經(jīng)過誤差實測獲取的虛線即為擬合面。因此，得到結(jié)合面誤差模型和，有。

此外，在圖4b）中可知實測局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系存在一定偏差。為了使裝配精度更符合實際情況，有必要將基準(zhǔn)擬合面調(diào)平到理想基準(zhǔn)。若配合端面擬合面及調(diào)平后實際擬合面的誤差模型及，則。

通過上述分析，準(zhǔn)確獲取裝配體配合面在載荷作用下的擬合變形面是構(gòu)建機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差模型的基礎(chǔ)和前提[11]。本文中針對裝配機(jī)械結(jié)構(gòu)，采用數(shù)值分析方法，得到各配合表面節(jié)點處的變形點云數(shù)據(jù)，進(jìn)而獲得擬合變形表面。假設(shè)零部件結(jié)合面上存在個節(jié)點，經(jīng)最小二乘法得到的擬合變形面為：

其中，。

平面特征位姿旋量參數(shù)的求解方法如圖5所示。

從圖5中可以看出擬合變形平面相當(dāng)于繞X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)，沿Z軸平移。根據(jù)前式可得：

式中，為擬合平面相對于基準(zhǔn)面繞X軸的旋轉(zhuǎn)角度，為擬合平面相對于基準(zhǔn)面繞Y軸的旋轉(zhuǎn)角度，其正負(fù)嚴(yán)格按照右手螺旋法則確定。

將得到的平面特征各旋量參數(shù)代入，得到包含制造誤差與裝配變形因素零部件配合表面位姿旋量表達(dá)式：

由于載荷作用下零部件配合面變化較小，根據(jù)和的表達(dá)式，考慮制造誤差和裝配變形的平面特征誤差模型如下：

2 誤差傳遞模型

零部件誤差的傳遞與累積決定了產(chǎn)品最終裝配精度對結(jié)合面誤差累積傳遞分析是構(gòu)建數(shù)控轉(zhuǎn)臺精度預(yù)測模型必要步驟。

2.1 誤差傳遞路徑

為了確定機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差的累積傳遞機(jī)理，建立裝配精度模型，必須先建立產(chǎn)品各零部件的坐標(biāo)系。如圖6所示，為零件1和零件2的裝配示意圖，其中O_A、O_P以及O_F分別代表基準(zhǔn)坐標(biāo)系、名義坐標(biāo)系以及特征坐標(biāo)系。

由圖6可知，零部件配合過程中各坐標(biāo)系的關(guān)系為：

，

式中，，和分別為其在各坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。其中為一個的旋轉(zhuǎn)矩陣，表示旋轉(zhuǎn)變換。為一個1×3的平面向量，表示平移變換。

2.2 累積誤差計算

在實際裝配過程中，各個零件的結(jié)合面都受到制造誤差和變形因素的影響，且隨著裝配的進(jìn)行，各結(jié)合面之間的誤差會不斷積累和傳遞，從而影響整機(jī)的性能。

各零部件配合誤差的累積，形成了裝配體的系統(tǒng)誤差。若5個零部件相互配合，則其末端變換矩陣為

。

這里

分別為不同坐標(biāo)系間的綜合變換矩陣，其中、、為沿坐標(biāo)軸X、Y、Z的旋量，、、為沿坐標(biāo)軸X、Y、Z的平移量。

綜上所述，在個接觸結(jié)合面的系統(tǒng)中，最終的誤差是n個結(jié)合面誤差的相互累加。因此，個接觸結(jié)合面系統(tǒng)的整體裝配精度為：

式中，為系統(tǒng)末端坐標(biāo)，為第n個零件坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

3 結(jié)論

零部件其裝配結(jié)合面所產(chǎn)生的形變受多因素作用，并且其形變?yōu)榉蔷€性關(guān)系，因此，考慮結(jié)合面形變構(gòu)建誤差模型比較困難。本章采用旋量參數(shù)不等式法很好的解決了這個問題。

首先對坐標(biāo)變換和姿態(tài)描述進(jìn)行了分析和表達(dá)。其次，對零件制造誤差和裝配變形誤差進(jìn)行了分析，形成螺旋參數(shù)誤差模型。最后，根據(jù)機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差累積傳遞機(jī)理，建立了模型產(chǎn)品零件的坐標(biāo)系和誤差傳遞矩陣。因此，基于結(jié)合面形變的誤差分析和描述得到了較好的解決。

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