一道數(shù)列證明題的解題微探

朱衛(wèi)中 吳凱

摘 要：數(shù)列求和證明題是高考的?？碱}型之一，通過對一個求和問題的典型錯解分析，從四個不同的角度來深度剖析其正確解法，最后談三個方面的教學(xué)思考，以期與同行交流.

關(guān)鍵詞：典型錯解;裂項相消;數(shù)列放縮

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）13-0060-02

點評 本解法采用了“化繁為簡”的策略，過程更加清楚簡便，放縮恰到好處，在處理“裂項”時也需注意“同構(gòu)”的問題.

四、教學(xué)感悟

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法.”因此，在數(shù)列的解題教學(xué)中，教師可關(guān)注以下三點：

首先，放縮問題是近幾年高考的常考題，將數(shù)列求和、不等式證明有機融合，這類考題能充分檢測考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有效鑒別考生的解題能力，它是受命題者青睞的題型之一，因此，數(shù)列放縮證明問題是高考備考復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容，在教學(xué)中需要增加教學(xué)課時，重視解題訓(xùn)練.

其次，基于放縮思想，較多學(xué)生雖已經(jīng)初步形成“放縮求和”的思想，但是仍然不能掌握解題之精髓，無法靈活運用，如本題的典型錯解，會出現(xiàn)精度不夠的問題，我們也俗稱之“放過了”，究其根本原因，在于其解題的盲目性，不能有效根據(jù)題目給定的界限來確定解決路徑，所以，如何能讓學(xué)生快速認(rèn)識到“放過了”的原因，然后能依照題意來調(diào)整并思考解題的方向，是教學(xué)中的難點.那么，當(dāng)解題思路遇阻時，需要一些補救措施來實現(xiàn)“扭轉(zhuǎn)乾坤”，如解法1中直接約去“2n”轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列12n，但由于n項全部求和是不能滿足精度的，故保留其前兩項，用原始數(shù)值，以確保滿足精度，實現(xiàn)證明，對于通項可以放縮到等差或等比數(shù)列，能直接用求和公式求其“上限和”的情況，理論上只要盡可能保留足夠多的原始數(shù)值，就一定能達(dá)到精度要求，但考慮到數(shù)值計算的復(fù)雜性，我們只能做到適可而止，也就是說，需要保留的項盡可能少為宜.

再者，基于裂項相消模型的思考，如后三個解法，“同構(gòu)式”是“裂項”的必要因素，由最簡單的裂項相消模型1n（n+1）=1n-1n+1，于是∑ni=11i·（i+1）=1-1n+1<1，可以看出，它能實現(xiàn)裂項相消的必備條件是“1n”與“1n+1”是同構(gòu)關(guān)系，且一正一負(fù)，求和時能“前后相消”.因此，若在本題的裂項時出現(xiàn)“12n+n-12n+1+n”或“12n+n-12n+n+1”之類錯誤的表達(dá)式，即前后兩項未達(dá)到同構(gòu)關(guān)系，是不能相消的.那么什么是數(shù)列的“同構(gòu)關(guān)系”呢？其實，即如函數(shù)式“f（n）”與“f（n+1）”，通項式“an”與“an+1”，即為同一通項的前后兩項，因此，學(xué)習(xí)“裂項相消法”并不僅僅是死記公式，而應(yīng)充分理解相消求和的原理與實現(xiàn)的途徑，這樣我們才能觸類旁通，學(xué)以致用.

參考文獻(xiàn)：

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