離心率的物理意義及其應(yīng)用

陸棟梁

(上海交通大學(xué)附屬中學(xué)，上海 200439)

物理學(xué)中利用極坐標(biāo)可描述天體運(yùn)動(dòng)的軌道，為某些問(wèn)題的解決帶來(lái)了便利。在極坐標(biāo)中描述圓錐曲線要用到離心率的概念，在數(shù)學(xué)中離心率已有完善的定義，筆者試圖尋找離心率的物理意義及其可能的應(yīng)用。

1 數(shù)學(xué)中的離心率

圖1

由解析幾何知識(shí)可知，與橢圓同為圓錐曲線的拋物線和雙曲線，其極坐標(biāo)方程具有上述相同的形式，區(qū)別是拋物線的離心率e=1，而雙曲線的離心率e>1。

2 霍曼轉(zhuǎn)移

霍曼轉(zhuǎn)移是一種將航天器從低圓軌道送往高圓軌道的方法。如圖2所示，航天器在低圓軌道上沿原方向瞬間加速后，進(jìn)入一個(gè)橢圓形的轉(zhuǎn)移軌道(稱為霍曼軌道)，抵達(dá)遠(yuǎn)拱點(diǎn)后再瞬間加速，進(jìn)入高圓軌道，此即為目標(biāo)軌道。這種轉(zhuǎn)移方式消耗的能量最少，但耗時(shí)較長(zhǎng)。

圖2

3 離心率的物理意義

當(dāng)航天器沿原有速度方向瞬時(shí)加速進(jìn)入霍曼軌道時(shí)，會(huì)出現(xiàn)以下結(jié)果：

(1)若0<ΔEk

(2)若ΔEk=Ek0時(shí)，E=0，軌道為拋物線，此時(shí)e=1；

(3)當(dāng)ΔEk>Ek0時(shí)，E>0，軌道為雙曲線，此時(shí)e>1。

4 應(yīng)用

另外，在霍曼轉(zhuǎn)移問(wèn)題中，若已知兩個(gè)圓的軌道半徑，通過(guò)離心率-能量關(guān)系式，可以計(jì)算航天器變軌所需的速度變化量，以下用例題予以說(shuō)明。

圖3

例：一質(zhì)量為m的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運(yùn)動(dòng),其高度h=100km。為使飛船降落到月球表面,噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在P點(diǎn)作一次短時(shí)間發(fā)動(dòng)。月球半徑為R=1700km,月球表面的重力加速度g=1.7m/s2。如圖3所示，若發(fā)動(dòng)機(jī)向前噴射,使飛船到達(dá)月球背面的Q點(diǎn)，并相切，Q點(diǎn)與P點(diǎn)相對(duì)，求發(fā)動(dòng)機(jī)噴射后的飛船速度大小。