隨機與諧和聯(lián)合激勵下分數(shù)階非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計線性化方法

孔凡 晁盼盼 徐軍

摘要： 提出了一種計算隨機與諧和聯(lián)合激勵下非線性分數(shù)階系統(tǒng)響應二階矩的統(tǒng)計線性化方法。假定位移響應可寫為確定性均值和零均值隨機分量之和的形式，原運動微分方程可化為關于均值分量的確定性微分方程和關于隨機分量的隨機微分方程組合。分別利用諧波平衡法和統(tǒng)計線性化方法對上述兩類方程求解后，可得響應的確定性均值與隨機分量。Monte Carlo模擬證實了該方法的有效性。

關鍵詞： 非線性系統(tǒng); 隨機與諧和聯(lián)合激勵; 諧波平衡法; 統(tǒng)計線性化; 分數(shù)階導數(shù)

引 ?言

分數(shù)階導數(shù)模型在工程和科學問題中得到了廣泛應用，如流變學[1]、擴散傳輸[2]和黏彈性材料力學模型等。對于黏彈性材料力學模型，Nutting等[3]在本構方程中首次使用分數(shù)階導數(shù)的概念;Caputo[4]提出利用分數(shù)階導數(shù)模擬地質(zhì)地層的黏彈性行為;Slonimsky[5]，Smit和Vries[6]提出黏彈性介質(zhì)應力與應變之間存在類似的分數(shù)階微積分關系;Bagley和Torvik[7?8]不僅將分數(shù)階導數(shù)模型應用于某些黏彈性材料（聚合物溶液和無交聯(lián)聚合物固體），而且還證明分數(shù)階微積分模型與材料物理原理是一致的。研究表明，黏彈性材料的分數(shù)階導數(shù)模型具有簡潔、緊湊的特點，只需少量參數(shù)就能在很寬的頻率范圍內(nèi)描述黏彈性材料力學特性的頻率依賴行為。

動力系統(tǒng)包含分數(shù)階導數(shù)單元時，雖然簡潔性使分數(shù)階動力模型具有一定優(yōu)勢，但在解析或數(shù)值求解動力響應時卻往往涉及比較復雜的計算。目前，分數(shù)階確定動力系統(tǒng)分析可采用的方法比較豐富，如Laplace變換[9]、傅里葉變換[10]、特征向量展開[11]、平均方法[12]等。然而，分數(shù)階隨機動力系統(tǒng)研究起步較晚：Mainardi[13]建立描述布朗運動的分數(shù)階Langevin方程，并提出用Laplace變換對其進行求解;Spanos和Zeldin[14]提出分數(shù)階阻尼系統(tǒng)隨機振動分析的頻域方法;Agrawal[15]利用Suarez和Shokooh[11]的特征向量展開法，得到具有1/2階阻尼的隨機動力系統(tǒng)解析解;Ye等[16]提出附加黏彈性阻尼器的單自由度結構隨機地震反應分析的傅里葉方法，得到分數(shù)階系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)和Duhamel積分表達式;黃志龍等[17]提出強非線性單自由度分數(shù)階隨機系統(tǒng)的隨機平均法，考察系統(tǒng)響應及其穩(wěn)定性;孫春燕[18]利用幾種典型的動力學方法分析分數(shù)階隨機時滯系統(tǒng)的動力響應。

然而，在實際工程中還存在同時受到隨機激勵和確定性周期荷載聯(lián)合作用的一類結構（或裝置）。例如，風浪荷載作用下的風力發(fā)電塔、地震中支撐旋轉裝置的結構[19]、受到周期性水流沖擊的大壩[20]、飛行過程中直升機的機翼葉片[21]等。因此，考察隨機與諧和聯(lián)合激勵下系統(tǒng)的動力響應具有重要的工程意義。目前，大量研究致力于聯(lián)合激勵下的整數(shù)階非線性系統(tǒng)：Iyengar[22]利用高斯矩截斷方法研究正弦噪聲和白噪聲聯(lián)合激勵下的Duffing振子，得到系統(tǒng)的多個穩(wěn)態(tài)解并進行解的穩(wěn)定性分析;Nayfeh和Serhan[23]結合多尺度和二階矩截斷方法，考察Duffing?Rayleigh振子在聯(lián)合激勵下響應的均值和均方值;Rong等[24]采用諧波平衡法和隨機平均法研究聯(lián)合激勵下Duffing振子的響應、多穩(wěn)態(tài)解和跳躍現(xiàn)象;Rong等[25]利用多尺度法確定van der Pol?Duffing振子在聯(lián)合激勵下響應幅值和相位的調(diào)制方程，得到響應穩(wěn)態(tài)解并考察解的穩(wěn)定性;Anh和Hieu[26]考察聯(lián)合激勵下的整數(shù)階Duffing振子，假定響應可分解為確定性和隨機分量，繼而將原運動微分方程分解為耦合的確定性和隨機微分方程，隨后通過確定平均法和等效線性化分別求解確定和隨機方程。Spanos等[27]采用類似的假定，利用諧波平衡法和統(tǒng)計線性化方法分別求解確定性和隨機響應。類似的研究亦可見文獻[28]。分數(shù)階動力系統(tǒng)在確定性諧波和隨機聯(lián)合激勵下的隨機動力響應研究較少，目前，只有Chen和Zhu[29?33]進行相關研究：他們將隨機平均方法推廣到聯(lián)合激勵下分數(shù)階導數(shù)阻尼的Duffing振子中，利用FPK方程求解系統(tǒng)響應幅值和相位的概率密度函數(shù)，研究該系統(tǒng)的隨機跳躍、分岔和穩(wěn)定性。

本文提出一種用于計算聯(lián)合激勵下的分數(shù)階非線系統(tǒng)響應的方法。首先，采用與文獻[22，26?28]類似的假定，即系統(tǒng)響應可寫為諧和均值過程與隨機零均值過程之和的形式，將原系統(tǒng)運動方程化為耦合的確定性和隨機微分方程;其次，利用諧波平衡法和統(tǒng)計線性化對上述兩類方程耦合求解，可得到響應的確定與隨機分量;最后，與時域數(shù)值模擬的對比證實了該方法的精度和計算效率。由于統(tǒng)計線性化方法的廣泛適用性，本文所建議方法可方便地推廣至多自由度、甚至滯回非線性系統(tǒng)。

1 聯(lián)合激勵下非線性分數(shù)階系統(tǒng)的近似解

考慮隨機與諧和聯(lián)合激勵下的具有分數(shù)階導數(shù)阻尼的單自由度非線性系統(tǒng)

可見，聯(lián)合激勵下的分數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)能近似為諧和激勵下的確定性動力系統(tǒng)（6）和隨機激勵下的動力系統(tǒng)（7）。求解這兩類系統(tǒng)可得到式（1）的近似解。注意到，式（6）與（7）是相互耦合的，即式（6）包含隨機響應分量特征值，式（7）中包含確定性響應分量，必須同時考慮它們才能實現(xiàn)對二者的求解。

2 隨機和確定性分量求解

為此，本文采用迭代法求解上述方程組，具體步驟如下：

1） 確定隨機響應方差初值。忽略非線性項，即令，可得分數(shù)階線性系統(tǒng)在隨機激勵下的均方初值;將代入到方程（11）和（12）中，聯(lián)立線性方程組求解諧和項初值和。

2） 將代入式（19）求解，并根據(jù)式（20）求解更新后的;

3） 將更新后的代入式（11）?（12）求解更新后的諧和分量幅值;

4） 重復步驟2）和3）直至達到相關收斂準則。

3 數(shù)值算例

3.1 簡諧和白噪聲聯(lián)合激勵下

考察隨機激勵為白噪聲的情況。歸一化后的激勵功率譜密度可以由式（35）和（36）給出。首先考慮非共振情形。作為演示算例，選擇系統(tǒng)參數(shù)，，，;確定性激勵參數(shù)，。本文所提方法計算得到響應功率譜密度和均方值與數(shù)值模擬方法所得結果對比驗證了該方法的適用性。如圖1和2所示，Monte Carlo模擬方法與本文所提方法得到的功率譜密度和穩(wěn)態(tài)響應均方值吻合良好。其中，圖1中的箭頭表示確定性分量的功率譜密度。此外，Monte Carlo模擬得到的響應均方值為，統(tǒng)計線性化方法得到的響應均方值為，誤差僅為1.1%。

為進一步驗證所提方法的有效性，考慮其他幾組系統(tǒng)和激勵參數(shù)的情況。簡諧激勵具有不同幅值時，其頻率與響應均方值之間的關系（其他參數(shù)均與圖2所示的系統(tǒng)參數(shù)相同）如圖3所示。圖中，虛線代表統(tǒng)計線性化法的計算結果，標記線為時域數(shù)值模擬方法計算結果。統(tǒng)計線性化方法中，使用了線性初值啟動了Newton迭代計算;時域數(shù)值模擬方法中假定系統(tǒng)初始狀態(tài)為零。

由圖3可知，多數(shù)情況下，統(tǒng)計線性化方法和數(shù)值模擬的結果吻合較好。在大幅值確定性激勵作用下，曲線產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象。確定性激勵幅值越大，曲線的峰值越大且越呈明顯不對稱狀態(tài)，左坡緩而右坡陡，產(chǎn)生的跳躍越劇烈。圖3所示的均方值跳躍現(xiàn)象可能與諧波激勵下分數(shù)階Duffing振子的幅頻曲線的跳躍現(xiàn)象有關，分析如下。

圖4（a）?（d）給出了諧和激勵單獨作用下或聯(lián)合激勵共同作用下系統(tǒng)響應與諧和激勵頻率之間的關系。為對比方便，縱坐標為諧和激勵單獨作用下的確定性幅值或聯(lián)合激勵作用下的隨機響應均方值。與圖3不同的是，為得到圖4（a）?（d）中的數(shù)值解，使用了前（從小到大掃頻）或后（從大到小掃頻）一個激勵頻率點的穩(wěn)態(tài)響應作為下一個頻率點的Newton迭代初始值（對于所建議方法的式（11）?（12））或時域初始條件（對于時域逐步積分法）以啟動計算;以下將其稱為掃頻計算方式。圖4（a）?（d）中，實線（紅色）為諧和激勵單獨作用下響應的頻域解析解（式（37）），菱形（綠色）標記線為利用Newton迭代得到的式（37）的頻域數(shù)值解，二者均為確定性響應幅值。此外，三角標記線（黑色）為聯(lián)合激勵下所建議方法得到的聯(lián)合響應均方值;圓形標記線（粉色）為所建議方法得到的確定性分量幅值;星形標記線（藍色）為時域數(shù)值模擬得到的聯(lián)合響應均方值。

由圖4（a）?（d）可得如下結論。首先，對比實線和菱形標記線可知，諧和激勵幅值越大，幅頻曲線產(chǎn)生跳躍的三值區(qū)間越大。其中，左支和右支均為穩(wěn)定解，可通過掃頻數(shù)值計算方式得到，與解析解吻合非常好;中支為非穩(wěn)定解，無法通過一般數(shù)值算法得到。第二，對比圓形標記線和實線（菱形標記線）可知，隨機激勵使確定性響應幅頻曲線產(chǎn)生偏移，且隨機激勵相對諧和激勵越大，向高頻偏移量越大。文獻[26]也得到了類似的結論。第三，諧和激勵相對隨機激勵越大，確定性諧和響應在聯(lián)合響應中占比越大，隨機響應占比越小。這與直觀結論是一致的。例如，在的非共振區(qū)間，隨機響應占優(yōu)，在其共振區(qū)間，確定性響應占優(yōu);在的所有頻率區(qū)間，諧和響應占優(yōu)。第四，采用掃頻計算的方式，可得到頻率?響應均方值曲線的跳躍區(qū)間穩(wěn)態(tài)解。雖然時域掃頻和本文所建議方法在非跳躍區(qū)間吻合較好，但在跳躍區(qū)間吻合欠佳，值得進一步深入考察。這可能與3個因素相關：首先，將總體響應分解為確定性諧和與隨機響應之和的假定（式（3））在該區(qū)間的合理性;其次，求解隨機響應二階矩的統(tǒng)計線性化方法在該區(qū)間的精確性;最后，時域積分方法的累積誤差?，F(xiàn)就以上3個因素作以下評述。

將總體響應分解為諧波響應和隨機響應之和是一種啟發(fā)式的假定，也是發(fā)展本文所建議方法的基礎。然而，目前尚沒有相關報道對于這種假定的合理性與適用范圍作出嚴格數(shù)學證明或定性的物理解釋。顯然，對于線性系統(tǒng)，這種分解方式是完全精確的。有理由推定，該假定同樣也適用于弱非線性系統(tǒng)和小強度隨機激勵的情況。例如，Rong等[24]認為隨機響應對于確定性響應是微小攝動時可采用這種假定;Cai和Lin[34]認為該方法不適用于強非線性和乘性激勵的情況。其他采用這種假定的文獻可見[22，26，28，35?37]。其次，本文應用了統(tǒng)計線性化方法，這種方法須假定響應是高斯或近似高斯分布的隨機過程。然而，在發(fā)生隨機跳躍的頻率區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)響應的概率密度函數(shù)具有雙峰值，明顯偏離高斯分布。最后，由圖4（d）可知，本文所建議方法計算得到的聯(lián)合響應均方值與只有諧和激勵時確定性響應幅值的解析解吻合較好，證明了本文所建議方法在諧和激勵占優(yōu)的情況下的合理性。然而，時域模擬方法與本文建議方法得到的分岔點并不吻合（圖4（c）?（d）中箭頭）。因此，建議對采用的時域數(shù)值模擬差分算法[38]進一步進行誤差分析。

聯(lián)合激勵下非線性整數(shù)階與分數(shù)階Duffing振子的跳躍與分岔的物理機制可分別參閱文獻[30，39]，它們與確定性跳躍有區(qū)別和聯(lián)系。不同于只發(fā)生在確定性頻率點上的確實性單向跳躍，隨機雙向跳躍發(fā)生在可跳躍頻率區(qū)間上的任意頻率點。發(fā)生隨機跳躍的Duffing振子的響應概率密度具有雙峰值。此時，發(fā)生概率最高的兩個幅值與幅頻響應曲線三值區(qū)間的兩個穩(wěn)定解對應。然而，由本文建議方法得到的跳躍區(qū)間內(nèi)兩個穩(wěn)定響應均方值與多峰響應概率密度之間的關系，仍有待深入考察。

進一步考察其他因素對響應均方值的影響。以下各圖為使用本文建議方法和時域數(shù)值模擬的非掃頻計算方式獲得數(shù)值結果。圖5所示為簡諧激勵幅值不同時，系統(tǒng)阻尼比與響應均方值之間的關系（其他參數(shù)均與圖2所示的系統(tǒng)參數(shù)相同）?？梢?，多數(shù)情況下，所提方法得到的結果與數(shù)值模擬結果吻合較好;諧和激勵幅值較大（）且較小時，兩種方法所得結果有較大差距。圖6所示為簡諧激勵具有不同幅值時，與響應均方值之間的關系（其他參數(shù)均與圖2采用的系統(tǒng)參數(shù)相同）?？梢姡恳环N確定性激勵幅值都具有兩種方法無法吻合的非線性強度區(qū)間。在此區(qū)間之外，二者吻合較好。激勵幅值越大，無法吻合的幅度也越大，且與之對應的區(qū)間越小。圖7顯示了分數(shù)階數(shù)不同時兩種方法所得結果的對比。可見，多數(shù)情況下二者吻合較好，但是在諧和激勵和均較大的情況下二者吻合欠佳。由圖4（d）可知，激勵幅值時，激勵頻率對應著系統(tǒng)響應均方值產(chǎn)生跳躍的多值區(qū)間。此時，采用非掃頻計算方式得到的響應均方值可能存在兩種方法無法吻合的情況。上文已初步分析了導致這種情況的三種原因。圖5?7中所示的兩種方法吻合欠佳的情況，也均對應著產(chǎn)生隨機跳躍的參數(shù)區(qū)間。例如，圖6中，時會產(chǎn)生隨機跳躍。

3.2 簡諧和色噪聲聯(lián)合激勵下

考慮功率譜密度為（38）的色噪聲，則歸一化后的激勵的功率譜密度可以由式（35）?（36）和（38）得出。作為演示算例，系統(tǒng)參數(shù)取，，;確定性激勵參數(shù)取;隨機激勵取和，無量綱截止頻率取。

兩種方法的均方值比較如圖8?11所示（圖中虛線代表本文建議方法的計算結果，標記實線為時域數(shù)值模擬結果），均采用非掃頻計算方式。圖8所示為簡諧激勵具有不同幅值時，與響應均方值之間的關系?？梢?，多數(shù)情況下，建議方法和時域數(shù)值模擬吻合較好。與白噪聲情況類似，在產(chǎn)生隨機跳躍的簡諧激勵頻率附近兩種方法吻合欠佳。

由圖8可知，激勵頻率處于外主共振區(qū)間。使用該激勵頻率用于考察其他參數(shù)與響應均方值之間的關系，如圖9?11所示。其中，圖9所示為簡諧激勵幅值不同時，系統(tǒng)阻尼比與響應均方值之間的關系;圖10所示為簡諧激勵具有不同幅值時，與響應均方值之間的關系;圖11所示為分數(shù)階數(shù)不同時所建議方法和時域數(shù)值模擬的結果對比。可見，簡諧激勵頻率處于外主共振區(qū)間時，所提方法得到的結果與時域數(shù)值模擬結果均吻合較好。

4 結論與展望

本文結合諧波平衡和統(tǒng)計線性化方法考察了隨機和確定性諧和激勵聯(lián)合作用下分數(shù)階非線性振子的響應。該方法的重點在于將聯(lián)合激勵下的穩(wěn)態(tài)響應分解為確定性簡諧和零均值隨機分量之和，并將原運動方程化為關于確定性與隨機響應分量的子運動方程。分別利用諧波平衡法和分數(shù)階非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計線性化方法求解了耦合的子運動方程，得到了系統(tǒng)響應的二階矩。數(shù)值模擬表明，多數(shù)參數(shù)設置情況下，所建議方法有較好的精度。甚至對于強非系統(tǒng)，所建議方法都可獲得理想結果。然而，該方法在產(chǎn)生隨機跳躍的參數(shù)空間內(nèi)的適用性和計算精度有待進一步考察。顯然，本文所建議方法繼承了統(tǒng)計線性化方法的廣泛適用性。因此，發(fā)展該方法的意義是為聯(lián)合激勵下的具有分數(shù)階導數(shù)模型的工程結構提供高效且具有理想精度的隨機響應計算方法。

本文所建議方法可順利拓展到聯(lián)合激勵下具有其他非線性形式和（或）非平穩(wěn)隨機激勵的多自由度分數(shù)階導數(shù)系統(tǒng)。

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