基于傳力路徑分析的結(jié)構(gòu)承載性能評(píng)價(jià)與優(yōu)化*

王朝華 吳鳳和② 郭保蘇②

(①燕山大學(xué)，河北 秦皇島 066004；②河北省重型智能制造裝備工程技術(shù)研究中心, 河北 秦皇島066004)

承載結(jié)構(gòu)的高剛度、高強(qiáng)度、低重量設(shè)計(jì)是結(jié)構(gòu)工程師長期追求的目標(biāo)，特別是航天、航空及汽車等領(lǐng)域[1]，結(jié)構(gòu)承載性能的評(píng)價(jià)與優(yōu)化成為輕量化設(shè)計(jì)過程中的一個(gè)關(guān)鍵問題。結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法因能在概念設(shè)計(jì)階段提供輕質(zhì)、高效的結(jié)構(gòu)形式，在詳細(xì)設(shè)計(jì)階段提供最佳尺寸參數(shù)，受到各行業(yè)學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-3]，包括拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，通過建立嚴(yán)密的數(shù)學(xué)模型，多次迭代搜索得到優(yōu)化方案，其優(yōu)化的本質(zhì)屬于黑箱模型優(yōu)化，是基于數(shù)值分析不斷迭代搜索得到的結(jié)果，無法給出優(yōu)化結(jié)果的原因及力學(xué)解釋[4]。

傳力路徑[5]是指力在結(jié)構(gòu)中的傳遞路線，始于力的作用點(diǎn)，到對(duì)應(yīng)的平衡反力處終止，其作為1種新的設(shè)計(jì)理念，近年來受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[6]認(rèn)為力總是沿著結(jié)構(gòu)剛度最大的通道傳遞，提出了一種基于相對(duì)剛度的傳力路徑可視化法，在汽車等結(jié)構(gòu)的傳力性能評(píng)價(jià)中得到應(yīng)用[7]，但該方法目前的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則主要依賴于理想結(jié)構(gòu)的傳力路徑與實(shí)際傳力路徑的差值分析，而不同結(jié)構(gòu)的形狀輪廓往往與理想傳力路徑存在較大區(qū)別，另外，該方法未給出詳細(xì)的承載性能優(yōu)化思路，其適用性有待提升。

本文給出傳力路徑計(jì)算基本思路，提出結(jié)構(gòu)承載性能評(píng)價(jià)及優(yōu)化方法，進(jìn)一步提出將材料沿傳力路徑布置以最大限度發(fā)揮結(jié)構(gòu)承載性能的設(shè)計(jì)思路，實(shí)現(xiàn)承載結(jié)構(gòu)的高剛度設(shè)計(jì)。

1 傳力路徑可視化

對(duì)于任意彈性結(jié)構(gòu)，都可以將其簡化為圖1a所示模型，包括受力點(diǎn)A、支撐點(diǎn)B和任意點(diǎn)C，三點(diǎn)之間可近似為彈簧連接，用來表示任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)剛度。

根據(jù)相對(duì)剛度[8]的定義，3點(diǎn)間的力-位移關(guān)系如式(1)所示。

(1)

式中：Kij(i,j=A,B,C)表示相對(duì)剛度矩陣，pi(i=A,B,C)和di(i=A,B,C)表示載荷向量和位移向量。

其次，在點(diǎn)A處施加力PA，產(chǎn)生位移dA，根據(jù)式(1)及應(yīng)變能公式，計(jì)算總應(yīng)變能U為

(2)

然后，將結(jié)構(gòu)中任意點(diǎn)C固定，如圖1b所示，在點(diǎn)A處施加力PA，使受力點(diǎn)A產(chǎn)生相同的位移dA，此時(shí)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能U′為：

(3)

引入應(yīng)變能系數(shù)U*，計(jì)算公式為

(4)

可知，U*是KAC的函數(shù)表達(dá)式，其物理意義是指受力點(diǎn)A和任意點(diǎn)C之間的剛度關(guān)系。最后，將具有相同U*值的節(jié)點(diǎn)連接形成一簇等值線，從受力點(diǎn)出發(fā)，沿等值線的脊線形成一條傳遞通道，定義為結(jié)構(gòu)的主傳力路徑，如圖2所示。

2 承載性能評(píng)價(jià)與優(yōu)化

傳力路徑是力在結(jié)構(gòu)中傳遞規(guī)律的集中體現(xiàn)，其軌跡主要受結(jié)構(gòu)外形輪廓的影響，通常越靠近傳力路徑的區(qū)域?qū)Y(jié)構(gòu)整體剛度的貢獻(xiàn)度越大，因此，研究傳力路徑及結(jié)構(gòu)外形輪廓上應(yīng)變能系數(shù)的變化規(guī)律，建立承載性能評(píng)價(jià)方法，可找到結(jié)構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)，為優(yōu)化提供指導(dǎo)。

以某異形板為例，如圖5a所示，將其左端固定，右端施加力F，計(jì)算得到的主傳力路徑用黑色箭頭表示，傳力路徑上U*變化如圖5b，載荷在傳遞到區(qū)域1的M點(diǎn)時(shí)U*發(fā)生突變，隨后在MN段快速下降，經(jīng)過N點(diǎn)后再次發(fā)生突變，開始緩慢下降至支撐點(diǎn)。因此可知，力在區(qū)域1傳遞過程中，U*值衰減較快，該區(qū)域?qū)儆诒∪鯀^(qū)域，需要通過增加材料以提高相對(duì)剛度。此外，理論上U*在傳力路徑方向連續(xù)變小，而圖6a區(qū)域2的U*由大變小再變大，表明該區(qū)域存在材料冗余，阻礙了載荷的傳遞，可以通過減少材料來提高載荷傳遞的順暢度。

為了改善結(jié)構(gòu)的整體承載性能，本文提出力流導(dǎo)向的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，以傳力路徑理論為基礎(chǔ)，結(jié)合承載性能評(píng)價(jià)結(jié)果及優(yōu)化建議，將材料沿傳力路徑布置，并增加相應(yīng)的減重孔及相關(guān)特征，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)承載性能的優(yōu)化，具體設(shè)計(jì)思路如圖6所示。

3 算例：控制臂

3.1 控制臂結(jié)構(gòu)介紹

控制臂在汽車的安裝位置如圖7a所示，具體結(jié)構(gòu)及邊界條件如圖7b所示，材料為鋁合金A356.1，彈性模量為72.4 GPa，泊松比為0.33，密度為2 680 kg/m3，控制臂的右側(cè)兩圓柱孔B、C與汽車車架直接相連，在分析時(shí)可以等效為固定約束，左側(cè)圓柱孔A與轉(zhuǎn)向節(jié)連接，可以等效為銷軸載荷。本文以汽車車輪側(cè)撞到馬路沿時(shí)控制臂的受載情況為例進(jìn)行傳力路徑分析，此時(shí)圓柱孔A受到沿x方向的載荷3 062.36 N。

3.2 承載性能分析

由于控制臂的載荷傳遞路徑受兩支腿形狀的影響較大，為了提高計(jì)算效率，提取控制臂橫截面作為研究對(duì)象，計(jì)算得到主傳力路徑如圖8所示，可知，載荷從左側(cè)圓柱孔出發(fā)，在支腿內(nèi)側(cè)逐漸傳遞到支腿外側(cè)，到右側(cè)圓柱孔終止，傳遞方向變化較大的區(qū)域位于支腿拐角處，即區(qū)域2。

通常更關(guān)注力在結(jié)構(gòu)外輪廓的傳遞規(guī)律，本文進(jìn)一步分析控制臂支腿內(nèi)側(cè)(圖8路徑1)和外側(cè)(圖8路徑2)的承載性能，得到兩條路徑的U*變化圖如圖9所示。

在AO段，路徑1上的U*明顯大于路徑2，而在OB段U*則小于路徑2，表明載荷傳遞到O點(diǎn)之前控制臂內(nèi)側(cè)承擔(dān)的剛度大于外側(cè)，而O點(diǎn)之后外側(cè)剛度貢獻(xiàn)度更大。在路徑1上，U*始終以一定的速率均勻下降，經(jīng)過K點(diǎn)(對(duì)應(yīng)圖8區(qū)域2)后，下降速率明顯降低，表明區(qū)域2左側(cè)材料承擔(dān)的載荷大于右側(cè)，因此區(qū)域2左側(cè)的應(yīng)力值高于右側(cè)，這主要是由于區(qū)域2的拐角阻礙了力流的傳遞，進(jìn)而導(dǎo)致力流向控制臂支腿外側(cè)方向傳遞；而在路徑2上，U*先以一定的速率均勻下降，在到達(dá)M點(diǎn)后，開始緩慢上升，隨后再次下降，表明力流傳遞到M點(diǎn)時(shí)受到了控制臂外側(cè)拐角的影響，導(dǎo)致力流傳遞速率明顯降低，而經(jīng)過M點(diǎn)后，由于外側(cè)拐角和內(nèi)側(cè)力流的綜合影響，使路徑2上的U*逐漸變大，直至N點(diǎn)后開始均勻下降，理想的傳力路徑認(rèn)為U*始終均勻下降，因此，MN段U*的上升表明區(qū)域3(圖8)存在冗余材料，影響了力流的正常傳遞，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中應(yīng)該考慮去除。

綜上分析可知，控制臂支腿內(nèi)外側(cè)的力流傳遞不均勻，主要是由于控制臂支腿拐角處結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不合理導(dǎo)致載荷在傳遞到拐角處時(shí)方向發(fā)生了突變，建議將支腿外側(cè)材料向內(nèi)側(cè)偏移，且減小拐角曲線的曲率。

3.3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了改善控制臂的承載性能，依據(jù)第2節(jié)圖6思路建立控制臂包絡(luò)體模型，將控制臂的受載區(qū)域和約束區(qū)域保留，將其他區(qū)域填充為規(guī)則的矩形結(jié)構(gòu)，并在圓柱孔B、C之間留出阻尼器的活動(dòng)空間，得到的包絡(luò)體模型如圖10所示。

施加與圖7相同的載荷和約束，建立包絡(luò)體有限元模型，計(jì)算得到兩條主傳力路徑如圖11所示，將材料沿傳力路徑布置，考慮到加工工藝，將截面設(shè)計(jì)成矩形，并添加與原結(jié)構(gòu)相同的減重槽，得到新模型如圖12所示，其質(zhì)量由1.01 kg下降到0.92 kg。

3.4 結(jié)果對(duì)比分析

計(jì)算控制臂新模型的U*分布，如圖13所示，其主傳力路徑更靠近支腿內(nèi)外兩側(cè)的中間通道，表明新模型的整體承載性能優(yōu)于原始模型。

為了說明優(yōu)化模型的承載性能優(yōu)勢(shì)，將優(yōu)化前后控制臂支腿內(nèi)側(cè)和外側(cè)承載性能進(jìn)行綜合分析，如圖14所示。

由圖可知，優(yōu)化后控制臂路徑1和路徑2上的U*變化趨勢(shì)相似，都是在AO段路徑1的U*大于路徑2，在OB段小于路徑2，不同的是優(yōu)化后O點(diǎn)的位置更靠近支撐點(diǎn)B，且OB段兩條路徑上的U*差別很小，表明優(yōu)化后控制臂支腿的內(nèi)側(cè)和外側(cè)的承載性能更加均勻，通過優(yōu)化，剛度貢獻(xiàn)度從點(diǎn)A到點(diǎn)B由內(nèi)側(cè)大于外側(cè)(AO段)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚?cè)(OB段)一致。

從路徑1可看出，優(yōu)化前后初始點(diǎn)的U*一致，但優(yōu)化后路徑前50%(AL段)的U*小于優(yōu)化前，而后50%大于優(yōu)化前的路徑，說明優(yōu)化后控制臂支腿內(nèi)側(cè)的承載性能更加均勻，區(qū)域2力流的傳遞更加順暢；由路徑2可知，優(yōu)化后初始點(diǎn)的U*遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于優(yōu)化前，這主要是優(yōu)化前控制臂路徑2的初始點(diǎn)位于受載圓柱孔與支腿交接處，導(dǎo)致力流傳遞至此產(chǎn)生了聚集，而優(yōu)化后力流在該位置的傳遞相對(duì)順暢，此外，優(yōu)化后路徑上的U*值始終均勻下降，與優(yōu)化前模型相比，在支腿拐角處不存在冗余材料對(duì)力流的阻滯，改善了區(qū)域3力流傳遞的順暢度。綜上分析可知，優(yōu)化后控制臂的承載性能明顯優(yōu)于優(yōu)化前。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證優(yōu)化的合理性，對(duì)優(yōu)化前后控制臂極限工況進(jìn)行靜態(tài)特性分析，建立控制臂有限元模型，施加圖7所示的載荷和邊界條件，得到其最大位移和應(yīng)力見表1。

表1 優(yōu)化前后控制臂力學(xué)性能對(duì)比

由表可知，優(yōu)化前控制臂的最大位移為0.061 mm，最大應(yīng)力為17.42 MPa，優(yōu)化后控制臂的最大位移為0.015 mm，比原模型小了0.046 mm，最大應(yīng)力為15.92 MPa，比原模型小了1.5 MPa，可知采用傳力路徑設(shè)計(jì)的控制臂結(jié)構(gòu)承載性能更優(yōu)，其剛度、強(qiáng)度分別提高了75.41%、8.61%，質(zhì)量減輕8.91%。

4 結(jié)語

本文基于傳力路徑理論，提出結(jié)構(gòu)承載性能評(píng)價(jià)及優(yōu)化方法，不僅可以給出承載結(jié)構(gòu)局部區(qū)域的傳力規(guī)律，還能評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)各區(qū)域的承載性能，進(jìn)一步提出將材料沿傳力路徑布置以最大限度地發(fā)揮結(jié)構(gòu)承載性能的設(shè)計(jì)思路，可實(shí)現(xiàn)承載結(jié)構(gòu)的高剛度設(shè)計(jì)。以某型號(hào)控制臂為例進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明：優(yōu)化后控制臂的承載性能得到改善，極限工況下的剛度、強(qiáng)度分別提高了75.41%、8.61%，而質(zhì)量由1.01 kg減輕到0.92 kg。本文方法同樣適用于汽車車身等承載結(jié)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)與優(yōu)化設(shè)計(jì)中，其優(yōu)勢(shì)在于不需要建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行多次迭代搜索。