多穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器的非線性動力學特性及其實驗研究

譚江平 王光慶 鞠洋

摘要： 為了提高非線性雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器的輸出性能，提出了一種基于磁?機?壓電耦合的非線性多穩(wěn)態(tài)振動能量采集器，通過在雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器模型基礎上增加一對外部磁鐵，構造了具有四個穩(wěn)態(tài)的非線性壓電振動能量采集器。利用磁偶極子理論建立了采集器懸臂梁末端磁鐵與外部磁鐵之間的非線性磁力模型;利用Hamilton原理和Raleigh?Ritz方法建立了四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集系統的分布參數機電耦合動力學模型;仿真分析了磁鐵水平間距和外部磁鐵間距等參數對系統非線性磁力、非線性分岔特性和動力學特性的影響。制作了四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器原理樣機，搭建了樣機性能測試平臺，實驗結果與仿真結果具有較好的吻合度。研究結果表明四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器可以在低激勵水平作用下顯著提高能量收集效率，且具有較寬的工作頻帶。

關鍵詞： 機電耦合動力學; 多穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器; 非線性磁力

引 言

壓電振動能量采集器是一種利用壓電陶瓷正壓電效應將環(huán)境中的振動能量轉換成電能的新型機電器件，因其具有綠色環(huán)保、結構簡單、壽命長、能量轉換效率高等優(yōu)點，廣泛應用于微機電系統、便攜式電子設備和無線通信與傳感網絡中[1]。典型的壓電振動能量采集器是由壓電單晶或雙晶懸臂梁構成的線性諧振式振蕩器。當采集器諧振頻率與環(huán)境振動頻率一致時，采集器產生諧振，導致壓電片形變而產生輸出電荷[2?6]。為了拓寬線性壓電能量采集器的工作頻率范圍，且有效地采集環(huán)境振動能量，提出了一種由非線性磁力構成的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器（Bi?stable Piezoelectric Energy Harvester，BPEH），仿真與實驗均證明非線性磁力的引入極大地增加了能量采集器的工作頻帶和輸出性能[7?10]。但BPEH的兩個勢阱之間的間距小、勢壘高度大，導致其輸出性能大大降低，特別是當環(huán)境振動能量較小，不足以克服勢壘的阻礙時，BPEH被限制在某個勢阱內做小幅值的阱內運動。多穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器可以在環(huán)境振動較小的情況下表現出更優(yōu)越的能量采集性能，引起了許多學者的關注。文獻[11?12]建立了三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器（Tri?stable Piezoelectric Energy Harvester，TPEH）結構的理論模型、并通過數值仿真和實驗驗證了其理論模型的正確性，研究結果表明TPEH比BPEH具有更寬的勢阱寬度和更低的勢壘高度，這極大地拓寬了能量采集器的工作頻帶。Zhou等[13?15]研究了四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量系統（Quad?stable Piezoelectric Energy Harvester，QPEH），發(fā)現該系統擁有較寬的勢阱寬度和較低的勢壘高度，在較小的環(huán)境激勵下可以發(fā)生大幅阱間運動，輸出較高的電壓。盡管四穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器相較于雙、三穩(wěn)態(tài)能量采集器表現出更優(yōu)越的能量采集效率。但針對四穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器的非線性分岔、多穩(wěn)態(tài)形成機制以及非線性機電耦合振動機理等問題還未得到有效的解決。本文提出了一種基于磁?機?壓電耦合的四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器，通過在雙穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器結構基礎上引入一對外部磁鐵，對稱布置于中心外部磁鐵的上下兩側。首先利用磁偶極子理論建立了采集器懸臂梁末端磁鐵與外部磁鐵之間的非線性磁力模型;其次，利用Hamilton原理和Raleigh?Ritz方法建立了四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集系統的分布參數機電耦合動力學模型;仿真分析了磁鐵水平間距和外部磁鐵間距等參數對系統非線性磁力、非線性分岔特性和動力學特性的影響。最后，通過實驗驗證了仿真結果的正確性。

1 四穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器理論模型

1.1 四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器結構

圖1所示為四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器結構模型，將長度為的壓電片對稱粘貼在長度為的懸臂梁根部。兩壓電片沿厚度方向極化，且極化方向相反。懸臂梁末端連接一塊磁鐵A，磁鐵（B，C，D）固定在離磁鐵A水平距離為的基座上，磁鐵C與磁鐵A位于同一水平軸線上，磁鐵B和磁鐵D對稱地布置在磁鐵C的上、下兩側，它們與磁鐵C之間的中心距離為。磁鐵A與磁鐵（B，C，D）的相向面極性為N極，表現出磁場排斥力。R表示低功耗電子負載的等效電阻，且與兩壓電片串聯連接。通過調節(jié)磁鐵水平間距和外部磁鐵間距的大小，采集器具有四個穩(wěn)定的平衡位置和三個不穩(wěn)定的平衡位置，表現為四穩(wěn)態(tài)運動狀態(tài)。

以懸臂梁根部中心位置為坐標原點，水平方向為x軸，垂直方向為z軸建立坐標系。為了方便把x軸記作下標1，z軸記作下標3，則壓電本構方程可表示為

1.2 拉格朗日方程

利用歐拉?伯努利梁理論和哈密爾頓原理建立四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集器的動力學方程，該系統的拉格朗日方程可表示為

1.3 磁場勢能模型

為了便于計算磁勢能，可將系統磁鐵看作磁偶極子模型，如圖2所示。

1.4 壓電懸臂梁振動模態(tài)

考慮到環(huán)境振動通常為低頻振動，懸臂梁一階彎曲振動模態(tài)占主導作用，高階模態(tài)影響較小，故本文僅考慮壓電懸臂梁的一階彎曲振動模態(tài)，因此可將位移 表示為

1.5 動力學方程

利用模態(tài)函數的正交性，可得拉格朗日方程 （17）式中 為固有頻率; 為機電耦合項; 為激勵系數項;為模態(tài)質量，它們的具體表達式為：

2 數值仿真

利用MATLAB軟件對四穩(wěn)態(tài)壓電振動能量采集系統進行相關輸出特性的數值仿真和分析。本文采用的材料和結構參數如表1所示，其中PZT表示壓電陶瓷（Piezoelectric Ceramics）。

2.1 勢能和磁力分析

本節(jié)主要研究了水平間距d和外部磁鐵間距dg等系統參數對QPEH的非線性磁力和勢能的影響。圖3 （a）和（b）所示為四種不同水平間隙距離（d=13，15，17，19 mm）的勢阱和非線性磁力仿真計算結果，由圖3可以看出，非線性磁力和勢阱深度隨水平間距d的減小而增大。當d=13 mm時，內阱深遠遠小于外阱深。在這種情況下，內阱和外阱之間的勢壘很大，需要較大的激勵力來克服外阱和內阱之間的勢壘振蕩。隨著d的增大，內阱深與外阱深的差距變小，當d=17 mm時，QPEH能在四個阱中很容易地振蕩，產生較高的能量回收率。隨著d進一步增大到25 mm，系統只有兩個勢能阱，表現為雙穩(wěn)態(tài)。當d增大到一定距離，如d=45 mm時，磁力效果消失，系統表現為單穩(wěn)態(tài)。

圖4（a）和（b）所示為磁鐵垂直間距dg=9，15，17，19 mm時系統的勢能圖和磁力仿真計算結果。當外部間距較小時，如dg=9 mm，勢能圖中只有兩個對稱的勢阱，對應的非線性磁力只有三個零點，系統表現為雙穩(wěn)態(tài)。隨著dg的增大，勢能曲線出現四個勢阱，非線性磁力具有七個零點，表現為四穩(wěn)態(tài)。由此可以看出隨著垂直間距dg的逐漸增大，采集器的運動狀態(tài)由雙穩(wěn)態(tài)運動跳轉到四穩(wěn)態(tài)運動。

2.2 系統平衡點分岔特性

圖5所示所示為磁鐵垂直間距dg=9，15，19和23 mm時系統在（d， w）空間內的平衡點分岔圖，其中實線表示穩(wěn)定平衡解，虛線表示非穩(wěn)定平衡解。當磁鐵垂直間距較小時，即dg=9 mm，如圖5（a）所示，系統只有一個叉形分岔點PF，當水平間距d>dPF時，系統只有一個穩(wěn)定的零平衡解，采集器表現出單穩(wěn)態(tài)運動;當ddPF時，系統只有一個零穩(wěn)態(tài)解，采集器表現出單穩(wěn)態(tài)結構;當d

通過上述分岔分析，發(fā)現在給定的參數空間（d， w）和垂直間距dg條件下，隨著水平間距d的減小，QPEH有四種不同運動狀態(tài)的跳轉模式。第一個轉變從單穩(wěn)態(tài)直接開始到雙穩(wěn)態(tài)，如圖5（a）所示;第二個轉變從單穩(wěn)態(tài)開始，經過雙穩(wěn)態(tài)，然后到四穩(wěn)態(tài)，如圖5（b）所示;第三個轉變從單穩(wěn)態(tài)開始，依次經過雙穩(wěn)態(tài)到四穩(wěn)態(tài)再到雙穩(wěn)態(tài)，最后到四穩(wěn)態(tài)，如圖5（c）所示;第四個躍遷從單穩(wěn)態(tài)到雙穩(wěn)態(tài)再到四穩(wěn)態(tài)，如圖5（d）所示。

為了進一步說明系統的分岔特性，如圖6所示為水平距離d=23，25，29，35 mm時QPEH在（dg， w）空間內的平衡解分岔圖。圖6（a）為水平距離d=23 mm時的分叉圖，存在兩個鞍形分岔點SN1和SN2。在 區(qū)域，系統表現為四穩(wěn)態(tài)，在和區(qū)域，系統表現為雙穩(wěn)態(tài)。當d=25 mm，如圖6（b）所示，鞍節(jié)分岔點SN1向左移動，四穩(wěn)態(tài)的區(qū)域逐漸變小。隨著d的進一步增大，如圖6（c）所示，此時四穩(wěn)態(tài)的區(qū)域變得非常小。當d=35 mm時，如圖6（d）所示，系統鞍節(jié)點消失，叉形分岔點PF出現，表現為雙穩(wěn)態(tài)系統。

2.3 系統動態(tài)特性分析

為探究壓電能量采集器在不同頻率下的輸出特性，通過頻掃的方式對系統的輸出性能進行仿真分析。如圖7所示為系統在dg=21 mm，d=23 mm，A=15 m/s2，R=1 MΩ條件下采集器末端位移，輸出電壓，輸出功率和相圖的輸出響應。從圖7（a）所示系統末端磁鐵振動位移中可以看出在較寬的頻帶范圍內系統具有大幅度的振動。圖7（b），（c）為系統得到的輸出電壓和輸出功率，可以看出系統在7?10 Hz的頻帶范圍內輸出電壓最大值能達到2.2 V，最大輸出功率能達到0.17 mW。圖7（d）所示為系統速度?位移相圖，較好地體現了系統四穩(wěn)態(tài)運動特性。由圖7可以看出當頻率在7?10 Hz范圍內，采集器輸出響應大幅提升。

進一步地，取激振加速度幅值A=7.5 m/s2，頻率為5 Hz，外部磁鐵之間間距dg=10 mm，磁鐵之間水平距離d=27 mm時，對系統進行仿真分析得到如圖8 （a），（b），（c）所示的響應輸出。從圖8 （a）中的相圖可以看出壓電能量采集器此時呈現雙穩(wěn)態(tài)特性，系統的末端振動位移為48 mm，其輸出電壓和輸出功率分別達到1.4 V和0.07 mW。調節(jié)外部磁鐵間距dg=17 mm，磁鐵間水平間距d=17 mm，此時系統的動態(tài)響應如圖9所示。由圖9（a）的相圖看出此時壓電能量采集器呈現四穩(wěn)態(tài)運動特性。由圖9可知，當系統達到穩(wěn)定時的末端磁鐵位移、輸出電壓、輸出功率分別為60 mm、2 V和0.14 mW。對比圖8和圖9所示結果可以發(fā)現采集器做四穩(wěn)態(tài)運動時的輸出性能遠高于做雙穩(wěn)態(tài)運動時的輸出特性。

3 實驗驗證

3.1 非線性磁力和勢能驗證

為了驗證上述磁力模型的正確性，建立如10（a）所示的磁力實驗系統。它主要由QPEH、數字測力計（HF?10）、標尺等設備組成。將帶有磁鐵A的壓電懸臂梁固定在基座上，磁鐵B，C，D連接在測力計觸頭上;改變磁鐵A的靜態(tài)偏移位置，利用標尺測量其偏移值即為懸臂梁末端的靜態(tài)位移，同時通過測力計讀取此時磁鐵之間的磁力。圖10（b）是采集器在d=15 mm和dg=17 mm時實驗和仿真得到的勢能曲線，結果表明實驗得到的勢能函數與仿真結果具有較好的吻合度，勢能函數有四個勢能阱，具有四個穩(wěn)定平衡位置。圖10（c）和（d）是采集器分別在d=15 mm、dg=17 mm和d=17 mm、dg=17 mm時的非線性磁力實驗和仿真計算結果，可以看出實驗結果和計算結果吻合較好，說明本文建立的非線性磁力計算模型是正確的。

3.2 動態(tài)特性實驗研究

為了驗證所提出四穩(wěn)態(tài)動態(tài)特性的仿真結果，根據表1中的參數研制了QPEH原理樣機，如圖11（a）所示，兩個相同的PZT層分別粘貼在懸臂梁上、下表面根部。在懸臂梁的頂端，附著一塊永久磁鐵。三塊尺寸和型號相同的外磁體固定在底座的右側壁上，其極化方向與懸臂梁尖端磁鐵相反。QPEH的相應實驗裝置如圖11（b）所示，QPEH安裝在激振器上，信號發(fā)生器產生的諧波信號用于模擬環(huán)境中的振動，通過功率放大器放大后輸入到振動器中以激勵QPEH振動。加速計安裝在振動器的頂部以測量加速度，用位移傳感器測量QPEH的懸臂梁尖端位移，用激光測振儀測量懸臂梁尖端速度，同時，輸出電壓由示波器采集。采集裝置采集QPEH的基礎加速度、懸臂梁尖端位移、懸臂梁尖端速度等進行分析。

圖12是水平距離d=27 mm，外部磁鐵間距dg=10 mm，基礎加速度幅值為7.5 m/s2，激勵頻率為5 Hz時，壓電能量采集器的動態(tài)輸出性能的實驗與仿真對比結果。由圖12可以看看出，實驗結果與仿真計算結果基本吻合。由圖12（a）得到的相圖實驗結果可知采集器表現為雙穩(wěn)態(tài)運動行為，實驗得到的采集器末端磁鐵A的最大振動位移和速度分別為40 mm和1500 mm/s;由圖12（b）所示的采集輸出電壓實驗結果可以看出，壓電能量采集器的最大輸出電壓達到1.48 V。

調節(jié)水平距離d=17 mm，外部磁鐵間距dg=17 mm，在相同的激勵幅值和激勵頻率作用下，壓電能量采集器的輸出性能實驗與仿真對比結果如圖13所示，可以看出實驗結果與仿真結果基本一致，采集器系統表現為四穩(wěn)態(tài)運動行為。如圖13（a）所示，實驗得到采集器末端磁鐵A的最大位移和速度分別為50 mm和2200 mm/s。由圖13（b）可知實驗得到的采集器最大輸出電壓為2 V。與圖12實驗結果對比表明采集器做四穩(wěn)態(tài)運動的輸出性能高于做雙穩(wěn)態(tài)運動時的輸出性能，這與圖8和9對比結果是一致的。

此外，從圖12和13所示結果還發(fā)現，實驗得到的采集器相圖是非對稱的，這主要是由于采集器末端磁鐵A的重力效應所致[16]。當采集器沿正向運動時（如圖12（a）和13（a）相圖右側平面），末端磁體A重力方向與運動方向相反，重力做負功，阻礙其沿正向運動，振動位移減小;反之，當采集器沿負向運動時（如圖12（a）和13（a）相圖左側平面），末端磁體A重力方向與運動方向相同，重力做正功，促進其沿負向運動，振動位移增大，由此導致采集器的相圖不對稱。

4 結 論

本文建立了一種具有四個勢阱的多穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器的非線性動力學模型，通過一系列的仿真分析和實驗驗證，得到以下主要結論：

1. 在相同的激勵條件下，多穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器較雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器具有更寬的工作頻帶和更高的動態(tài)輸出性能;

2. QPEH具有四個對稱的勢能阱，其寬度和深度均小于雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器的勢能阱，這可以促進QPEH在較低的環(huán)境激勵下做大幅值的阱間運動，提高了采集器的能量輸出效率;

3. QPEH從單穩(wěn)態(tài)到多穩(wěn)態(tài)運動具有四種變遷模式，即（1）從單穩(wěn)態(tài)運動直接變遷到雙穩(wěn)態(tài)運動;（2）從單穩(wěn)態(tài)運動開始，經過雙穩(wěn)態(tài)運動，變遷到四穩(wěn)態(tài)運動;（3）從單穩(wěn)態(tài)運動開始，經過雙穩(wěn)態(tài)、四穩(wěn)態(tài)運動，再經過雙穩(wěn)態(tài)運動后，變遷到四穩(wěn)態(tài)運動;（4）從單穩(wěn)態(tài)運動直接變遷到四穩(wěn)態(tài)運動。

4. 在d=27 mm， dg=10 mm，基礎加速度幅值為7.5 m/s2，激勵頻率為5 Hz時，能量采集器做雙穩(wěn)態(tài)運動，此時的最大輸出位移和速度分別為40 mm和1500 mm/s，最大輸出電壓1.48 V;在d=17mm， dg=17 mm，時，能量采集器做四穩(wěn)態(tài)運動，此時的最大輸出位移和速度分別為50 mm和2200 mm/s，最大輸出電壓2 V。

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