圓周法平面度誤差測(cè)量與評(píng)定

趙新宇， 趙則祥， 劉如意， 任東旭， 李 彬， 席建普

(1. 中原工學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，河南 鄭州 451191; 2. 中原工學(xué)院機(jī)電學(xué)院，河南 鄭州 451191)

0 引 言

平面度公差是高精度零件的形狀公差項(xiàng)目之一。依據(jù)ISO 12781：2011，平面輪廓的測(cè)量方案主要有矩形柵格法、極坐標(biāo)法、三角形柵格法、米字形柵格法、平行線柵格法[1]。上述測(cè)量方案中，極坐標(biāo)法適用于圓平面輪廓的測(cè)量，其他則是矩形平面輪廓的測(cè)量方案。

Balázs Mikó[2]利用坐標(biāo)測(cè)量機(jī)研究了不同測(cè)量方案對(duì)銑削平面平面度誤差測(cè)量的影響以及最佳測(cè)量點(diǎn)數(shù)問(wèn)題；Nermina Z U等[3]研究了在坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上采用不同的測(cè)頭和不同的采樣方案對(duì)平面度誤差測(cè)量的影響；Yang Y等[4]研究了基于自適應(yīng)混合的教育學(xué)優(yōu)化算法在平面度誤差評(píng)定中的應(yīng)用，提高了平面度誤差最小區(qū)域法的評(píng)定精度；Zhang Yu 等[5]設(shè)計(jì)了微型零件的平面度精密測(cè)量裝置，并進(jìn)行了平面度誤差的最小二乘評(píng)定；Zha C Y 等[6]設(shè)計(jì)了基于激光點(diǎn)的大平面平面度誤差的測(cè)量系統(tǒng)，利用該系統(tǒng)對(duì)大平面平面度誤差進(jìn)行了測(cè)量與評(píng)定。

對(duì)于高精度的圓平面，如回轉(zhuǎn)工作臺(tái)臺(tái)面、晶圓平面、回轉(zhuǎn)件的端面以及作為相關(guān)要求的圓平面基準(zhǔn)等，可在圓（柱）度儀上用極坐標(biāo)法對(duì)圓平面的輪廓進(jìn)行測(cè)量。極坐標(biāo)法有圓周法、射線法等測(cè)量方案，圓周法測(cè)量方案測(cè)頭由圓（柱）度儀橫臂移動(dòng)到所設(shè)定的圓周上，工作臺(tái)在每個(gè)設(shè)定的圓周上回轉(zhuǎn)一周，在該圓周上測(cè)得相應(yīng)的z向輪廓值；射線法測(cè)量方案是將工作臺(tái)回轉(zhuǎn)至所設(shè)定的角度，工作臺(tái)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，橫梁帶動(dòng)測(cè)頭沿射線徑向移動(dòng)，在該射線上測(cè)得相應(yīng)z向輪廓值。不管是采用圓周法還是射線法的圓平面輪廓提取方案，均可采用最小二乘法[7]和最小區(qū)域法[8-9]進(jìn)行平面度誤差評(píng)定。最小區(qū)域法評(píng)定平面度誤差，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)‘minimax’優(yōu)化問(wèn)題，可用形狀誤差（如圓柱度誤差、圓度誤差、直線度誤差等）最小區(qū)域評(píng)定中常用的優(yōu)化算法[10-12]和最大最小尺寸的優(yōu)化算法[13]進(jìn)行評(píng)定。本文基于圓周法的5種采樣方案，建立了圓平面的平面度誤差的最小二乘法和最小區(qū)域法的評(píng)定模型，提出了基于平面包容和輪廓包容的兩種圓平面的平面度誤差評(píng)定結(jié)果的可視化方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所建評(píng)定模型的正確性和可視化方法的可行性。

1 圓平面輪廓的圓周法測(cè)量方案

圓周法的測(cè)量方案如圖1所示，圓周測(cè)量方案是極坐標(biāo)測(cè)量方案中的一種方案。

圖1 圓周測(cè)量方案示意圖

圓周測(cè)量方案可以是等角度采樣，即各圓周上的采樣點(diǎn)數(shù)相同，也可以是等弧長(zhǎng)采樣，即各圓周上的采樣點(diǎn)數(shù)不同，采樣點(diǎn)數(shù)隨圓周的直徑增加而增加。圓周間可以是等間隔，也可以隨著圓周直徑的增大采用不等間隔，盡可能使圓平面上的采樣點(diǎn)數(shù)相對(duì)均勻布置。

根據(jù)實(shí)際情況，可以是多圓周布置，也可以用一個(gè)圓周近似替代。

2 圓平面的平面度誤差評(píng)定模型

2.1 圓平面輪廓坐標(biāo)的確定

假設(shè)測(cè)量圓周數(shù)為m，采用等角度和等圓周間隔測(cè)量，每個(gè)圓周上的采樣點(diǎn)數(shù)為n，兩相鄰圓的間隔為Δr，第一個(gè)圓周（最小的圓）的直徑為d，第i圓周上第j個(gè)采樣點(diǎn)x和y坐標(biāo)由下式確定：

對(duì)于等弧長(zhǎng)和等周圓間隔測(cè)量，由于受儀器結(jié)構(gòu)（如編碼器）的限制，實(shí)現(xiàn)等弧長(zhǎng)測(cè)量還是困難的，但可隨著測(cè)量圓直徑的增加，適當(dāng)增加采樣點(diǎn)數(shù)較易實(shí)現(xiàn)。假定第1個(gè)圓周（最小圓周）的采樣點(diǎn)數(shù)為n1，第i圓周上的采樣點(diǎn)數(shù)ni可按一定的規(guī)律設(shè)置，但最大采樣點(diǎn)數(shù)不能超過(guò)測(cè)量?jī)x器轉(zhuǎn)臺(tái)一周的最大采樣點(diǎn)數(shù)，如Taylor586LT的一周的最大采樣點(diǎn)數(shù)為18 000，而圓柱體直徑與形位誤差綜合測(cè)量?jī)x的一周的最大采樣點(diǎn)數(shù)為1 000。第i圓周上第j采樣點(diǎn)的x和y坐標(biāo)由下式確定：

在xij和yij坐標(biāo)點(diǎn)測(cè)得的輪廓值為zij。

當(dāng)m=1時(shí)，用一個(gè)圓周上的輪廓值作為該被測(cè)圓平面的輪廓。

2.2 圓平面的平面度誤差的評(píng)定模型

在xoyz坐標(biāo)系中建立一平面方程，如下式所示：

由式 (3)，假設(shè)C≠0，有，

以等角度采樣為例，依據(jù)所有采樣點(diǎn)的坐標(biāo)(xij,yij,zij)，i=1～m，j=1～n，建立平面度誤差最小二乘擬合方程為：

由式(6)，可得三元一次方程組，即

最小二乘平面度參數(shù)確定后，可得到第i圓周上第j采樣點(diǎn)Pij到該理想平面的垂直距離sij，如圖2所示。

圖2 點(diǎn)到理想平面的垂直距離示意圖

由最小二乘法得到的平面度誤差

用最小區(qū)域法評(píng)定圓平面的平面度誤差，可表示為：

當(dāng)m=1時(shí)，也可以嘗試用圓度誤差評(píng)定的方法進(jìn)行處理。首先進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，將測(cè)得的z1j作為徑向微小變動(dòng)量，則第j采樣點(diǎn)的徑向值可表示為

其中d的含義見(jiàn)式(1)或式(2)。

當(dāng)m=1時(shí)，平面度誤差的評(píng)定結(jié)果可近似由圖3所示的圓度誤差的評(píng)定結(jié)果替代，即

圖3 平面輪廓轉(zhuǎn)化為圓周輪廓的示意圖

關(guān)于最小二乘法和最小區(qū)域法確定圓心坐標(biāo)x0和y0的算法見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8]。

3 程序編制

最小區(qū)域法圓平面的平面度誤差通過(guò)對(duì)式(10)和式(12)的優(yōu)化問(wèn)題采用Matlab中的‘fminimax’函數(shù)獲得，最小區(qū)域平面參數(shù)的優(yōu)化初始值均是最小二乘平面參數(shù)值。將Matlab中的plot3三維繪圖函數(shù)與hold on語(yǔ)句組合使用，把m個(gè)圓周上的輪廓、相關(guān)理想平面呈現(xiàn)在一張圖上。對(duì)于圓周輪廓的理想包容面（或最小二乘平面）的顯示，可利用各圓周對(duì)應(yīng)的理想圓周表示，也可用Matlab中的surf或mesh函數(shù)生成的理想平面顯示。對(duì)于用一個(gè)圓周表示圓平面輪廓的測(cè)量，當(dāng)用圖3所示的圓周輪廓表示圓平面輪廓時(shí)，為使評(píng)定結(jié)果的可視化，將測(cè)得的輪廓值（z1j，j=1～ni）適當(dāng)放大，可得到放大后的輪廓，用最小二乘圓表征最小二乘平面，用兩個(gè)同心圓包容圓周輪廓代替用兩個(gè)平面包容圓平面輪廓。

4 實(shí) 驗(yàn)

在Talyround585LT圓柱度儀對(duì)其工作臺(tái)圓平面進(jìn)行了輪廓提取，并將輪廓數(shù)據(jù)以‘.CVS’格式導(dǎo)出。采用等間隔等角度、等間隔不等角度和單圓周等三種輪廓測(cè)量方案，測(cè)量方案參數(shù)如表1所示。表2給出該工作臺(tái)圓平面的平面度誤差評(píng)定結(jié)果。

表1 輪廓測(cè)量方案參數(shù)

圖4為采用等間隔等角度測(cè)量方案（方案1）的平面度誤差的可視化評(píng)定結(jié)果；圖5為采用等間隔不等角度測(cè)量方案（方案2）的平面度誤差的可視化評(píng)定結(jié)果；圖6為單圓周測(cè)量方案（方案3）的平面度誤差的可視化評(píng)定結(jié)果；圖7為采用單圓周測(cè)量方案（方案3）和圓周法的平面度誤差的可視化評(píng)定結(jié)果。圖4(a)和圖5(b)為圓輪廓對(duì)實(shí)際輪廓包容；圖4(b)和圖5(a)為圓平面對(duì)實(shí)際輪廓包容。由表2和圖4～ 圖6可以看出，測(cè)量方案對(duì)平面度誤差評(píng)定結(jié)果具有一定的影響，方案3對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響較大，在測(cè)量?jī)x器和被測(cè)結(jié)構(gòu)允許的情況下，建議不采用方案3對(duì)圓平面的平面度誤差進(jìn)行測(cè)量。由圖6和圖7可以看出，兩種評(píng)定方法的評(píng)定結(jié)果相同，圓周法可用于圓平面的單圓周測(cè)量方案的平面度誤差的評(píng)定。

表2 平面度誤差評(píng)定結(jié)果

圖4 平面度誤差評(píng)定結(jié)果可視化（方案1）

圖5 平面度誤差評(píng)定結(jié)果可視化（方案2）

圖6 平面度誤差評(píng)定結(jié)果可視化（方案3）

圖7 平面度誤差評(píng)定結(jié)果可視化（方案3圓周法）

5 結(jié)束語(yǔ)

基于圓周法的三種測(cè)量方案，研究了圓平面的平面度誤差的測(cè)量與評(píng)定中的數(shù)據(jù)處理問(wèn)題，建立了圓平面的最小二乘法和最小區(qū)域法的平面度誤差評(píng)定模型。對(duì)于圓平面的單圓周的輪廓測(cè)量方案，提出了基于圓度誤差評(píng)定模型的圓平面的平面度誤差的評(píng)定方法。依據(jù)上述圓平面輪廓的圓周法測(cè)量方案和平面度誤差評(píng)定模型，編制了圓平面的平面度誤差評(píng)定及其結(jié)果的可視化程序。對(duì)一圓平面按三種測(cè)量方案進(jìn)行了輪廓測(cè)量，并用所編制的程序進(jìn)行了平面度誤差評(píng)定和結(jié)果的可視化，程序運(yùn)行結(jié)果驗(yàn)證了所建評(píng)定模型的正確性，并驗(yàn)證了單圓周測(cè)量方案情形下兩種平面度評(píng)定方法的一致性。