研究概率統(tǒng)計教學(xué),迎接新高考

潘燚云

江蘇省從2021屆開始，數(shù)學(xué)學(xué)科采用新高考模式。新高考對概率與統(tǒng)計模塊的考查力度很大，知識點內(nèi)容增加，難度增大。在高三復(fù)習(xí)課上，要重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

下面以一節(jié)高三概率統(tǒng)計復(fù)習(xí)課為例，研究新高考下的概率統(tǒng)計教學(xué)。

一、對焦?？碱}，師生齊探究

（21屆高三蘇錫常鎮(zhèn)二模第21題）某中學(xué)的一個高二學(xué)生社團(tuán)打算在開學(xué)初組織部分學(xué)生打掃校園。該社團(tuán)通知高二學(xué)生自愿報名，由于報名的人數(shù)多達(dá)50人，于是該社團(tuán)采用在報名學(xué)生中用抽簽的方式來確定打掃校園的人員名單。抽簽方式如下：將50名學(xué)生編號，通過計算機(jī)從這50個編號中隨機(jī)抽取30個編號，然后再次通過計算機(jī)從這50個編號中隨機(jī)抽取30個編號，兩次都被抽到的學(xué)生打掃校園。（1）設(shè)該校高二年級報名打掃校園的甲同學(xué)的編號被抽到的次數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望;（2）設(shè)兩次都被抽到的人數(shù)為變量X，則X的可能取值是哪些？其中X取到哪一個值的可能性最大？請說明理由。

師：我們先解決簡單的問題，X的可能取值是哪些？

生1：10≤X≤30（X∈N*）

師：很好，我們首先要求X取到每一個值的概率，再比較誰最大。先請同學(xué)們寫出X取到每一個值的概率。

生2：我的式子是P（X=n）=

生3：P（X=n）是關(guān)于n的函數(shù)，所以可以令它為f（n），求函數(shù)的最值。

設(shè)計意圖：在新高考下，概率統(tǒng)計可以和其他模塊的知識點綜合出題，本題是概率統(tǒng)計和函數(shù)綜合，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識的能力。

師：令f（n）=[Cn][50]·[C30-n][50-n]·[C30-n][20]

=··

=。

同學(xué)們，接下來怎么求這個函數(shù)的最值呢？

生4：求導(dǎo)。

生5：把正整數(shù)n先替換成大于等于1的實數(shù)x，再求導(dǎo)。

生6：這個里面有階乘，求導(dǎo)太繁了。

師：那怎么找到最值呢？

生7：f（n+1）和f（n）做商。

生7的解題過程展示：

=×=，

若（30-n）2-（n+1）（n-9）=909-52n>0，則n≤17，

當(dāng)n≤17時，f（n+1）>f（n）;當(dāng)n≥18時，f（n+1）

設(shè)計意圖：函數(shù)求最值是高考的高頻考點，本題中f（n）是自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，且含有階乘，需進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)求最值的應(yīng)用意識。

二、鏈接高考真題，全員實戰(zhàn)演練

（2018年全國卷I理科第20題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品。檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件做檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品做檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

師：這道題和剛才的模考題一樣，都是求概率的最大值。

生8：20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=[C2][20]p2（1-p）18，求f（p）的最大值即可。

生9：和剛才那道?？碱}一樣，f（p+1）和f（p）作商，和1比較大小。

生10：這道題p就是實數(shù)，而且也沒有復(fù)雜的階乘形式，為什么不對f（p）直接求導(dǎo)呢？

生10：20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=[C2][20]p2（1-p）18。

因此f′（p）=[C2][20][2p（1-p）18-18p2（1-p）17]=2[C2][20]p（1-p）17（1-10p）。

令f′（p）=0，得p=0.1.當(dāng)p∈（0，0.1）時，f′（p）>0;當(dāng)p∈（0.1，1）時，f′（p）<0。所以f（p）的最大值點為p0=0.1。

設(shè)計意圖：本題有兩個方面的用意。一是兩道題都是概率統(tǒng)計和函數(shù)的綜合問題，體現(xiàn)了新高考的綜合性和應(yīng)用性;二是雖然都是求概率的最值，但是選擇的方法卻是不同的，需要學(xué)生深刻體會新高考下題目的靈活性。

新高考標(biāo)志著我們已經(jīng)進(jìn)入“無綱可依、有章可循、標(biāo)準(zhǔn)引領(lǐng)、體系建設(shè)”新時代。研究新高考，功在平時。新高考下，概率統(tǒng)計考查的范圍越來越廣，和其他知識點結(jié)合得越來越多，靈活性和難度都有了很大提升，我們必須把握好高三復(fù)習(xí)課堂的主陣地，從容迎接新高考。

注：本文系南京市玄武區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃“個人課題”“基于新高考模式下的概率與統(tǒng)計教學(xué)的實踐研究”（“十三五”字第玄個〈中〉2020018號）的研究成果。