不同理論在分析箱形梁畸變效應(yīng)時(shí)的差異

王晨光，張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

高強(qiáng)、薄壁、輕型化是箱形梁橋未來發(fā)展的趨勢(shì).薄壁箱梁在偏心荷載作用下的畸變效應(yīng)顯著，在橋梁設(shè)計(jì)過程中必須引起足夠重視[1-8].張?jiān)５萚9]給出了箱形截面畸變角的一般定義，并提出了一種類似于箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析的畸變效應(yīng)解析法來分析布置雙層懸臂板箱梁的畸變效應(yīng).徐勛等[10]基于廣義坐標(biāo)法建立位移模式和幾何方程，采用混合變分原理，建立了開閉口混合截面薄壁桿件扭轉(zhuǎn)和畸變分析理論，以充分考慮剪切變形對(duì)箱形梁畸變效應(yīng)的影響.王兆南等[11]采用板元分析法，通過建立各板元面內(nèi)矩、相互約束及畸變荷載之間的關(guān)系，推導(dǎo)了箱形梁畸變控制微分方程.張文獻(xiàn)等[12]對(duì)長(zhǎng)懸臂板箱形梁的畸變效應(yīng)進(jìn)行了模型試驗(yàn)研究，通過對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，得到長(zhǎng)懸臂板箱形梁畸變橫向彎矩的實(shí)用計(jì)算公式.Chidolue等[13]基于符拉索夫廣義坐標(biāo)法的基本原理求解得到了三室全斜腹板箱梁的畸變控制微分方程，并通過三角級(jí)數(shù)法計(jì)算箱形梁的畸變變形.朱力等[14]通過虛功原理構(gòu)造了曲線梁的平衡方程,給出了曲梁的剛度矩陣及等效荷載矩陣.張莉[15]通過有限元軟件分析了橫隔板的數(shù)量及箱梁的幾何特征參數(shù)對(duì)鋼箱梁畸變效應(yīng)的影響.畸變分析理論眾多，不同畸變理論在分析箱形梁畸變效應(yīng)時(shí)既有區(qū)別又有聯(lián)系.本文通過對(duì)板元分析法、能量分析法這兩種不同畸變理論進(jìn)行比較，進(jìn)一步探討了兩種理論之間的關(guān)系.

1 畸變荷載及畸變變形

在分析箱形梁畸變效應(yīng)時(shí)，可沿箱梁跨度方向截取單位長(zhǎng)度的薄片框架，其橫截面簡(jiǎn)圖如圖1所示.圖中，A、B、C、D分別為箱室的四個(gè)角點(diǎn).bw、bt、bd分別為箱室腹板、頂板、底板的長(zhǎng)度；bf為翼緣板長(zhǎng)度；δt、δw、δd分別為頂板、腹板、底板的厚度.θ為頂板與腹板的夾角.偏心荷載P(z)作用在頂板上，偏心距為e.

作用在箱形梁橫截面上的偏心荷載可以分解為正對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載，其中反對(duì)稱荷載可以繼續(xù)分解為剛性扭轉(zhuǎn)荷載和畸變荷載.正對(duì)稱荷載和剛性扭轉(zhuǎn)荷載不引起箱形梁的畸變變形，在分析箱形梁畸變效應(yīng)時(shí)往往可以忽略.根據(jù)畸變荷載的自平衡條件，可得作用在箱形梁橫截面上的畸變荷載如圖2所示，其值分別為

(1)

(2)

(3)

圖1 箱形梁橫截面簡(jiǎn)圖Fig.1 Diagram of cross section of box girder

圖2 畸變荷載Fig.2 Distortion Loads

組成箱形梁的各板件在畸變荷載作用下發(fā)生了平面內(nèi)翹曲變形和平面外框架變形，分別如圖3～4所示.定義角點(diǎn)D處腹板與底板夾角的改變量為γD，如圖4所示，則這兩種變形最終可以通過畸變角γD聯(lián)系起來.

圖3 平面內(nèi)畸變翹曲變形Fig.3 In-plane deformation due to distortion warping

在分析畸變翹曲變形時(shí)，認(rèn)為組成箱形梁各板件在發(fā)生畸變翹曲時(shí)滿足平截面假定，此時(shí)，各板件平面內(nèi)的位移滿足初等梁理論，畸變翹曲正應(yīng)力呈線性分布.由畸變翹曲正應(yīng)力的自平衡條件可得，頂板、底版、腹板上由畸變翹曲正應(yīng)力合成的內(nèi)力矩Mt、Mb、Mw滿足以下條件

(4)

(5)

(6)

式中：E為彈性模量.

圖4 平面外畸變框架變形Fig.4 Out-plane distortion deformation of the frame

當(dāng)箱形梁框架產(chǎn)生畸變角γD時(shí)，頂板水平位移為γDbwsinθ，如圖4所示.通過計(jì)算可以得到箱形梁在發(fā)生畸變框架變形時(shí)角點(diǎn)A、角點(diǎn)D處的橫向彎矩mAB、mDC分別為

(7)

(8)

X1、δh分別為頂板作用單位水平力時(shí)的頂板跨中剪力和側(cè)向位移，其值為

(9)

(10)

式中：X=X1/2；I1、I2、I4分別為腹板、底板、頂板的面外慣性矩.

2 板元分析法

采用板元分析法分析箱形梁的畸變效應(yīng)時(shí)，將箱形梁頂板、底板、腹板離散為板元進(jìn)行分析.各板元的面內(nèi)力系如圖5所示.

圖5 各板元面內(nèi)力系Fig.5 In-plane forces of each plate

由各板板元上面內(nèi)力系的平衡條件，可得

(11)

(12)

(13)

dQt=Pdt-qAx-qBx;

(14)

dQb=Pdb-qCx-qDx;

(15)

dQw=-Pdw+qAy+qDy.

(16)

式中：qt、qb為微段上腹板對(duì)頂板、底板的縱向約束荷載集度；qAx、qBx為腹板對(duì)頂板的橫向約束反力；qCx、qDx為腹板對(duì)底板的橫向約束反力；qAy、qDy為頂板和底版對(duì)左腹板的橫向約束反力；Qt、Qb、Qw為作用在頂板、底板、腹板微段上的剪力.

將式(11)、式(12)代入式(13)并微分一次，然后將式(14)、式(15)及式(16)代入，令qy=qAy+qDy；qx1=qAx+qBx；qx2=qCx+qDx可得

(17)

式(17)綜合反映了畸變翹曲變形、畸變框架變形與畸變荷載之間的關(guān)系.式(17)等式左邊可以拆解為與畸變翹曲變形、畸變框架變形、畸變荷載有關(guān)的三個(gè)分項(xiàng)W1、W2、W3，分別為

(18)

(19)

(20)

則式(17)可寫為

W1-W2+W3=0.

(21)

將式(4)～(6)代入式(18)可得

(22)

式中：

箱形梁發(fā)生畸變變形時(shí)各板元的平面外力系如圖6所示.圖中，mAB=mBA、mDC=mCD、mAD=mDA、mBC=mCB，分別為頂板、底板、左腹板、右腹板的板端彎矩；qBy、qCy分別為框架右腹板對(duì)頂板和底板的橫向約束反力.由平面外力系的平衡條件及框架橫向彎矩的反對(duì)稱性可得

(23)

(24)

(25)

將式(7)～(8)、(23)～(25)代入式(19)可得

W2=Γ3γD.

(26)

將式(1)～(3)代入式(20)，可得

(27)

圖6 板元面外力系Fig.6 Out-plane forces of each plate

(28)

(29)

式中：λP為板元分析法中反映箱形梁抵抗畸變變形能力的幾何參數(shù)；EIWP為抗畸變翹曲剛度.

3 能量分析法

采用能量分析法分析箱形梁即便效應(yīng)時(shí)，同樣選取畸變角γD為基本未知量，由畸變產(chǎn)生的內(nèi)力、變形以及總勢(shì)能最終均表示為γD的泛函，通過變分得到畸變控制微分方程方程.箱形梁由于畸變翹曲變形和畸變框架變形產(chǎn)生畸變翹曲應(yīng)變能和框架畸變應(yīng)變能.由式(7)～(8)可得框架畸變應(yīng)變能U1為

(30)

式中：

由式(4)～(6)可得角點(diǎn)D處的畸變翹曲正應(yīng)力σD為

(31)

則畸變翹曲應(yīng)變能U2為

在佛教中，“坐化”是指坐姿逝去。這種背景信息對(duì)英語讀者來說很陌生，所以譯者最好加上解釋。這里譯者用普通英語單詞來表達(dá)文化負(fù)載詞“坐化”，使讀者對(duì)中國(guó)佛教文化有一個(gè)簡(jiǎn)單的了解。

(32)

式中：

箱形梁在畸變荷載作用下的外荷載勢(shì)能V為

(33)

當(dāng)不考慮剪切變形時(shí)，箱形梁在畸變荷載作用下的總勢(shì)能Π=U1+U2+V.Π取極值的必要條件為Π的一階變分為零.由此可得畸變控制微分方程為

(34)

(35)

式中：λE為能量分析法中反映箱形梁抵抗畸變變形能力的幾何參數(shù)；EIWE為抗畸變翹曲剛度.

通過計(jì)算可以得到，采用板元分析法和能量變分法兩種不同方法計(jì)算得到的畸變幾何特性參數(shù)λP、λE相等[16]，采用板元分析法計(jì)算得到的抗畸變翹曲剛度EIWP為采用能量分析法計(jì)算所得值EIWE的兩倍，即滿足

λP=λE.

(36)

EIWP=2EIWE.

(37)

通過對(duì)比式(29)及式(35)右邊項(xiàng)可以得出，對(duì)于直腹板箱梁，即當(dāng)bt=bd時(shí)，滿足

(38)

式(38)表明，對(duì)于直腹板箱形梁，當(dāng)采用板元分析法和能量變分法分析箱形梁畸變效應(yīng)時(shí)，兩種計(jì)算理論所得結(jié)果完全一致.

橋梁工程設(shè)計(jì)中根據(jù)不同的約束條件，關(guān)于畸變控制微分方程的邊界條件可表示為如下的形式：

1) 剛性固定的支座約束

箱形梁在剛性固定支座處不能發(fā)生畸變變形，因此畸變角與畸變位移均為零：

γ=0,γ′=0.

(39)

2) 簡(jiǎn)支梁的端部設(shè)置有剛性橫隔板

橫隔板的約束使得箱形梁在梁段不能發(fā)生畸變變形，即畸變角為零，且在端部橫截面上的畸變翹曲正應(yīng)力為零:

γ=0,γ″=0.

(40)

3) 自由懸臂端且沒有設(shè)置橫隔板

箱形梁在自由懸臂端畸變翹曲正應(yīng)力與畸變翹曲剪應(yīng)力均為零：

γ″=0,γ″′=0.

(41)

4 數(shù)值算例及參數(shù)分析

文獻(xiàn)[1]中的算例為一等截面簡(jiǎn)支箱形梁橋，其跨度L=40 m，箱形梁的橫截面尺寸如圖7所示.該箱梁采用彈性模量E=3.4×104MPa的C40混凝土，并在梁端設(shè)置厚度為1.2 m的橫隔板.在箱形梁跨中頂板與左腹板交點(diǎn)處作用偏心荷載P=451.0 kN.分別采用板元分析法、能量分析法、ANSYS有限元法對(duì)該箱梁進(jìn)行有限元分析計(jì)算.

圖7 箱形梁橫截面簡(jiǎn)圖(單位：cm)Fig.7 Cross section of box girder (unit:cm)

本例箱形梁底板與左腹板交點(diǎn)處畸變翹曲正應(yīng)力γD隨頂、底板長(zhǎng)度之比bt/bd的變化曲線如圖8所示.在分析過程中，保持箱形梁頂板長(zhǎng)度不變，通過改變箱形梁底板長(zhǎng)度來實(shí)現(xiàn)頂、底板長(zhǎng)度之比的變化.從圖中可以看出，采用板元分析法、能量分析法、ANSYS有限元法三種不同方法計(jì)算所得的畸變翹曲正應(yīng)力均隨頂、底板長(zhǎng)度之比bt/bd的增大而減小，采用有限元法計(jì)算時(shí)時(shí)降低幅度最大，采用板元分析法計(jì)算時(shí)降低幅度最小.當(dāng)bt/bd=1時(shí)，板元分析法和能量分析法的計(jì)算結(jié)果相同.

不同頂、底板長(zhǎng)度之比下畸變翹曲正應(yīng)力γD的計(jì)算結(jié)果如表1所列.由表1可以得到，對(duì)于本例箱梁，當(dāng)bt/bd<1.4時(shí)，采用板元分析法計(jì)算所得的畸變翹曲正應(yīng)力與ANSYS有限元法計(jì)算所得結(jié)果更為接近；而當(dāng)bt/bd>1.8時(shí)，采用能量分析法計(jì)算所得的畸變翹曲正應(yīng)力與ANSYS有限元法計(jì)算所得結(jié)果更為接近.

圖8 畸變翹曲正應(yīng)力隨bt/bd的變化曲線Fig.8 Variation curve of distortion warping normal stress with bt/bd

表1 不同頂、底板長(zhǎng)度之比下的畸變翹曲正應(yīng)力

5 結(jié)論

1) 本文對(duì)比了板元分析法、能量分析法在分析箱形梁畸變效時(shí)的不同，從理論上證明兩種不同方法計(jì)算得到的畸變幾何特性參數(shù)λP、λE相等，且對(duì)于直腹板箱梁，兩種理論計(jì)算結(jié)果完全相同.

2) 采用板元分析法、能量分析法、ANSYS有限元法三種不同方法計(jì)算所得的畸變翹曲正應(yīng)力均隨頂、底板長(zhǎng)度之比bt/bd的增大而減小，采用有限元法計(jì)算時(shí)降低幅度最大，采用板元分析法計(jì)算時(shí)降低幅度最小.

3) 當(dāng)bt/bd<1.4時(shí)，采用板元分析法計(jì)算所得本例箱梁的畸變翹曲正應(yīng)力與ANSYS有限元法計(jì)算所得結(jié)果更為接近；而當(dāng)bt/bd>1.8時(shí)，采用能量分析法計(jì)算所得的畸變翹曲正應(yīng)力與ANSYS有限元法計(jì)算所得結(jié)果更為接近.