伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想證明

王海東

摘 要：伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想是否成立，取決于高階項(xiàng)是否小于p.如果高階項(xiàng)小于p，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想就是成立的.如果高階項(xiàng)不小于p，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想就是不成立的.

關(guān)鍵詞：伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想;哈塞-韋伊L函數(shù);橢圓曲線

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）15-0041-03

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想來源于哈塞-韋伊L函數(shù).哈塞-韋伊L函數(shù)來源于橢圓曲線p模同余方程.橢圓曲線p模同余方程來源于橢圓曲線仿射方程.橢圓曲線仿射方程來源于橢圓曲線射影方程.

令x代表自變量，y代表因變量，k代表某個(gè)不等于0和1的常數(shù)，橢圓曲線射影方程為：

y3=x（x-1）（x-k）

令a，b，c，d代表四個(gè)不同常數(shù)，我們可以從橢圓曲線射影方程推出橢圓曲線仿射方程：

y2+ay=x3+bx2+cx+d

假定橢圓曲線的域特征不等于2和3，我們可以將橢圓曲線仿射方程簡(jiǎn)化成以下形式：

y2=x3+ax+b

這樣一來，橢圓曲線仿射方程就與一個(gè)古希臘數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生了理論聯(lián)系.

這個(gè)古希臘數(shù)學(xué)問題是：到底有多少正整數(shù)可以成為邊長(zhǎng)為有理數(shù)的直角三角形的面積數(shù)？

令h代表任意正整數(shù)，x和y代表y≠0的有理數(shù)解，回答這個(gè)古希臘數(shù)學(xué)問題的充要條件為：

y2=x3-h2x

我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a=-h2和b=0時(shí)，簡(jiǎn)化的橢圓曲線仿射方程就是這個(gè)充要條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

這個(gè)發(fā)現(xiàn)意味著：到底有多少正整數(shù)可以成為邊長(zhǎng)為有理數(shù)的直角三角形的面積數(shù)的數(shù)學(xué)問題，等價(jià)于某條橢圓曲線上到底可以存在多少個(gè)有理點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題.有理點(diǎn)就是用有理數(shù)表示的坐標(biāo)點(diǎn).

那么，怎樣才能把某條橢圓曲線的有理點(diǎn)數(shù)計(jì)算出來呢？顯然，我們只能用橢圓曲線p模同余方程來完成這個(gè)計(jì)算任務(wù).因?yàn)?，橢圓曲線p模同余方程的有理解數(shù)就是某條橢圓曲線的有理點(diǎn)數(shù).

令p代表任意質(zhì)數(shù)，我們可以從簡(jiǎn)化的橢圓曲線仿射方程推出橢圓曲線p模同余方程：

y2≡x3+ax+b（mod p）

令λE（p）=p+1-NE（p）<p，NE（p）代表橢圓曲線p模同余方程的有理解數(shù)，λE（p）代表橢圓曲線p模同余方程的有理解數(shù)的偏差，E代表橢圓曲線，s代表任意復(fù)數(shù)，我們可以從橢圓曲線p模同余方程推出哈塞-韋伊L函數(shù)：

L（E，s）=∏p（1-λE（p）P+p-2s）-1=∑SymboleB@n=1λE（p）ns

由于哈塞-韋伊L函數(shù)屬于冪級(jí)數(shù)，所以哈塞-韋伊L函數(shù)適用于泰勒展開式.

令f0代表s=1的函數(shù)值，f1代表f0的一階導(dǎo)數(shù)，f2代表f0的二階導(dǎo)數(shù)除以2的階乘，f3代表f0的三階導(dǎo)數(shù)除以3的階乘，以此類推直至fn代表f0的n階導(dǎo)數(shù)除以n的階乘，哈塞-韋伊L函數(shù)的泰勒展開式為：

L（E，s）=f0+f1（s-1）+f2（s-1）2+f3（s-1）3+…+fn（s-1）n

從哈塞-韋伊L函數(shù)的泰勒展開式來看，如果將橢圓曲線上的全體有理點(diǎn)視為一個(gè)有理數(shù)集合，形成這個(gè)有理數(shù)集合的充要條件就是：

f0=0

但是，伯奇和斯溫納頓-戴爾并沒有滿足于發(fā)現(xiàn)這個(gè)充要條件.因?yàn)?，這個(gè)有理數(shù)集合具有某種群結(jié)構(gòu).從這種群結(jié)構(gòu)來看，這個(gè)有理數(shù)集合不僅是一個(gè)存在于橢圓曲線上的有理數(shù)群，而且是一個(gè)通過橢圓曲線的秩有限生成的阿貝爾群.橢圓曲線的秩就是橢圓曲線上的線性無關(guān)有理點(diǎn)數(shù).橢圓曲線上的線性無關(guān)有理點(diǎn)數(shù)就是橢圓曲線上的有限個(gè)線性獨(dú)立有理點(diǎn).橢圓曲線上的有限個(gè)線性獨(dú)立有理點(diǎn)，或者可以通過加法運(yùn)算生成有限個(gè)有理數(shù)子群，或者可以通過加法運(yùn)算生成有限個(gè)整數(shù)群副本.

令r代表橢圓曲線的秩，E（Q）代表存在于橢圓曲線上的有理數(shù)群，E（Q）g代表有限個(gè)有理數(shù)子群，Zr代表有限個(gè)整數(shù)群副本，我們可以用以下公式表示這個(gè)有理數(shù)集合：

E（Q）E（Q）g×Zr

從這個(gè)公式來看，橢圓曲線的秩是度量橢圓曲線的階的一個(gè)重要參數(shù).橢圓曲線的階就是存在于橢圓曲線上的有理數(shù)群的元素個(gè)數(shù).存在于橢圓曲線上的有理數(shù)群的元素個(gè)數(shù)就是某條橢圓曲線的有理點(diǎn)數(shù).于是，伯奇和斯溫納頓-戴爾提出了一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)猜想.

令fr≠0，fn=0，n=0，1，2，3，…，r-1，這個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)猜想就是：

L（E，s）=fr（s-1）r+高階項(xiàng)

那么，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想具有什么重要性呢？顯然，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的重要性在于：這個(gè)數(shù)學(xué)猜想不僅給出了一個(gè)比上述充要條件更強(qiáng)的充要條件，而且給出了位于橢圓曲線中心點(diǎn)的有理點(diǎn)數(shù).這個(gè)中心點(diǎn)就是s=1的坐標(biāo)點(diǎn).因?yàn)?，這個(gè)猜想包含著一個(gè)斷言：當(dāng)s=1時(shí)，橢圓曲線的階等于橢圓曲線的秩.

那么，證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點(diǎn)是什么呢？顯然，證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點(diǎn)在于：這個(gè)猜想不僅給出了一個(gè)有待證明的數(shù)學(xué)問題，而且給出了證明這個(gè)數(shù)學(xué)問題的一個(gè)充要條件.這個(gè)充要條件就是s=1.從這個(gè)充要條件來看，要想證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想，就必須用實(shí)數(shù)定義哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù).要想用實(shí)數(shù)定義哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)，就必須把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實(shí)數(shù).

令σ和t代表兩個(gè)實(shí)數(shù)，i代表虛數(shù)，我們可以用以下公式表示哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)：

s=σ+it

從這個(gè)公式來看，只要做出t=0的規(guī)定，我們就可以把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實(shí)數(shù)了.但是，哈塞-韋伊L函數(shù)不允許我們做出這樣的規(guī)定.因?yàn)?，哈?韋伊L函數(shù)是一個(gè)復(fù)變函數(shù).作為一個(gè)復(fù)變函數(shù)，哈塞-韋伊L函數(shù)已經(jīng)做出t≠0的規(guī)定了.

由此可見，把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實(shí)數(shù)并不是一件容易事.

那么，怎樣才能把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實(shí)數(shù)呢？顯然，要想把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實(shí)數(shù)，就必須推出兩個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)定理.這兩個(gè)數(shù)學(xué)定理就是虛數(shù)產(chǎn)生定理和負(fù)實(shí)數(shù)開方定理.

虛數(shù)產(chǎn)生定理是指： 所有負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)虛數(shù).

令-x代表任意負(fù)實(shí)數(shù)，y代表負(fù)實(shí)數(shù)的開方，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明虛數(shù)產(chǎn)生定理.

第一步，假定-x=-1.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-1=i

第二步，假定-x=-n且n>0.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-n=-1×n=-1×n=in

第三步，假定-x=-（n+m）且m≥0.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-x=-1×（n+m）=-1×n+m=in+m

因?yàn)樯鲜鋈齻€(gè)公式覆蓋了所有負(fù)實(shí)數(shù)，所以我們可以推出以下公式：

y=-x=-1×x=-1×x=ix

證畢.

負(fù)實(shí)數(shù)開方定理是指：任何絕對(duì)值相同的正負(fù)實(shí)數(shù)相乘都會(huì)產(chǎn)生負(fù)實(shí)數(shù)開方.

令y和-x含義不變，我們可以用以下方法證明負(fù)實(shí)數(shù)開方定理：

已知y=-x

又知y2=-x

因此x=-y2=y×（-y）

證畢.

通過虛數(shù)產(chǎn)生定理，我們可以找到這樣一個(gè)數(shù)學(xué)公式：y=ix

通過負(fù)實(shí)數(shù)開方定理，我們又可以找到這樣一個(gè)數(shù)學(xué)公式：y=-xy

把這兩個(gè)數(shù)學(xué)公式聯(lián)系起來，我們可以推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)公式：

ix=-xy

從這個(gè)數(shù)學(xué)公式中，我們又可以推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)公式：

iy=-xx

令z=x+iy代表復(fù)數(shù)，我們可以利用這個(gè)數(shù)學(xué)公式消去虛數(shù)，把復(fù)數(shù)公式改寫成實(shí)數(shù)公式：

z=x+iy=x-xx=x（1-1x）

在做好了這些理論準(zhǔn)備之后，我們就可以消除證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點(diǎn)，十分容易地把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實(shí)數(shù)了.

令s=z，σ=x，t=y，我們可以用以下公式表示這個(gè)變化過程：

s=σ+it=σ-σσ=σ（1-1σ）

為了便于敘述，我們把這個(gè)公式稱為復(fù)變公式.

從復(fù)變公式中，我們可以得出五個(gè)重要結(jié)論：

第一，σ不存在0SymbolcB@σ<1的定義域.因?yàn)?，如果σ存?SymbolcB@σ<1的定義域，復(fù)變公式就會(huì)出現(xiàn)零分母或無理數(shù).前者不符合分?jǐn)?shù)要求，后者不符合有理數(shù)要求.

第二，由于σ不存在0SymbolcB@σ<1的定義域，所以σ有兩個(gè)定義域.第一個(gè)定義域?yàn)棣摇?，第二個(gè)定義域?yàn)棣?lt;0.σ的第一個(gè)定義域就是復(fù)變公式的實(shí)數(shù)定義域.因?yàn)椋?dāng)σ≥1時(shí)，復(fù)變公式不會(huì)產(chǎn)生虛數(shù).σ的第二個(gè)定義域就是復(fù)變公式的復(fù)數(shù)定義域.因?yàn)?，?dāng)σ<0時(shí)，復(fù)變公式會(huì)產(chǎn)生虛數(shù).

第三，由于σ有兩個(gè)定義域，所以s也有兩個(gè)定義域.第一個(gè)定義域?yàn)閟≥0，第二個(gè)定義域?yàn)閟<0.s的第一個(gè)定義域來自于σ的第一個(gè)定義域.因?yàn)?，?dāng)σ≥1時(shí)，s≥0.s的第二個(gè)定義域來自于σ的第二個(gè)定義域.因?yàn)?，?dāng)σ<0時(shí)，s<0.

第四，雖然σ和s都有兩個(gè)定義域，但是這種相同之處卻又有所不同.σ的兩個(gè)定義域既無連續(xù)性又無對(duì)稱性.s的兩個(gè)定義域既有連續(xù)性又有對(duì)稱性.因此，σ的兩個(gè)定義域不會(huì)產(chǎn)生共軛變量，s的兩個(gè)定義域會(huì)產(chǎn)生共軛變量.共軛變量就是與原有變量絕對(duì)值相同符號(hào)相反的變量.

第五，從哈塞-韋伊L函數(shù)來看，當(dāng)s=0時(shí)，L（E，s）=λE（p）.當(dāng)s>0時(shí)，L（E，s）<λE（p）.當(dāng)s<0時(shí)，L（E，s）>λE（p）.

令σ代表平面直角坐標(biāo)系的橫軸，s代表平面直角坐標(biāo)系的縱軸，我們可以根據(jù)這五個(gè)重要結(jié)論給出復(fù)變公式的幾何表示：

由于平面直角坐標(biāo)系的右平面屬于復(fù)變公式的實(shí)數(shù)定義域，所以平面直角坐標(biāo)系的右平面是一個(gè)實(shí)平面.在這個(gè)實(shí)平面上，存在著一條以σ=1為頂點(diǎn)的軸對(duì)稱拋物線.位于橫軸上方的軸對(duì)稱拋物線代表s的原有變量，位于橫軸下方的軸對(duì)稱拋物線代表s的共軛變量.

由于平面直角坐標(biāo)系的左平面屬于復(fù)變公式的復(fù)數(shù)定義域，所以平面直角坐標(biāo)系的左平面是一個(gè)復(fù)平面.在這個(gè)復(fù)平面上，存在著一條以σ<0為頂點(diǎn)的軸對(duì)稱拋物線.位于橫軸下方的軸對(duì)稱拋物線代表s的原有變量，位于橫軸上方的軸對(duì)稱拋物線代表s的共軛變量.

除了上述區(qū)別，平面直角坐標(biāo)系的右平面和左平面還有一個(gè)重要區(qū)別.這個(gè)重要區(qū)別來自于實(shí)平面和復(fù)平面的區(qū)別.

由于平面直角坐標(biāo)系的右平面是一個(gè)實(shí)平面，所以平面直角坐標(biāo)系的右平面不存在無窮遠(yuǎn)點(diǎn).由于平面直角坐標(biāo)系的右平面不存在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以右平面軸對(duì)稱拋物線不會(huì)收斂于無窮遠(yuǎn)點(diǎn).由于右平面軸對(duì)稱拋物線不會(huì)收斂于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以右平面軸對(duì)稱拋物線不能被想象為軸對(duì)稱橢圓曲線.

由于平面直角坐標(biāo)系的左平面是一個(gè)復(fù)平面，所以平面直角坐標(biāo)系的左平面存在無窮遠(yuǎn)點(diǎn).由于平面直角坐標(biāo)系的左平面存在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以左平面軸對(duì)稱拋物線會(huì)收斂于無窮遠(yuǎn)點(diǎn).由于左平面軸對(duì)稱拋物線會(huì)收斂于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以左平面軸對(duì)稱拋物線可以被想象為軸對(duì)稱橢圓曲線.

如果把平面直角坐標(biāo)系的右平面和左平面聯(lián)系起來，將右平面軸對(duì)稱拋物線視為左平面軸對(duì)稱橢圓曲線的射影，將左平面軸對(duì)稱橢圓曲線視為右平面軸對(duì)稱拋物線的虧格，橢圓曲線就是一條虧格為1的光滑射影曲線.

由此可見，復(fù)變公式的幾何表示就是橢圓曲線的幾何表示.橢圓曲線的幾何表示就是哈塞-韋伊L函數(shù)的幾何表示.哈塞-韋伊L函數(shù)的幾何表示就是伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的幾何表示.

現(xiàn)在的問題是：s=1意味著什么？

從以上分析來看，s=1意味著s>0，s>0意味著

L（E，s）<λE（p）.由于λE（p）<p，所以L（E，s）<λE（p）意味著L（E，s）<p.由于p>0，所以L（E，s）<p意味著L（E，s）≥0.

這樣一來，我們就通過s=1發(fā)現(xiàn)了L（E，s）的上限和下限.

根據(jù)這個(gè)發(fā)現(xiàn)，我們可以用以下方法證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想：

已知L（E，s）=fr（s-1）r+高階項(xiàng)，

又知0≤L（E，s）<p，

0≤（s-1）r<p-高階項(xiàng)fr

因此，高階項(xiàng)<p

證畢.

由此可見，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想是否成立，取決于高階項(xiàng)是否小于p.如果高階項(xiàng)小于p，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想就是成立的.如果高階項(xiàng)不小于p，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想就是不成立的.

參考文獻(xiàn)：

[1]王元，文蘭，陳木法.數(shù)學(xué)大辭典[M].北京：科學(xué)出版社，2017（9）.

[2]（美） 基思·德夫林.千年難題[M].沈崇圣譯.上海：上海科技教育出版社，2019（1）.

[責(zé)任編輯：李 璟]