基于變換空間法的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別及地震輸入反演

楊紀(jì)鵬 夏燁? 孫利民,2

(1.同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系，上海 200092;2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

基于結(jié)構(gòu)響應(yīng)觀測(cè)數(shù)據(jù)識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)及反演地震動(dòng)輸入具有重要的意義[1]，前者可基于識(shí)別結(jié)果進(jìn)行損傷評(píng)估，后者可以確定結(jié)構(gòu)在地震作用下的真實(shí)輸入，也可基于反演結(jié)果對(duì)區(qū)域其他的結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析，實(shí)現(xiàn)震后區(qū)域結(jié)構(gòu)快速評(píng)估。隨著結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)應(yīng)用的發(fā)展及普及，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已開(kāi)展較多該領(lǐng)域的研究，并取得了一定的成果，如得到廣泛應(yīng)用的擴(kuò)展卡爾曼濾波和無(wú)跡卡爾曼濾波方法[2- 5]。其中加速度響應(yīng)易于監(jiān)測(cè)，常被作為觀測(cè)量，其以信息來(lái)源來(lái)劃分，可分為兩大類，基于相對(duì)觀量測(cè)和基于絕對(duì)觀測(cè)量。

基于相對(duì)加速度的有：Wang等[6]通過(guò)最小二乘迭代估計(jì)和加權(quán)整體迭代-擴(kuò)展卡爾曼濾波法，識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)的同時(shí)反演地震動(dòng)輸入；李杰等[7]通過(guò)“統(tǒng)計(jì)平均”的思想方法解決復(fù)合反演問(wèn)題，王祥建等[8]在復(fù)合反演時(shí)引入矩形窗法剔除噪聲異常數(shù)據(jù)；李杰、馮新等[9- 10]建立一種兩階段結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別和地震動(dòng)輸入反演的方法，利用子結(jié)構(gòu)識(shí)別部分結(jié)構(gòu)參數(shù)，同時(shí)反演地震動(dòng)輸入，再根據(jù)反演的結(jié)果利用加權(quán)整體迭代-廣義卡爾曼濾波方法識(shí)別結(jié)構(gòu)其他參數(shù)；王建有等[11]提出了加權(quán)平均修正算法，研究了地震動(dòng)未知情況非比例阻尼模型下結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別問(wèn)題；Lu等[12]提出了基于動(dòng)態(tài)響應(yīng)靈敏度概念，僅從結(jié)構(gòu)輸出分兩步復(fù)合反演系統(tǒng)參數(shù)和輸入的方法；張坤等[13]提出了一種基于動(dòng)態(tài)響應(yīng)靈敏度概念，僅利用結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)同步反演結(jié)構(gòu)物理參數(shù)和輸入。張肖雄等[14]基于擴(kuò)展卡爾曼濾波法，通過(guò)在觀測(cè)矩陣中引入投影矩陣，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別，利用最小二乘法實(shí)現(xiàn)地震動(dòng)輸入反演。鄭翥鵬等[15]利用無(wú)跡卡爾曼濾波方法，以觀測(cè)誤差最小化為準(zhǔn)則，利用最小二乘法求解未知激勵(lì)，通過(guò)將位移響應(yīng)融入觀測(cè)向量，消除識(shí)別結(jié)果漂移。

基于絕對(duì)加速度的有：Yang等[16]依據(jù)觀測(cè)到的結(jié)構(gòu)絕對(duì)加速度響應(yīng)及地震輸入，基于自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波法，在線識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)(包括非線性參數(shù))，依據(jù)參數(shù)識(shí)別結(jié)果判斷結(jié)構(gòu)損傷。

Zhao等[17- 18]針對(duì)剪切型框架結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)輸入未知的情況，通過(guò)最小二乘法識(shí)別一層以上的結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過(guò)識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)得到一層結(jié)構(gòu)參數(shù)，最后通過(guò)求解一階微分方程反演結(jié)構(gòu)地震動(dòng)輸入時(shí)程，該方法需要對(duì)結(jié)構(gòu)所有自由度絕對(duì)加速度進(jìn)行觀測(cè)。

許煌昊等[19]采用擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)和遞推最小二乘法對(duì)一層以上結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)向量和未知作用力進(jìn)行遞推，最后基于數(shù)值求解一階微分方程，識(shí)別未觀測(cè)的地震作用。該方法僅適用于線性結(jié)構(gòu)，對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性后的應(yīng)用還有待研究。該文獻(xiàn)明確指出，只利用絕對(duì)加速度無(wú)法在識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)的同時(shí)完成地震動(dòng)輸入反演，該文獻(xiàn)中也利用特征方程協(xié)助識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)。雷鷹等[20]將靜力凝聚法與擴(kuò)展卡爾曼濾波法相結(jié)合來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)，同時(shí)定量識(shí)別結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)損傷程度，該方法是在地震動(dòng)輸入已知的情況下，只用于結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別。

Shi等[21]提出一種兩階段子空間識(shí)別迭代方法。第1步是基于觀測(cè)到的絕對(duì)加速度識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)(頻率、振型、阻尼比)，基于識(shí)別的模態(tài)參數(shù)估計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)；第2步是基于識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)，結(jié)合絕對(duì)加速度觀測(cè)量重構(gòu)地震動(dòng)輸入時(shí)程；重復(fù)兩階段識(shí)別過(guò)程直至結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別達(dá)到收斂誤差要求，同時(shí)也得到地震動(dòng)輸入時(shí)程。該方法識(shí)別精度受預(yù)先設(shè)定的Hankel矩陣以及觀測(cè)量維數(shù)多少的影響。

實(shí)際情況中，地震作用下結(jié)構(gòu)相對(duì)地面的相對(duì)加速度是不可測(cè)的，相對(duì)速度或相對(duì)位移也是很難測(cè)到的，故基于相對(duì)量實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別及地震動(dòng)輸入反演是很難實(shí)現(xiàn)的。以上基于絕對(duì)加速度作為觀測(cè)量的參數(shù)識(shí)別及地震動(dòng)反演，只適用于線性系統(tǒng)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，則需要已知輸入。

根據(jù)文獻(xiàn)[22- 23]，本研究提出基于變換空間法的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別及地震動(dòng)輸入反演方法。該方法基于絕對(duì)加速度觀測(cè)量，采用線性加速積分法獲得結(jié)構(gòu)速度和位移時(shí)程，將結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程轉(zhuǎn)換為基于有限元列式的形式，利用最小二乘法識(shí)別二層以上結(jié)構(gòu)參數(shù)。假定任意相鄰3個(gè)時(shí)刻的地震動(dòng)輸入相等，且等于中間時(shí)刻的地震動(dòng)加速度值，由此提出一種簡(jiǎn)化的地震動(dòng)輸入反演算法。實(shí)際結(jié)構(gòu)自由度數(shù)量巨大，不可能做到的全觀測(cè)量，本方法也可基于有限觀測(cè)量，識(shí)別相應(yīng)樓層結(jié)構(gòu)參數(shù)并反演地震動(dòng)輸入，此時(shí)第1、2、3層結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)必須作為觀測(cè)量。對(duì)于非線性系統(tǒng)，采用等效線性的理念，基于最小方差原則識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)，再在變換空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)地震動(dòng)輸入的反演，即本研究所提出的方法可用于非線性系統(tǒng)。首先使用數(shù)值算例驗(yàn)證所提算法的有效性，然后通過(guò)一個(gè)兩層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，驗(yàn)證所提出的算法的實(shí)用性和精度。

1 結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別

結(jié)構(gòu)在一維地震動(dòng)作用下的動(dòng)力方程為

(1)

(2)

以框架結(jié)構(gòu)為例，設(shè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為N，根據(jù)文獻(xiàn)[7]，式(1)可以改寫(xiě)為

(3)

其中，質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣分別為

式中，A為系統(tǒng)響應(yīng)矩陣，θ為結(jié)構(gòu)參數(shù)向量。F為結(jié)構(gòu)擬靜力荷載向量。由于實(shí)際采集到的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)是離散的，設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為S，則式(3)中各項(xiàng)為：

A=[A(t1)A(t2) …A(tS)]T

(4)

θ=[c1c2…cNk1k2…kN]T

(5)

F=[F(t1)F(t2) …F(tS)]T

(6)

其中：k1,k2,…,kN為層間剛度參數(shù);c1,c2,…,cN為層間阻尼參數(shù)。

A(ti)=[A1(ti)A2(ti)]

(7)

(8)

(9)

F(t1)=[f1(ti)f2(ti) …fN(ti)]T

(10)

式(8)、式(9)中i=1,2,…,S，且在任一時(shí)刻ti，

(11)

xp(ti)-xq(ti)=yp(ti)-yq(ti)

(12)

θ=[ATA]-1ATF

(13)

但是，通過(guò)加速度積分得到速度和位移時(shí)，存在初值未知的問(wèn)題，而且通過(guò)加速度積分得到位移和速度存在趨勢(shì)項(xiàng)，目前雖然在這方面已有一些研究成果，實(shí)際中由于噪聲干擾，通過(guò)積分得到速度和位移，再相減得到的層間相對(duì)速度和位移得到的識(shí)別結(jié)果誤差很大。為此，將動(dòng)力方程轉(zhuǎn)換到變換空間內(nèi)，再用式(13)求解2層以上結(jié)構(gòu)參數(shù)；變換空間內(nèi)的某個(gè)樣本與原物理空間的3個(gè)連續(xù)采樣時(shí)刻相對(duì)應(yīng)，變換空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程為[22- 23]：

(14)

(15)

(16)

(17)

P(ti)=2F(ti)-F(ti+1)-F(ti-1)

(18)

通過(guò)式(13)可求解1層以上的結(jié)構(gòu)參數(shù)。接下來(lái)求解第1層的剛度參數(shù)，第1層層間剛度可以通過(guò)剛度消去法[24]，或通過(guò)特征方程求解[18]，第2種方法可在有限測(cè)點(diǎn)下實(shí)現(xiàn)，本研究使用第2種方法。結(jié)構(gòu)特征方程為

(K-ω2M)φ=0

(19)

對(duì)于第i階振型，式(19)可寫(xiě)為

(20)

將剛度矩陣及質(zhì)量矩陣代入，取方程組的第1行方程，第1層層間剛度可表示為

(21)

式中,φi為結(jié)構(gòu)第i階振型向量，ωi第i階自振圓頻率，φ1i、φ2i分別是第i階振型向量第1個(gè)和第2個(gè)元素。

2 地震動(dòng)輸入反演

將式(2)代入式(1)得

(22)

式(22)可以改寫(xiě)為

(23)

根據(jù)框架結(jié)構(gòu)阻尼矩陣C和剛度矩陣K的形式特點(diǎn)，式(23)等式右邊只有第1層(底層)不為零，即

(24)

其中，結(jié)構(gòu)參數(shù)m1已知，k1、k2、c2在結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別章節(jié)已經(jīng)識(shí)別得到，c1仍未知。采用線性加速度假定，在變換空間內(nèi)式(24)可以改寫(xiě)為

(25)

可得地震動(dòng)輸入反演遞推公式為

(26)

假定地震開(kāi)始的前兩個(gè)采樣時(shí)刻地面加速度為0，根據(jù)式(26)依次求得后續(xù)地震動(dòng)加速度時(shí)程。式(26)是一個(gè)遞推過(guò)程，數(shù)值仿真表明(數(shù)值仿真時(shí)c1取理論值)，誤差會(huì)隨時(shí)間步的增加而不斷累加，最終導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果發(fā)散。為了避免誤差的累積，消除地震動(dòng)輸入反演的遞推形式，假定任意相鄰3個(gè)時(shí)刻地震動(dòng)加速度相等，且等于中間時(shí)刻的加速度，即

(27)

則式(26)可簡(jiǎn)化為

(k1+k2)z1(ti)-k2z2(ti)](-k1Δt2)-1

(28)

此時(shí)，c1仍為未知的，式(24)中等式左邊阻尼項(xiàng)的比重相對(duì)于剛度項(xiàng)小得多，可以忽略，則式(28)中與結(jié)構(gòu)阻尼相關(guān)的項(xiàng)可去掉，式(28)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

k2z2(ti)](-k1Δt2)-1

(29)

式(29)即為最終得到的簡(jiǎn)化地震動(dòng)輸入反演表達(dá)式，只需基于部分觀測(cè)量識(shí)別得到k1、k2即可實(shí)現(xiàn)地震動(dòng)輸入反演。

3 數(shù)值仿真

選取一個(gè)12自由度的剪切型框架結(jié)構(gòu)來(lái)驗(yàn)證所提算法的有效性，將該結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為一集中質(zhì)量模型。假定地震作用下結(jié)構(gòu)仍處于線性狀態(tài)，其運(yùn)動(dòng)方程如式(1)所示，其中質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣中各元素如下所示：

m1=m2=m3=m4=8×105kg,m5=m6=…=m12=4×105kg,k1=k2=k3=k4=1.3×109kN/m,k5=k6=k7=k8=1.2×109kN/m,k9=k10=k11=k12=1.0×109kN/m,c1=c2=c3=c4=4×106kN·s/m,c5=c6=…=c12=2×106kN·s/m。

結(jié)構(gòu)前3階頻率為1.076、2.720、4.626 Hz，前3階阻尼比為0.87%、1.98%、3.21%。觀測(cè)1-3層絕對(duì)加速度，為模擬實(shí)際監(jiān)測(cè)中噪聲的干擾，在監(jiān)測(cè)信號(hào)中加入均方根(RMS)為5%的高斯白噪聲。通過(guò)隨機(jī)子空間法(SSI)識(shí)別得到模態(tài)參數(shù),如圖1所示。由識(shí)別得到的穩(wěn)定圖可以看出，該地震作用下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量主要集中在低頻，參數(shù)識(shí)別時(shí)使用低通濾波器對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行濾波降噪，濾波截?cái)囝l率為15 Hz。

圖1 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Fig.1 Identified results of modal parameter

首先通過(guò)式(13)識(shí)別第2層、第3層阻尼參數(shù)、剛度參數(shù)；然后選取第1階模態(tài)信息識(shí)別結(jié)果計(jì)算結(jié)構(gòu)第1層剛度k1，結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Table 1 Identified results of structural parameter

由表1可以看出，本研究所提的參數(shù)識(shí)別算法具有較高的精度。即使在觀測(cè)量中加入5%噪聲，剛度參數(shù)識(shí)別的最大誤差也只為-1.31%，阻尼參數(shù)的最大誤差也只為-5.05%。因?yàn)閯偠葏?shù)與阻尼參數(shù)數(shù)量級(jí)相差較大，阻尼參數(shù)的識(shí)別結(jié)果劣于剛度參數(shù)，這也是參數(shù)識(shí)別目前普遍存在的問(wèn)題。

識(shí)別得到結(jié)構(gòu)參數(shù)后，通過(guò)式(29)反演地震動(dòng)輸入，反演結(jié)果如圖2所示。由圖2(a)可以看出，反演得到的輸入與實(shí)際輸入在整個(gè)時(shí)程上吻合較好，即持續(xù)時(shí)間吻合良好；地震動(dòng)加速度的峰值(PGA)在第2 s左右出現(xiàn)(見(jiàn)圖2(b))，實(shí)際值為-3.126 3 m/s2，反演結(jié)果為-2.930 2 m/s2，誤差為6.27%，說(shuō)明在峰值處有一定誤差，但也滿足工程需求；圖2(c)示出了功率譜密度曲線，兩者吻合較好，說(shuō)明反演結(jié)果真實(shí)代表了實(shí)際輸入的能量分布。

圖2 地震動(dòng)輸入反演結(jié)果Fig.2 Inversion results of seismic input

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)描述

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的基于變換空間和最小二乘法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別和地震動(dòng)輸入反演算法的有效性和實(shí)用性，開(kāi)展兩層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)[25- 26]進(jìn)行驗(yàn)證。框架結(jié)構(gòu)層高0.98 m，長(zhǎng)2.18 m，寬1.5 m。各層堆放鐵塊，底層質(zhì)量為2 990 kg，頂層質(zhì)量為2 870 kg，試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D3所示。加載采用EL Centro地震波，試驗(yàn)時(shí)測(cè)得臺(tái)面加速度和各樓層絕對(duì)加速度，采樣頻率為200 Hz。

圖3 兩層鋼筋混凝土框架試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

試驗(yàn)分3個(gè)工況，臺(tái)面峰值加速度分別為200、400和1 200 gal，分別對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)無(wú)損、輕微損傷和嚴(yán)重?fù)p傷，試驗(yàn)工況如表2所示。

表2 試驗(yàn)工況[25- 26]Table 2 Test conditions [25- 26]

4.2 參數(shù)識(shí)別

將兩層框架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為具有兩個(gè)平動(dòng)自由度的集中質(zhì)量模型(見(jiàn)圖4)，x1、x2分別代表第1層、第2層相對(duì)于地面的位移,k1、k2代表層間剛度，c1、c2代表層間阻尼。

圖4 兩自由度線性系統(tǒng)示意圖Fig.4 Sketch map of 2-DOF linear structural system

通過(guò)式(13)、(14)識(shí)別一層以上結(jié)構(gòu)的參數(shù)，利用SSI方法識(shí)別結(jié)構(gòu)基頻和振型，再利用式(21)識(shí)別一層剛度系數(shù)?；谧R(shí)別得到的頻率，在參數(shù)識(shí)別及地震動(dòng)輸入反演時(shí)，采用低通濾波對(duì)絕對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行降噪，工況1、2的濾波截?cái)囝l率為50 Hz，工況3的濾波截?cái)囝l率為15 Hz，結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 兩層混凝土框架結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

表4 不同工況初值選取表Table 4 Initial values for different cases

工況1的結(jié)構(gòu)剛度、阻尼參數(shù)識(shí)別時(shí)程如圖5所示。由圖5可以看出，當(dāng)?shù)卣鸺?lì)荷載較小時(shí)，結(jié)構(gòu)處于線性狀態(tài)，由于待識(shí)別的剛度、阻尼參數(shù)初始值很接近真實(shí)值，故收斂曲線基本為一條直線。不同工況下，本研究及UKF-KI識(shí)別的結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表5。

圖5 結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果(工況1,UKF)

表5 剛度參數(shù)識(shí)別結(jié)果對(duì)比Table 5 Comparison of identified stiffness parameters

由表5可知，在工況1、工況2的情況下，結(jié)構(gòu)處于線性狀態(tài)，兩種方法識(shí)別出的剛度值非常接近，最大誤差為3.96%。工況3中，地震動(dòng)峰值加速度達(dá)到1 200 gal，結(jié)構(gòu)損傷嚴(yán)重，進(jìn)入強(qiáng)非線性狀態(tài)，此時(shí)基于等效線性化理念采用線性識(shí)別方法識(shí)別非線性系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)本研究提出的方法與UKF識(shí)別結(jié)果出現(xiàn)較大誤差，最大誤差達(dá)到-17.8%。根據(jù)識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)，反算不同工況下結(jié)構(gòu)基頻，結(jié)果見(jiàn)表6。

表6 頻率識(shí)別結(jié)果對(duì)比

由表6可以看出，3種工況下，通過(guò)UKF識(shí)別的參數(shù)反算得到的結(jié)構(gòu)基頻與本方法得到的結(jié)構(gòu)基頻非常相近，最大誤差為1.93%，這表明：①線性系統(tǒng)(工況1、工況2)UKF參數(shù)識(shí)別結(jié)果是準(zhǔn)確的，用本研究提出的方法識(shí)別參數(shù)是精確的；②結(jié)構(gòu)進(jìn)入強(qiáng)非線性時(shí)，通過(guò)SSI方法識(shí)別結(jié)構(gòu)頻率，再通過(guò)等效線性化方法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別及地震動(dòng)輸入反演的理念是可行的。

為進(jìn)一步驗(yàn)證識(shí)別參數(shù)的準(zhǔn)確性，根據(jù)識(shí)別的結(jié)構(gòu)參數(shù)正分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)，此時(shí)，結(jié)構(gòu)第1層層間阻尼系數(shù)c1是未知的，此處僅作為對(duì)識(shí)別參數(shù)準(zhǔn)確性的驗(yàn)證，取

(30)

以工況1(線性系統(tǒng))進(jìn)行驗(yàn)證，可得c1=2.85×104N·s/m，實(shí)測(cè)及正分析重建各層絕對(duì)加速度響應(yīng)的結(jié)果如圖6所示。

從圖6可以看出，根據(jù)識(shí)別得到的參數(shù)重建的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和實(shí)測(cè)響應(yīng)吻合得很好，進(jìn)一步驗(yàn)證了本研究提出的方法參數(shù)識(shí)別的精確性。

圖6 絕對(duì)加速度響應(yīng)對(duì)比圖(工況1)Fig.6 Comparison of absolute acceleration responses(case 1)

4.3 地震動(dòng)輸入反演

根據(jù)識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)，由式(29)反演地震動(dòng)輸入。盡管反演算法是基于線性系統(tǒng)推導(dǎo)的，但參數(shù)識(shí)別是基于最小方差原則求解的，對(duì)于非線性系統(tǒng)，識(shí)別得到的參數(shù)代表結(jié)構(gòu)在全時(shí)段的“平均值”，即全時(shí)段等效線性剛度與阻尼；而假定系統(tǒng)在一個(gè)規(guī)定的微小時(shí)間段內(nèi)為線性，則所提出的反演算法在這一微小時(shí)段內(nèi)也是適用的，采用這一思想對(duì)全時(shí)段數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，則反演算法也可適用于非線性系統(tǒng)。篇幅所限，現(xiàn)只將工況1、工況3的反演結(jié)果分別展示。

4.3.1 工況1

工況1中，實(shí)測(cè)臺(tái)面峰值加速度為200 gal，SSI識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)基頻為11.4 Hz，結(jié)構(gòu)處于線性狀態(tài)，反演得到的時(shí)程曲線及功率譜如圖7所示。

圖7 地震動(dòng)輸入反演結(jié)果(工況1)Fig.7 Inversion results of seismic input(case 1)

由圖7可以看出，本研究提出的地震動(dòng)反演算法在地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間、峰值和功率譜上，很好地重現(xiàn)實(shí)際地震動(dòng)輸入；其中，實(shí)測(cè)臺(tái)面PGA為-2.129 0 m/s2，反演值為-2.100 2 m/s2，誤差為1.35%，說(shuō)明所提算法在線性系統(tǒng)下具有很好的精度。

4.3.2 工況3

工況3中，實(shí)測(cè)臺(tái)面峰值加速度為1 200 gal，SSI識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)基頻為5.50 Hz，約為無(wú)損結(jié)構(gòu)基頻的一半，表明結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴(yán)重?fù)p傷，結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性階段。仍用基于線性系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別及地震動(dòng)反演方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，反演得到的時(shí)程曲線及功率譜如圖8所示。

圖8 地震動(dòng)輸入反演結(jié)果(工況3)Fig.8 Inversion results of seismic input(case 3)

由圖8可以看出，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴(yán)重?fù)p傷后，所提出的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別及地震動(dòng)輸入反演方法仍然具有較好的識(shí)別精度及實(shí)用性。在整體時(shí)程上，反演結(jié)果與實(shí)測(cè)臺(tái)面加速度吻合得相對(duì)較好；實(shí)測(cè)臺(tái)面PGA為10.993 6 m/s2，反演值為10.129 9 m/s2，誤差為7.86%，說(shuō)明所提算法在非線性系統(tǒng)下仍具有相對(duì)較好的精度；在功率譜方面，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴(yán)重?fù)p傷后剛度下降，頻率降低，故基于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)反演得到的地震動(dòng)在低頻區(qū)間(0～5 Hz)與實(shí)測(cè)值吻合良好，高于該頻率后，仍體現(xiàn)了該地震動(dòng)能量的總體分布狀況。

綜合工況3的地震動(dòng)反演結(jié)果可知，即便結(jié)構(gòu)出現(xiàn)嚴(yán)重?fù)p傷，結(jié)構(gòu)進(jìn)入強(qiáng)非線性階段，反演得到的地震動(dòng)時(shí)程數(shù)據(jù)仍能很好地反映真實(shí)地震動(dòng)輸入的低頻特性。

以上兩個(gè)工況試驗(yàn)結(jié)果表明，本研究提出的基于變換空間的最小二乘參數(shù)識(shí)別方法參數(shù)識(shí)別精度高，重建響應(yīng)與實(shí)測(cè)響應(yīng)基本吻合。對(duì)于非線性系統(tǒng)，識(shí)別的結(jié)構(gòu)參數(shù)是基于最小方差原則得到的，識(shí)別得到的是等效線性化的參數(shù)，所提出的地震動(dòng)輸入反演算法雖然是基于線性系統(tǒng)推導(dǎo)的，但對(duì)非線性系統(tǒng)也有一定的適用性。

5 結(jié)論

本研究分析了未知輸入情況下框架結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別及地震動(dòng)輸入反演問(wèn)題，提出了在變換空間內(nèi)利用最小二乘法識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法，通過(guò)假定任意相鄰3個(gè)采樣時(shí)刻地震動(dòng)加速度相等，且等于中間時(shí)刻的地震動(dòng)加速度值，提出一種簡(jiǎn)化的地震動(dòng)輸入反演算法；通過(guò)數(shù)值模擬及兩層鋼筋混凝土大尺度模型振動(dòng)臺(tái)逐級(jí)加載試驗(yàn)對(duì)所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

(1)所提出的算法計(jì)算穩(wěn)定，不存在不收斂問(wèn)題(即無(wú)需給定初值，遞推過(guò)程不依賴前一步結(jié)果，不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象)，且參數(shù)識(shí)別精度高，從理論上避免了因加速度積分導(dǎo)致速度、位移初始值未知及存在趨勢(shì)項(xiàng)的問(wèn)題，且可基于部分觀測(cè)量實(shí)現(xiàn)輸入反演。

(2)當(dāng)系統(tǒng)為非線性時(shí)，基于等效線性化理念，所識(shí)別的結(jié)構(gòu)參數(shù)可準(zhǔn)確表征結(jié)構(gòu)整體動(dòng)力行為，其結(jié)果可為下一階段的地震動(dòng)輸入反演所使用，即基于線性系統(tǒng)推導(dǎo)的地震動(dòng)輸入反演方法，同樣適用于非線性系統(tǒng)。

(3)反演結(jié)果能夠準(zhǔn)確再現(xiàn)未知輸入低頻區(qū)間的功率譜特性，可基于此功率譜分析其他建筑，即所提出的方法可用于區(qū)域結(jié)構(gòu)及建筑群的抗震性能演繹分析。