勾股定理蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想研究

吉琴

1引言

天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)：“勾股定理和黃金分割是幾何學(xué)的兩個(gè)寶貝，前者如黃金，后者如珍珠”。勾股定理是建立數(shù)形結(jié)合的橋梁，其應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，涉及幾何學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)等理工學(xué)科，同時(shí)在計(jì)算、幾何以及測(cè)量方面的應(yīng)用也是非常廣泛的，因此，勾股定理的研究有著非常重要的意義。

勾股定理在解決實(shí)際問(wèn)題中無(wú)處不在。通過(guò)列舉勾股定理在實(shí)踐生活方面的應(yīng)用，并提出勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，對(duì)增強(qiáng)我們的邏輯思維能力，培養(yǎng)我們數(shù)形結(jié)合、方程、整體、類比、構(gòu)造等的思想有重要意義。

2提出問(wèn)題

在解決勾股定理的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想？本文將站在前人的肩膀上，系統(tǒng)的從勾股定理的應(yīng)用中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想來(lái)進(jìn)行研究。

3勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

勾股定理的發(fā)現(xiàn)給出了直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系，其在實(shí)際生活中的運(yùn)用及其廣泛，比如：建筑設(shè)計(jì)、修建房屋、測(cè)量建筑物的高或河面的寬等方面。在運(yùn)用過(guò)程中蘊(yùn)含了不同的數(shù)學(xué)思想.這里的數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，以及對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“靈魂”，是數(shù)學(xué)解題與研究的指導(dǎo)思想。在學(xué)習(xí)和運(yùn)用勾股定理的過(guò)程中，能夠巧妙地結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題，不僅提高獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且能開(kāi)闊解題思路，使得過(guò)程更加簡(jiǎn)潔明了。接下來(lái)從幾種常見(jiàn)題型中歸納出其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

3.1數(shù)形結(jié)合思想

華羅庚，著名數(shù)學(xué)家，他曾說(shuō)過(guò)“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難人微?！贝嗽挼烂髁恕皵?shù)”與“形”難以分割的關(guān)系。所謂數(shù)形結(jié)合思想指的是利用數(shù)與形本質(zhì)上的關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，通過(guò)“以形助教”或“以數(shù)解形”的方法，簡(jiǎn)化復(fù)雜的問(wèn)題，將抽象變?yōu)榫唧w，這種方法能簡(jiǎn)化解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)利用“數(shù)”與“形”分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

勾股定理是一個(gè)從數(shù)到形的過(guò)程，解決數(shù)的問(wèn)題才是根本。該題是利用勾股定理來(lái)求有關(guān)線段 的長(zhǎng)度，顯然，我們應(yīng)該抓住互相平行這個(gè)關(guān)鍵條件，得出各線段的距離關(guān)系，利用勾股定理加以解決。這是應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題的常見(jiàn)題型，解決此類問(wèn)題應(yīng)該結(jié)合圖形找出等量關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。

3.2方程思想

方程思想的切入點(diǎn)是數(shù)量關(guān)系，通過(guò)設(shè)定恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，結(jié)合已知條件、隱含條件、定義、定理、公式、性質(zhì)等，根據(jù)已知量和未知量的數(shù)量關(guān)系，建立方程或方程組的數(shù)學(xué)模型，最終使問(wèn)題得以解決的思想方法。

這是折疊類的問(wèn)題，一般的，遇到這樣的問(wèn)題我們可以通過(guò)對(duì)整個(gè)圖形中沒(méi)被折疊覆蓋的直角三角形運(yùn)用勾股定理和方程思想來(lái)加以解決。

3.3類比思想

類比思想是一種發(fā)現(xiàn)式思維和創(chuàng)造性思維的學(xué)習(xí)方法.它主要是通過(guò)兩個(gè)已知事物某方面的共同屬性，去猜想這兩個(gè)事物其他方面的共同屬性，通過(guò)對(duì)結(jié)論的猜想和證明來(lái)解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。

本題如果直接求 的面積，則很難入手。根據(jù)勾股定理可以類比求出 的面積。這種方法可以避免直接求解，而且能很快的求出答案。

3.4構(gòu)造思想

構(gòu)造思想是指結(jié)合問(wèn)題的結(jié)論和數(shù)學(xué)定理、推論的結(jié)論，構(gòu)造出解決問(wèn)題所需要的條件，最終解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思維方式。勾股定理中一般應(yīng)用的是構(gòu)造思想的平移、旋轉(zhuǎn)、折疊、割補(bǔ)等方法，最終構(gòu)造出直角三角形，運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題。

3.5轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指一些難以入手或未知解法的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)條件或者結(jié)論的轉(zhuǎn)化，使未解決的問(wèn)題向已經(jīng)解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象問(wèn)題向具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化等，利用已有知識(shí)解決現(xiàn)在的問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。

例4一個(gè)高為10cm圓柱體，底面半徑為4cm。當(dāng)圓柱體底面的一點(diǎn) 沿著圓柱體側(cè)面向上底面相對(duì)的一點(diǎn) 移動(dòng)時(shí)，移動(dòng)的距離最短是多少？

這類題型的關(guān)鍵點(diǎn)是，不能從內(nèi)部移動(dòng)，只能沿著側(cè)面移動(dòng).在求立體圖形表面上兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，一般采用的方法就是轉(zhuǎn)化思考方式，將其展開(kāi)為平面圖形，從而構(gòu)造出直角三角形，最后利用勾股定理解決問(wèn)題。

勾股定理公式雖然簡(jiǎn)單，但是應(yīng)用上既靈活又廣泛，結(jié)合實(shí)例闡述了勾股定理應(yīng)用中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)這些數(shù)學(xué)思想方法和已有知識(shí)的結(jié)合，能更好的解決一些實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)思想方法已成為未來(lái)社會(huì)公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是把知識(shí)內(nèi)化為能力的橋梁，因此在學(xué)習(xí)中靈活的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想顯得至關(guān)重要，這是值得深入研究的。但受本人的知識(shí)深度和廣度的限制，本文的研究工作還存在不足，后續(xù)的研究工作將從以下幾點(diǎn)展開(kāi)：一是利用數(shù)學(xué)思想去設(shè)計(jì)相關(guān)的教學(xué)問(wèn)題;二是進(jìn)一步分析勾股定理蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的思維特征。

參考文獻(xiàn)：

[1]勾股定理的歷史.見(jiàn)：初中生世界數(shù)學(xué)透視眼.江蘇：江蘇教育報(bào)，2013：77-78.