非參數(shù)估計法環(huán)狀靜電傳感器靈敏度仿真研究*

錢宇加，闞 哲，劉 曉，羅 琳

(遼寧石油化工大學 信息與控制工程學院，遼寧 撫順 113001)

0 引 言

在氣力輸送過程中，廣泛存在有氣固兩相流狀態(tài)，固相顆粒與管路、顆粒之間的摩擦、碰撞、分離，使顆粒帶上了靜電。早在20世紀60，70年代，國外就有研究者注意到靜電現(xiàn)象并對它展開了深入研究。許多學者對靜電傳感器模型結(jié)構(gòu)等進行了大量的探討。張帥等人研究了陣列式條形電極且絕緣管道為方形的靜電傳感器模型，通過實驗裝置得到的實際結(jié)果與仿真基本一致[1]。通過COMSOL軟件設計了具有網(wǎng)狀電極的靜電傳感器，使得靈敏度的分布更均勻[2]。李健等人對傳感器模型結(jié)構(gòu)進行改進設計了矩陣式電極靜電傳感器，為靜電傳感器模型優(yōu)化提供了一個方向[3]。靜電傳感器[4]具有結(jié)構(gòu)模型簡單，價格比較低，設備安裝簡單方便，并且適用于一些環(huán)境惡劣的場所等多方面的優(yōu)點[5，6]。

目前對于靜電傳感器電極的安裝方式主要可以分為侵入式與感應式[7]，其中侵入式顆粒的流動容易造成電極的磨損，而感應式對顆粒流動不造成影響，主要包括圓環(huán)式靜電傳感器[8]、立體網(wǎng)狀靜電傳感器[9]、插入式棒狀靜電傳感器和陣列式靜電傳感器[10]。靈敏度是評價靜電傳感器工作特性的重要參數(shù)。

本文針對圓環(huán)式靜點傳感器的靈敏度問題，基于Maxwell有限元仿真軟件進行二維、三維的建模分析，并且通過非參數(shù)估計法得到靜電傳感器的靈敏度公式，經(jīng)過實驗驗證，采集到的實際電壓與仿真得到的電荷量間的對應關(guān)系基本一致。

1 靜電傳感器原理

1.1 傳感器結(jié)構(gòu)

靜電傳感器示意圖如圖1所示。圖中，環(huán)狀靜電傳感器由PVC管、金屬屏蔽罩和銅電極環(huán)組成。

圖1 靜電傳感器

1.2 靜電傳感器原理

靜電傳感器檢測的是運動的固體顆粒所帶的自然電荷。固體顆粒之間的碰撞以及顆粒與管壁摩擦會產(chǎn)生靜電荷，使管壁外的電極產(chǎn)生靜電感應現(xiàn)象。圖2為靜電傳感器等效電路。

圖2 靜電傳感器等效電路

圖2中，感應電荷為q(t)，輸出電壓u(t)，Re，Ce為電極等效電阻與等效電容，Ri，Ci為前級放大器的等效輸入電阻與輸入電容。根據(jù)基爾霍夫電流定律和拉普拉斯變換可以得到

(1)

其中,R=ReRi/(Re+Ri)，C=Ce+Ci，當|RCs|?1時，感應電荷的測量模型為

u(t)≈R·q(t)

(2)

從表達式(2)可以得到靜電傳感器輸出電壓值與電極上感應的電荷量呈線性關(guān)系，因此，在設計檢測電路時，可以使用電荷檢測電路。

1.3 測量轉(zhuǎn)換電路

圖1中靜電傳感器電極引線輸出信號需要經(jīng)預處理，然后進行濾波放大供采集器采集。轉(zhuǎn)換電路形式如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)換處理電路

在圖3中，預放大電路1選用AD549，將這一級作為靜電島模塊，可以使電極引線加長至3 m左右。跟隨器2采用OPA129。放大器3～5均選用OP37，放大器3與兩個電阻和兩個電容構(gòu)成低通濾波器，放大器4為電壓放大電路，放大器5為跟隨隔離電路。采集器選用NI采集卡，上位機接收軟件采用LabVIEW軟件制作。實驗室測量系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 傳感器實驗系統(tǒng)

2 靜電傳感器理論模型

2.1 理論模型

(3)

式中φ(r,θ,z)為電勢分布函數(shù)，ρ(r,θ,z)為空間中的體電荷密度，ε(r,θ,z)為電介質(zhì)的介電常數(shù)，Γs,Γd分別為屏蔽罩和電極所對應的空間位置，Cons為一個常數(shù)。

在靜電傳感器的理論模型中，靜電場的靜電位函數(shù)滿足標量泊松方程，若空間中沒有自由電荷分布，則ρ=0，電位函數(shù)φ(r,θ,z)滿足拉普拉斯方程

(4)

通過求解電位函數(shù)的拉普拉斯方程的通解以及泊松方程的特解，兩者相結(jié)合可以得到靜電位函數(shù)的泊松方程的通解，然后根據(jù)滿足的邊界條件即可求得泊松方程通解中的未知常數(shù)，得到電位函數(shù)φ(r,θ,z)關(guān)于各個自變量的關(guān)系表達式。

2.2 模型建立

1)靜電傳感器模型的建立

在Maxwell軟件建立三維靜電傳感器模型如圖5所示。

圖5 靜電傳感器實體模型

2)網(wǎng)格的剖分

在靜態(tài)場中Maxwell軟件具有網(wǎng)格自動加密能力，因此,一般情況下無須進行手動剖分就能得到滿足工程要求的網(wǎng)格。利用Maxwell軟件繪制出2 D不同空間位置的電場強度矢量圖以及云圖，其中徑向空間中心位置的電場矢量圖以及云圖采用默認的XY笛卡爾坐標系。軸向中心位置的電場矢量圖以及云圖采用繞著Z軸的極坐標形式。在Maxwell 3D后處理過程中，需要使用場計算器得到電極的感應電荷量，并根據(jù)以下方程即可得到靜電傳感器空間靈敏度

(5)

式中q(r,ε,θ,z)為感應電荷量，Q為帶電顆粒自身所帶的電荷量。

3 非參數(shù)估計數(shù)學模型

3.1 非參數(shù)估計

非參數(shù)估計是已知樣本所屬類別，但未知總體概率密度函數(shù)的形式，要求直接推斷概率密度函數(shù)本身。

3.2 非參數(shù)方法

用于函數(shù)估計的非參數(shù)方法大致有三種：核方法、局部多項式方法、樣條方法。核方法適用于中小規(guī)模的數(shù)據(jù)集，假設x1,x2,…,xn為隨機變量為x的樣本，x的概率密度函數(shù)為f(x)，給定一個核函數(shù)K(x)和一個稱為“窗寬”的正數(shù)h，在n→∞,h→0時，核密度估計可表示為

(6)

式中n為樣本數(shù)量，h為帶寬，也稱為窗口，K(x)為核函數(shù)，它通常滿足以下條件

(7)

當n→∞,h→0,nh→∞時，(x)依概率收斂于f(x)。

當h取值越大，則核密度估計函數(shù)(x)曲線越平滑，估計的偏差相對較大；反之，(x)與樣本能夠擬合的較好，但曲線可能很不光滑。根據(jù)Maxwell所計算得到的樣本點(Z1,Q1)，(Z2,Q2)，…，(Z19,Q19)，選擇合適的核函數(shù)以及窗寬h可以估計得到樣本曲線的函數(shù)表達式為

(8)

運用R語言編程和非參數(shù)核估計方法，選擇合適的核函數(shù)K(x)以及窗寬h，并且通過引入擬合優(yōu)度來判斷出擬合的優(yōu)劣。擬合優(yōu)度的定義為

R2=1-RSS/TSS

(9)

其中，RSS為殘差平方和，TSS為總離差平方和，也可以表示為

(10)

計算得到擬合優(yōu)度R2=0.950 6，說明擬合曲線對樣本點的擬合較好，為靈敏度公式選取高斯分布提供了一定的理論依據(jù)?；诜菂?shù)估計理論，確定靜電傳感器感應電荷量公式

(11)

式中Q(r,ε,z)為在絕緣管道相對介電常數(shù)為ε并且?guī)щ婎w粒在徑向位置r,軸向位置z時電極上感應到的電荷量，A(r,ε)和B(r,ε)是r和ε的函數(shù)，A(r,ε)決定Q(r,ε,z)的幅值，B(r,ε)決定Q(r,ε,z)的形狀。最終，確定靜電傳感器靈敏度公式

(12)

4 仿真與實驗

根據(jù)有限元仿真發(fā)現(xiàn)，帶電顆粒在PVC管道中的空間位置，傳感器電極的尺寸等都與靜電傳感器的空間靈敏度特性有關(guān)。

4.1 仿真實驗

4.1.1 電極寬度對軸向徑向空間靈敏度特性

將靜電傳感器電極寬度W分別設為30,40,50,60 mm，管道直徑D為100 mm，并利用場計算器計算得到相應的靜電傳感器的靈敏度，如圖6所示。

圖6 不同電極寬度對軸向徑向靈敏度的影響

從圖6中可以看出在一定范圍內(nèi)，W/D越大，靜電傳感器的靈敏度相對越高，靈敏度的增幅則在減小，在徑向中心位置的兩側(cè)可以看出W/D為0.4時比較穩(wěn)定，因此,W/D為0.4相對是最合適，即本文管道直徑為100 mm時采用寬度為40 mm的電極。

4.1.2 絕緣管相對介電常數(shù)對軸向徑向空間靈敏度特性

將絕緣管的相對介電常數(shù)分別設為3,6,9,12，并利用場計算器計算得到相應的靜電傳感器的靈敏度，如圖7所示。

圖7 不同相對介電常數(shù)對軸向徑向靈敏度的影響

從圖7可以看出，在一定范圍內(nèi)，絕緣管相對介電常數(shù)越大，則靜電傳感器靈敏度越高，在徑向中心位置的兩側(cè)，相對介電常數(shù)為3的絕緣管的變化比較穩(wěn)定，因此,本文采用相對介電常數(shù)接近3的PVC作為絕緣管的材料。

4.1.3 帶電顆粒在不同空間位置的靈敏度特性

在W/R為定值時，帶電粒子在不同空間位置處的靈敏度，如圖8所示。

圖8 單個顆粒在不同空間位置處的仿真結(jié)果

從圖8可以得到一個結(jié)論：顆粒在軸向位置450

4.2 實 驗

實驗設備主要包括靜電傳感器模塊、信號處理模塊、信號采集以及信號顯示模塊等。傳感器有4根信號輸出線，自下往上分別代表感應電極寬度為5,10,20,40 mm，讓塑料小球從同一高度自由落體，通過采集實際數(shù)據(jù)繪制圖形如圖9所示。

圖9 單個顆粒在不同電極寬度下的電壓值

因為感應電荷量與電流的關(guān)系滿足以下條件

(13)

由上式可知，在Q-t圖形中曲線的斜率即為電流，并且由下式

U=IR

(14)

可知，電壓波形與電流波形形狀相似，只有幅值的差異。從圖9中還可以發(fā)現(xiàn)，電極寬度越寬，測得的電壓信號的幅值越小。管道內(nèi)空間靈敏度越均勻，那么電壓信號大小變化越緩慢，則其幅值就越小，這與仿真的結(jié)果一致。

5 結(jié) 論

本文采用改進靜電傳感器輸出信號處理電路使得信號輸出線可以加長到2～3 m。引入非參數(shù)核估計方法，采用高斯核函數(shù)擬合出感應電荷量的形式，這為靈敏度公式采用高斯分布提供了一定的理論依據(jù)。對靜電傳感器進行理論分析，得到了傳感器參數(shù)對空間靈敏度特性的影響，確定在管道直徑為100 mm時采用寬度為40 mm的電極。并且電極的材料經(jīng)仿真結(jié)果對比,最終采用相對介電常數(shù)接近3的PVC作為絕緣管的材料。最后簡單介紹了實驗設備和實驗的結(jié)果分析，實驗結(jié)果與Maxwell仿真的結(jié)果匹配，表明建立的實驗模型有效。